宋顯梅

（福建省廈門康橋中學(xué)，福建 廈門 361000）

回歸課本 注重課本原題在高考題中的應(yīng)用
——余弦定理的又一妙用

宋顯梅

（福建省廈門康橋中學(xué)，福建 廈門 361000）

余弦定理反映了三角形的一種邊角關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為單純的角的關(guān)系，對(duì)解決一些三角恒等變形問題會(huì)起到一種獨(dú)特的效果。

高考；轉(zhuǎn)化；余弦定理；應(yīng)用

一、問題的提出

2012年福建省理科高考第17題是本份試卷的一個(gè)亮點(diǎn)。一方面它以研究性學(xué)習(xí)為背景，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，充分體現(xiàn)了高中新課程的理念；另一方面本題位于試卷的第17題，充分體現(xiàn)出命題組不為難學(xué)生和送分的意圖，但許多平時(shí)水平較高的考生表現(xiàn)并不理想，體現(xiàn)在運(yùn)算量和時(shí)間成本投入較大。2012年福建省狀元（有四位學(xué)生并列）的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)也只在136～139分之間，沒有突破140分，這和前面用時(shí)較多不無關(guān)系，也就說明了這個(gè)問題。最后從落腳到探究課本的定理和例題這一視角看，給出的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)答案也不是最佳。

【2012年福建省理科高考第17題】回放：

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：

（Ⅰ）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論。

（本題的解答見后，需要說明的是該解答屬筆者原創(chuàng)。）

二、問題的解決

我們來看下一組題目。求下列三角函數(shù)的值：

其實(shí)它們原于教科書的例題：sin210°+sin10°cos40° +cos240°課本的解法如下：

【點(diǎn)評(píng)】此解法的利弊很明顯，利：比較全面地復(fù)習(xí)了三角中比較常用的倍半公式、降次公式等公式；弊：運(yùn)算量較大和加大了時(shí)間成本，這將導(dǎo)致運(yùn)算出現(xiàn)誤差和影響后面區(qū)分度較大的考題的解答。在當(dāng)今120分鐘要完成22道題（每題約5分鐘）的高考中如何縮短時(shí)間提高效率顯得重要。怎么辦？

【點(diǎn)評(píng)】整個(gè)解答運(yùn)算量小、準(zhǔn)確率高、時(shí)間成本有效控制，一氣呵成、干凈利落。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)類似該組題型的選擇和填空題我們利用（*）式可直接得出結(jié)果。對(duì)該形式的解答題可利用它檢查結(jié)論：或?qū)Γ?）式加以證明后（易證）再加以應(yīng)用。效果比較明顯。

三、運(yùn)用上述推廣（＊）對(duì)2012年福建省理科高考第17題的原創(chuàng)解答

（Ⅰ）選擇（1）式，計(jì)算如下：

（Ⅱ）三角恒等式為sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

【高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下】：

（Ⅱ）三角恒等式為sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）證明如下：

【對(duì)比說明】限于文章的篇幅對(duì)高考標(biāo)準(zhǔn)答案不再進(jìn)一步評(píng)價(jià)。本題原創(chuàng)解法的可取之處在于敏銳地捕捉出它原于教科書的例題，固本朔源，探究余弦定理的等價(jià)變形，本題完美解出一舉成功拿下，所用時(shí)間可以接受。事半功倍。只要我們真正意義上地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，我們的高三數(shù)學(xué)迎考將更加有效。

四、結(jié)論的推廣與證明

下面給出已知：A+B+C=π時(shí)sin2A=sin2B+sin2C-2sinB-sinCcosA（*）的推廣：

【結(jié)束語】

隨著高考制度的改革，高考中三角的試題大多來源于課本中的習(xí)題和例題或它們的變形，因此復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)“立足于課本，著眼于提高”，注重等價(jià)轉(zhuǎn)化在教學(xué)中的應(yīng)用，在教學(xué)中，我們應(yīng)努力使學(xué)生熟練掌握公式的正用、反用、變形用或在特定條件下使用，即注重等價(jià)轉(zhuǎn)化在教學(xué)中的應(yīng)用，因?yàn)樗梢蕴岣咚季S起點(diǎn)，縮短思維線路，從而使運(yùn)算流暢自然，縮短時(shí)間提高效率。

G633.6

A

1674-9324（2014）07-0231-02