冉邦恒

（酉陽(yáng)職業(yè)教育中心，重慶 409899）

課堂教學(xué)隨筆
——由軌跡求曲線方程想到的

冉邦恒

（酉陽(yáng)職業(yè)教育中心，重慶 409899）

在中學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何中，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，既是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是所教的難點(diǎn)之一，特別對(duì)于中等職業(yè)學(xué)校的學(xué)生來(lái)說(shuō)更是如此，由于知識(shí)結(jié)構(gòu)的差異，多數(shù)學(xué)生是奔專業(yè)乘興而來(lái)最后卻掃興而歸.但另一方面，學(xué)好這部分知識(shí)，對(duì)中職學(xué)生的專業(yè)知識(shí)的鞏固和專業(yè)技能的提升都有極大的幫助.

課堂教學(xué)；隨筆；曲線方程

如何確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程，怎樣運(yùn)用解題方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中顯得尤為重要.坐標(biāo)系的選擇是基礎(chǔ)，不同的坐標(biāo)系，就有著不同形式的方程，同一坐標(biāo)系下不會(huì)因解法不同而有不同的方程.教學(xué)中，首先讓學(xué)生明白軌跡是具有共同特性的動(dòng)點(diǎn)的集合，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于“定點(diǎn)”、“定長(zhǎng)”、“定直線”這三“定”的理解（課本上關(guān)于圓、橢圓、雙曲線、拋物線方程的建立過(guò)程，就是求曲線方程的典范，在教學(xué)中必須充分發(fā)揮其示范作用）.擬定與三“定”有關(guān)的題目，讓學(xué)生嘗試建立不同的坐標(biāo)系，如已知△ABC的一邊為8，周長(zhǎng)為20，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.其次，掌握教材中求動(dòng)點(diǎn)軌跡的最主要最基本的五個(gè)步驟，即：（1）建系；（2）設(shè)點(diǎn)；（3）列式；（4）代換；（5）化簡(jiǎn).無(wú)論是自建坐標(biāo)系，還是已建坐標(biāo)系，列式與代換是重點(diǎn)，運(yùn)用不同的知識(shí)體系，采取不同的數(shù)學(xué)手段，由不同的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，經(jīng)過(guò)不同的數(shù)學(xué)處理，最終得出所要的結(jié)論，它是數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn).

一、自建坐標(biāo)系求方程

例：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B所在的直線互相垂直，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

解法一：以過(guò)AB兩定點(diǎn)的直線為X軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M（X，Y）為曲線上不與A（-a，0），B（a，0）合的任意一點(diǎn)，由已 知 條 件 MA⊥MB得|MA|2+|MB|2=|AB|2，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得

方程（1）即為所求的點(diǎn)M的軌跡方程.

解法二：以通過(guò)A和B兩定點(diǎn)的直線為X軸，A為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖：

若AB=2a（常量），那么A與B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，0）和（2a，0）

設(shè)M（x，y）為曲線上不與A，B重合的任意一點(diǎn)，可得|MA|2+|MB|2=|AB|2

方程（2）也是所求的點(diǎn)M的軌跡方程.

比較方程序（1）（2），可以看出，雖然都是點(diǎn)M的軌跡方程，但由于選擇的坐標(biāo)系不同，所得的軌跡方程的形式也就不同.方程（1）要比方程（2）簡(jiǎn)單，因此，在建立曲線方程時(shí)，要注意選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使曲線方程的形式比較簡(jiǎn)單.

解法三：坐標(biāo)系的建立同解法一.

設(shè)M（x，y）為曲線上不與A（-a，0），b（a，0）重合的任意一點(diǎn)，由已知條件MA⊥MB KAM·KMB=-1

方程（3）也是所求點(diǎn)M的軌跡方程.

比較以上方程可以看出：在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，用不同的方法求出的同一軌跡的曲線方程是相同的.

二、已建坐標(biāo)系求方程

例：過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解法一：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），因CM⊥AB，

化簡(jiǎn)得x2+y2-3x=0（x≠3，x≠0）

解法二：在直角三角形OCM中，OM2+CM2=OC2（x2+y2）+（x-3）2+y2=9

化簡(jiǎn)得x2+y2-3x=0

所求方程為x2+y2-3x=0

從上兩題看出，求軌跡方程問(wèn)題，要循序漸進(jìn)，由易到難，充分利用所學(xué)知識(shí)，尋求不同的解決方法，在不斷的探索中尋找樂(lè)趣.

G633.6

A

1674-9324（2014）07-0237-01

很少愿意動(dòng)手去畫(huà)圖，計(jì)算的時(shí)候更加不愿意動(dòng)手，而是利用計(jì)算器這個(gè)數(shù)學(xué)工具來(lái)代替手算。這些小細(xì)節(jié)對(duì)于學(xué)習(xí)物理都起到了阻礙的作用。第三，學(xué)習(xí)物理要經(jīng)常性地在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間做回顧復(fù)習(xí)。因?yàn)槲锢淼闹R(shí)點(diǎn)相對(duì)來(lái)說(shuō)不會(huì)特別多，學(xué)生可以在學(xué)了一個(gè)專題之后，對(duì)前面的知識(shí)做一個(gè)簡(jiǎn)單的回顧，不停學(xué)習(xí)—復(fù)習(xí)—學(xué)習(xí)—復(fù)習(xí)，這樣對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握才會(huì)更牢固。