司文濤，童寧寧，邱程

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051)

0 引言

研究表明：散射表面的分維特性將攜帶到散射信號中。在此基礎(chǔ)上1993年研究人員將分形理論引入復(fù)雜背景的信號檢測中，并得到了迅速的發(fā)展。許多文獻(xiàn)研究了分形理論在雷達(dá)目標(biāo)檢測中應(yīng)用[1-6]。這些研究都以實測數(shù)據(jù)來對理論和方法進行驗證和說明，具有很強的說服力，但卻不具有普遍性，并且對于大多數(shù)科研人員來說實測數(shù)據(jù)是難以獲得的，不利于分形理論在雷達(dá)信號檢測領(lǐng)域的進一步深入研究和推廣。因此，應(yīng)用分形理論建立海雜波模型顯得尤為必要。

基于分形理論的海雜波建模，分為基于散射機理模型和簡單的時域模型2類。文獻(xiàn)[7]給出了海雜波散射機理模型，但是這種模型的計算量巨大。相比于散射機理建模簡單時域建?？梢杂靡粋€比較簡單的迭代函數(shù)系統(tǒng)(Iterated Function System,IFS)和較少的參數(shù)來產(chǎn)生復(fù)雜的雜波信號。在已知雜波背景具有的分形特性和分形參數(shù)的基礎(chǔ)上，可以反演出海雜波的時間序列。王紅光等利用分?jǐn)?shù)Brown運動(FBM)模型為海雜波建模。但是，研究表明海雜波背景往往具有多重分形特性[8]，文獻(xiàn)[9-10]并通過加權(quán)組合的方法產(chǎn)生了具有多重分形特征的高頻雷達(dá)海雜波。但是其仿真流程比較復(fù)雜，需要多次判決尋優(yōu)。本文通過對多重分形特征和分式布朗運動模型的研究，提出了一種在分式布朗運動模型上隨機抽取一組序列，組成一個近似多重分形的隨機過程來模擬海雜波序列。最后通過Matlab仿真說明了仿真得到的隨機序列具有多重分形的性質(zhì)，可以很好地模擬海雜波。

1 分式布朗運動模型

具有自相似性連續(xù)隨機過程X=xt,t≥0，在 X0=0，滿足如下冪律規(guī)律

Xλt=λHXt, t≥0，

(1)

式中：λ為比例系數(shù)且λ>0；H為Hurst指數(shù)。這個表達(dá)式被普遍視為自相似隨機過程的定義式[11]。

分形理論表明了事物內(nèi)部以及事物之間的相似性，分式布朗運動模型是分形理論研究中常用的數(shù)學(xué)模型，于1968由Mandelbort和Van Ness提出，并作如下定義：

(2)

式中：BHt為分式布朗運動；Bt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；s為時間延遲；

(3)

H=TD+1-D，

(4)

式中：TD為拓?fù)渚S數(shù)，對于一維時間序列，TD=1，所以H=2-D。

分式布朗運動的增量為具有自相似性質(zhì)的高斯噪聲，滿足

(5)

式中：

(6)

分式布朗運動模型的自相關(guān)函數(shù)為

(7)

其功率譜密度具有如下性質(zhì):

Ff～1/fα,

(8)

其中：α=2H+1，并且滿足1<α<3。

文獻(xiàn)[12]提出了一種基于分形積分模型的分式布朗運動時間序列模型產(chǎn)生方法：將所要得到的時間序列模型看作有一個高斯白噪聲輸入到某一線性系統(tǒng)中所產(chǎn)生的輸出。以ht作為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，所以輸出為

(9)

根據(jù)分式布朗運動的性質(zhì)得到傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)序列迭代表達(dá)式為

(10)

2 海雜波多重分形序列模型

Mandelbort等于1997年提出構(gòu)造一個復(fù)合的分式布朗運動Xt=BHTt來模擬具有多重分形性質(zhì)的隨機過程，其中BHt是一個分式布朗運動，Tt是一個關(guān)于t的連續(xù)非減隨機函數(shù)，并且Tt與BHt相互獨立。

