趙臨龍
(安康學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,陜西安康 725000)
初等數(shù)學(xué)研究途徑:結(jié)構(gòu)是基礎(chǔ) 轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵
——2012年高考數(shù)學(xué)北京理科第19題再探究
趙臨龍
(安康學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,陜西安康 725000)
對(duì)2012年高考數(shù)學(xué)北京理科第19題,利用蝴蝶定理研究其解法,給出考題的新解法,揭示考題與蝴蝶定理的內(nèi)在關(guān)系,并給出考題的推廣.
高考題;蝴蝶定理;解法;推廣
考題 已知曲線C:(5- m)x2+(m-2)y2= 8(m∈R).
(1)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;
(2)設(shè)m = 4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y = kx + 4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證:A,G,N三點(diǎn)共線.
2013年,文[1]分析學(xué)生用以下常規(guī)方法[1]74-77:
如圖1.當(dāng)m = 4,曲線C:x2+ 2y2= 8與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)A(0,2),B(0,-2).
設(shè)直線y = kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2),由x2+ 2y2= 8、y = kx + 4得
之后就此擱淺.看來(lái),對(duì)此題真有研究的價(jià)值.
如圖1,橢圓內(nèi)的直線構(gòu)成的圖形具有“蝴蝶定理”的形式.因此,本題可考慮用“蝴蝶定理”解決.
圖 1
圖 2
圖 3
命題1 (坎迪蝴蝶定理)[2]8-11如圖2、圖3,過(guò)二次曲線Γ的割線EF上除與Γ的交點(diǎn)外任意一點(diǎn)P引任意兩弦直線AB、CD,AD和BC交 EF于J、I,則,其中等式中線段均為有向線段
3.1 橢圓內(nèi)型蝴蝶定理應(yīng)用
當(dāng)點(diǎn)G在橢圓內(nèi),構(gòu)成橢圓內(nèi)型蝴蝶定理,因此有解法.
解法1:如圖1,過(guò)點(diǎn)G(x0,y0)作與x軸平行的直線EF,分別交橢圓和直線對(duì)AB、MN于點(diǎn)E、F;J、I,其x坐標(biāo)分別為xE、xF、xJ、xI=0,則由橢圓內(nèi)蝴蝶定理,得:
由共線的三點(diǎn)A、G、N和共線的三點(diǎn)B、G、M,得:
(結(jié)合(※))
由(3)和(4),求得:
此時(shí),由直線y=kx+4,得:kx1=y0-4,結(jié)合(5)得到:
于是,考題的結(jié)論(2)獲得證明.
命題2 如圖1,過(guò)橢圓C:x2+ 2y2= 8外一點(diǎn)P(0,4)引C的動(dòng)割線PMN方程為y = kx + 4(k > 0),直線ANl'和直線BM交于點(diǎn)G(x0,y0)(y0> 0),過(guò)點(diǎn)G作與x軸平行的直線EF,分別交C和直線對(duì)AB、MN于點(diǎn)E、F;J、I,則點(diǎn)G的軌跡是定直線y=1,
3.2 橢圓外型蝴蝶定理應(yīng)用
當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí),構(gòu)成橢圓外型蝴蝶定理,因此有解法.
解法2:如圖1,連接PG交橢圓C于兩點(diǎn)M'(x1,y1),N'(x2,y2),設(shè)直線PM'N'方程為y=k'x+4,則仿解法1,得:
而且,
有|M'P|=m|x1|,|N'P|=m|x2|.現(xiàn)由蝴蝶定理,得:
此時(shí),由直線方程y = k'x + 4,得到結(jié)果:y0= k'x0+ 4 =-3 + 4 = 1.
解法反思:解法2較解法1簡(jiǎn)單明了,但沒有解法1的復(fù)雜性,也就不會(huì)對(duì)解法1復(fù)雜解法進(jìn)行簡(jiǎn)化研究.因此,研究才是追求簡(jiǎn)單解法的根本所在.
如解法2,在討論蝴蝶定理結(jié)論(7)時(shí),利用了(6)中“對(duì)稱”形式的2個(gè)結(jié)論,而解法1,在討論與蝴蝶定理結(jié)論(4)“對(duì)稱”的結(jié)論時(shí),僅利用了(※)中的“對(duì)稱”形式的1個(gè)結(jié)論.這種研究,又給我們一個(gè)“新”的啟發(fā),給出解法1的新解法.
3.3 再研究解法
解法3:在解法1中,對(duì)于(2),直接考慮(※)中的2個(gè)“對(duì)稱”式子,則有結(jié)果:
可見,本題的“對(duì)稱結(jié)構(gòu)”,是“研究”解決問(wèn)題的基礎(chǔ).因此,以基本結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ),強(qiáng)化轉(zhuǎn)化研究是初等數(shù)學(xué)研究的重要途徑.另外,解法1通過(guò)相關(guān)的復(fù)雜“信息”,建立相關(guān)關(guān)系式,它較解法2和解法3更能給出新的結(jié)果.因此,信息是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的重要研究“要素”.
[1]王文英,楊平,王樹文.利用學(xué)生解題時(shí)的糾結(jié)點(diǎn),做好解題教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2013(1-2).
[2]趙臨龍.當(dāng)前我國(guó)初數(shù)研究存在的三種不良傾向——兼談2003年北京市高考中的蝴蝶定理[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào),2012(3):10-13.
(責(zé)任編輯:于開紅)
A Study Method of Elementary Mathematics: Basic Structure is the Base While Transformation is the Key: with Special Reference to the 19thMathematics Problem in the 2012-year College
Entrance Examination in Beijing ZHAO Linlong
(Mathematics and Applied Mathematics Research Institute, Ankang University,Ankang, Shanxi 725000)
The 19thmathematics problem in 2012-year college entrance examination in Beijing is studied under the Butterfly Theorem and a solution is given with the new method. The interrelation between test questions and the Butterfly Theorem is revealed, and the questions are spread.
college entrance examination; the Butterfly Theorem; solution; spreading
O123
A
1009-8135(2014)03-0018-03
2014-02-19
趙臨龍(1960-),男,陜西西安人,安康學(xué)院教授,主要研究幾何.
陜西特色專業(yè)建設(shè)項(xiàng)目(2011-59)、安康學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(ZDXKZX201318)階段性成果