●姜文彪

用數(shù)學(xué)建模解決身邊的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題案例及分析

●姜文彪

數(shù)學(xué)建模課程對(duì)數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求比較高，尤其是經(jīng)濟(jì)、管理類專業(yè)的學(xué)生對(duì)本門(mén)課程學(xué)習(xí)起來(lái)更是感覺(jué)困難，實(shí)際生活中難以應(yīng)用。在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想，使數(shù)學(xué)建模與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、實(shí)際問(wèn)題有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，讓數(shù)學(xué)變得既生動(dòng)又符合實(shí)際，取得良好的教學(xué)效果。

數(shù)學(xué)建模 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 貨幣流 循環(huán)經(jīng)濟(jì)

一、引言

數(shù)學(xué)建模是在20世紀(jì)60~70年代進(jìn)入西方國(guó)家一些大學(xué)的，我國(guó)的幾所大學(xué)也在80年代初將數(shù)學(xué)建模引入課堂。經(jīng)過(guò)30多年的發(fā)展，現(xiàn)在絕大多數(shù)本科院校和許多?？茖W(xué)校都開(kāi)設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座，我校也在1996年開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，同年開(kāi)始參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。經(jīng)過(guò)近20年的建設(shè)，數(shù)學(xué)建模課程已被評(píng)為校級(jí)精品課，越來(lái)越多的學(xué)生也開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)建模這門(mén)課程產(chǎn)生了興趣。但這門(mén)課程對(duì)數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求比較高，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中很難理解和接受，尤其經(jīng)濟(jì)、管理類專業(yè)的學(xué)生，覺(jué)得這門(mén)課程枯燥乏味，晦澀難懂，和本專業(yè)好像聯(lián)系不大，從而產(chǎn)生厭學(xué)思想。本文根據(jù)筆者多年教學(xué)實(shí)踐和探索，將身邊的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)方法加以解決，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生興趣，在講解經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的同時(shí)掌握了常見(jiàn)的數(shù)學(xué)建模方法，這樣極大地提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，取得了較好的教學(xué)效果。

二、教學(xué)案例

（一）是買還是租

隨著人們生活水平的提高，越來(lái)越多的人們開(kāi)始擁有了私家車，隨著買車市場(chǎng)的繁榮，租車市場(chǎng)也日漸興起。那么，到底是買車劃算還是租車劃算呢，下面我們用建模的思想對(duì)此問(wèn)題加以解決。

假設(shè)購(gòu)買一輛家用汽車需要15萬(wàn)元現(xiàn)金，使用壽命15年；如果租一輛汽車，每年需要支付1.5萬(wàn)元租金，租金以貨幣流的方式支付，若銀行的年利率是4%，問(wèn)購(gòu)買還是租用汽車劃算，如果銀行的年利率是8%，結(jié)論又是如何呢？

分析：購(gòu)買一輛汽車可以使用15年，但需要馬上支付15萬(wàn)元，而同樣租一輛汽車使用15年，則需要以貨幣流的方式支付15年的租金，年流量為1.5萬(wàn)元。兩種方案所支付的價(jià)值無(wú)法直接比較，必須將它們都化為同一時(shí)刻的價(jià)值才可以比較。我們以當(dāng)前的價(jià)值為準(zhǔn)，購(gòu)買一輛汽車的當(dāng)前價(jià)格為15萬(wàn)元。

下面計(jì)算均勻貨幣流的當(dāng)前價(jià)格。

設(shè)t=0時(shí)向銀行存入Ae-rT元，若按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，T年后在銀行的存款恰好為A元。那么，對(duì)流量為a的均勻貨幣流，在[t，t+△t]時(shí)所存入的元a△t元，在t=0時(shí)價(jià)值是a△tge-rt=ae-rt△t。

所以，15年的租金在當(dāng)前的價(jià)值為：

此時(shí)租汽車比購(gòu)買汽車劃算。

（二）用“循環(huán)經(jīng)濟(jì)”理念制定發(fā)展規(guī)劃

制定一個(gè)地區(qū)的規(guī)劃，不同的理念將導(dǎo)致不同的結(jié)果，或成功或失敗。以科學(xué)發(fā)展觀為指導(dǎo)思想，應(yīng)用循環(huán)經(jīng)濟(jì)理念制定發(fā)展規(guī)劃，越來(lái)越為人們所接收。

下面用陸鐘武教授提出的基于IPAT方程的環(huán)境負(fù)荷控制模型加以分析。

IPAT方程可表達(dá)為：

I=P×A×T

此模型簡(jiǎn)單實(shí)用，它是西方學(xué)者經(jīng)過(guò)多年反復(fù)討論、經(jīng)過(guò)驗(yàn)證確定下來(lái)的。其中I表示環(huán)境負(fù)荷，P表示人口，A表示人均GDP，T表示單位的GDP環(huán)境負(fù)荷。例如：

例如:設(shè)我國(guó)2013年人口為13.5×108人，人均為6000美元；2023年人口為15×108人，人均為11000美元。若此期間不允許環(huán)境負(fù)荷上升，問(wèn)萬(wàn)美元GDP環(huán)境負(fù)荷應(yīng)降低多少?

分析：設(shè)2013年，環(huán)境負(fù)荷為I0，萬(wàn)美元GDP環(huán)境負(fù)荷為T(mén)0，則：

即在此期間，萬(wàn)美元GDP環(huán)境負(fù)荷應(yīng)降低2.04倍。

以上是筆者在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中將數(shù)學(xué)建模融入其中的幾個(gè)教學(xué)案例，當(dāng)然還有很多需要完善和改進(jìn)的地方。用數(shù)學(xué)定量地解決經(jīng)濟(jì)、管理科學(xué)和經(jīng)濟(jì)、管理實(shí)踐中的問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)亟⒂谶@些問(wèn)題有關(guān)的數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵。培養(yǎng)學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、掌握一定的數(shù)學(xué)建模能力，對(duì)當(dāng)前培養(yǎng)創(chuàng)新型和應(yīng)用型人才顯得尤為重要。

[1]母麗華，周永芳.數(shù)學(xué)建模[M].科學(xué)出版社，2011

[2]彭紅軍，張偉，李媛.微積分[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2013

[3]譚永基等.經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)模型案例教程[M].高等教育出版社，2006

[4]錢和平，徐青舟.數(shù)學(xué)建模融入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例及分析[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012（6）

（作者單位：黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院 黑龍江哈爾濱 150022）

（責(zé)編:賈偉）

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