本文采用對分式布朗運動隨機序列進行隨機抽樣的方法，抽樣時間是遞增的，但是增量Δt(對于離散序列Δt=m)是隨機的，即

(11)

式中：mk在1,M(M為正整數(shù))區(qū)間內(nèi)取整數(shù)。

為了保證抽樣之后得到的序列具有長程相關(guān)性，所以M的取值不宜過大。采用以上模型，通過Matlab仿真得到圖1～4。圖1為仿真得到的時間序列；圖2為對仿真得到的時間序列的幅度進行歸一化得到的波形圖；圖3為圖2中歸一化幅度的分布圖；圖4為仿真得到的時間序列的功率譜密度。圖3中圓點代表時間序列歸一化幅度的分布情況，實線代表高斯分布的理論曲線，所以從圖中可見仿真得到的時間序列相比標(biāo)準(zhǔn)高斯分布有較長的拖尾，具有明顯的非高斯性。

圖1 時間序列波形圖Fig.1 Simulation sequence oscillogram

圖2 時間序列的幅度歸一化波形圖Fig.2 Ampitude uniformization oscillogram

圖3 時間序列的歸一化幅度分布圖Fig.3 Uniformization amplitude distribution graph

圖4 時間序列功率譜密度圖Fig.4 PSD distribution graph

3 多重分形特性分析

多重分形的重要標(biāo)志有2個：非高斯性(圖3可以說明)和長程相關(guān)性。仿真得到的時間序列的時間相關(guān)性可以由時間相關(guān)函數(shù)(auto-correlation function，ACF)來表征，其定義為

(12)

時間序列(如圖1)的相關(guān)函數(shù)曲線如圖5所示。圖中分別畫出了隨機序列在50點和500點范圍內(nèi)的相關(guān)函數(shù)曲線，從圖5可以看出仿真得到的時間序列具有長程相關(guān)性。

由隨機乘法模型得到配分函數(shù)

χqr∝rτq.

(13)

對式(13)兩邊取對數(shù)得到

lnχqr≈τqlnr+C,

(14)

式中：τq為q次相關(guān)指數(shù)；C為常量。

圖5 仿真序列的時間相關(guān)函數(shù)Fig.5 Sequence time correlation

τq與Dq(廣義維數(shù))存在如下關(guān)系：

τq=q-1Dq.

(15)

如果式(13)成立，并且τq不是q的線性函數(shù)，即認(rèn)為測度是多重分形的[13]。對幅度進行歸一化(如圖2所示)

(16)

式中： N=2n為數(shù)據(jù)長度。所以配分函數(shù)

(17)

為了驗證式(13)是否成立，可以驗證式(14)是否成立。用q階矩結(jié)構(gòu)函數(shù)分割法對仿真數(shù)據(jù)進行處理得到圖6,7。

圖6 ln r～ln χqr曲線Fig.6 ln r～ln χqr curve graph

圖7 q～τq曲線Fig.7 q～τq curve graph

圖6為lnr ～ln(χq(r))曲線，從圖中可見在lnr取4到9時表現(xiàn)比較好的線性關(guān)系，說明在一定尺度變化范圍內(nèi)仿真模型具有無標(biāo)度性。圖7為q～τq曲線圖，從圖中可見曲線有一個明顯的折點，說明τq不是q的線性函數(shù)，所以根據(jù)多重分形判定準(zhǔn)則，可以判定仿真得到的時間序列具有多重分形性質(zhì)。仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[6，9-10]中研究的實測海雜波數(shù)據(jù)進行對比發(fā)現(xiàn)，其性質(zhì)十分相似。說明了本文模型可以很好地模擬海雜波。

4 結(jié)束語

利用分形理論建模海雜波具有非常大的潛力，本文在研究多重分形特征和分式布朗運動模型的基礎(chǔ)上，提出了一種在分式布朗運動模型上隨機抽取一組序列，組成一個近似多重分形的隨機過程來模擬海雜波序列的海雜波建模方法。并通過Matlab仿真說明了仿真得到的海雜波序列具有多重分形的性質(zhì)。需要指出的是，本文模型與文獻(xiàn)中研究的實測數(shù)據(jù)的分形性質(zhì)具有很好的相似性，說明了模型的合理性。對于海雜波分形性質(zhì)及相關(guān)檢測方法的深入研究，具有一定的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] Seyed A, Madanizadeh Mohammad M Nayebi. Singal Detection Using the Correlation Coefficient in Fractal Geometry[C]∥IEEE Radar Conference, Boston, MA: IEEE press, 2007:481-486.

[2] Kenichi Kamijo, Akiko Yamanouchi. Signal Processing Using Fuzzy Fractal Dimension and Grade of Fractality-Application to Fluctuation in Seawater Temperature[C]∥2007 IEEE Symposium on Computational Intelligencein Image and Signal Processing, Hondulu, HI: IEEE press, 2007:133-138.

[3] 關(guān)鍵，劉寧波，張建，等．基于LGF的海雜波中微弱目標(biāo)檢測方法[J]．信號處理，2010，26(1)：69-73．

GUAN Jian, LIU Ning-bo, ZHANG JIAN,et al. Low-Observable Target Detection Within Sea Clutter Based on LGF[J]. Singal Processing, 2010,26(1):69-73.

[4] 行鴻彥，龔平，徐偉．海雜波背景下小目標(biāo)檢測的分形方法[J]．物理學(xué)報，2012，61(16)：1-10．

XING Hong-yan, GONG Ping, XU Wei. Small Target Detection in the Background of Sea Clutter Using Fractal Method[J]. Acta Physica Sinica, 2012,61(16): 1-10.

[5] 劉寧波，關(guān)鍵，宋杰，等．分形理論在目標(biāo)檢測中的應(yīng)用[J]．現(xiàn)代雷達(dá)，2012，34(2)：12-18．

LIU Ning-bo, GUAN Jian, SONG Jie,et al.Application of Target Detection Based on Fractal Theories[J]. Modern Radar, 2012,34(2): 12-18.

[6] 關(guān)鍵，劉寧波，張建，等．海雜波的多重分形關(guān)聯(lián)特性與微弱目標(biāo)檢測[J]．電子與信息學(xué)報，2010，32(1)：54-61．

GUAN Jian, LIU Ning-bo, ZHANG Jian,et al.Multifractal Correlation Characteristic of Real Sea Clutter and Low-Observable Targets Detection[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2010,32(1): 54-61.

[7] LIN N, LEE H P, LIM S P. Wave Scattering Fromfractal Surfaces[J]. Journal of Modern Optics, 1995,42(1): 225-241.

[8] GAO J, YAO K. Multifractal Features of Sea Clutter[C]∥IEEE Radar Conference, Long Beach, CA:2002 Proceedings of the IEEE, 2002: 500-505.

[9] 盛文，任吉．高頻雷達(dá)海雜波的多重分形建模方法研究[J]．電波科學(xué)學(xué)報，2011，26(5)：983-989．

SHENG Wen, REN Ji. Multifractal Modeling Method for HF Radar Sea Clutter[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2011,26(5): 983-989.

[10] 任吉，盛文．一種新的高頻雷達(dá)海雜波的分形模型[J]．中國電子科學(xué)研究院學(xué)報，2011，6(5)：494-498．

REN Ji, SHENG Wen. A New Fractal Model for HF Sea Clutter[J]. Journal of CAEIT, 2011,6(5): 494-498.

[11] 戴維·哈特．重分形：理論及應(yīng)用[M]．北京：科學(xué)出版社，2012．

HARTE D. Multifractal: Theory and Application[M]. Beijing: Science Publishing House, 2012.

[12] 陳曉娟，唐龍泳，隋吉生，等. 分形分析1/f噪聲性能[J]．河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，33(1)：29-31．

CHEN Xiao-juan，TANG Long-yong，SUI Ji-sheng，et al.Fractal Analyse of 1/fNoise Performance [J]．Journal of Henan University of Science and Technology：Natural Science，2012，33(1)：29-31．

[13] GINI F,FARINA A,MONTANARI M. Vector Subspace Detection in Compound-Gaussian Clutter[J]. IEEE Trans. on Aerospace Electronic System, 2002,38: 1312-1323.