陳毛毛,薛紅,王琪

（西安工程大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710048）

期權(quán)定價(jià)一直是金融數(shù)學(xué)的核心問(wèn)題之一,最早可以追溯到1973 年,Black 和Scholes 發(fā)表了一篇題為“期權(quán)定價(jià)與公司債務(wù)”的論文,同時(shí)提出了著名的Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)模型[1],得到了Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式.但是Black-Scholes 公式中假設(shè)波動(dòng)率為常數(shù),這與實(shí)際金融市場(chǎng)并不相符,1985 年Rubinstein[2]首次發(fā)現(xiàn)實(shí)指和虛值期權(quán)的隱含波動(dòng)率比較高,兩平期權(quán)的隱含波動(dòng)率比較低,并將此現(xiàn)象稱為波動(dòng)率微笑.為了解決這一問(wèn)題,學(xué)者們提出了一系列隨機(jī)波動(dòng)率模型,假設(shè)波動(dòng)率是隨機(jī)過(guò)程,其中Scott[3]假定波動(dòng)率服從指數(shù)過(guò)程,Hull 等[4]假定波動(dòng)率服從平方根過(guò)程,Shanno[5]提出了不確定波動(dòng)率模型.另一種對(duì)Black-Scholes 模型的修正是以Cox 等[6]、Geske[7]、Rubinstein[8]和Bensoussan 等[9]為代表,利用具有價(jià)格依賴型波動(dòng)率的擴(kuò)散過(guò)程來(lái)描述股票價(jià)格,認(rèn)為波動(dòng)率是股票價(jià)格和時(shí)間的函數(shù).彭實(shí)戈[10]在2006 年引入了次線性期望空間,在G-框架下構(gòu)造了相應(yīng)的G-布朗運(yùn)動(dòng).且得到了一系列重要結(jié)果,參見(jiàn)[11-14].文獻(xiàn)[15]討論了G-正態(tài)分布和G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬,文獻(xiàn)[16]討論了G-布朗運(yùn)動(dòng)二次變差的模擬,徐靜等[17]給出了G-框架下的歐式期權(quán)定價(jià)公式.但是并沒(méi)有學(xué)者利用G-布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行期權(quán)價(jià)格的模擬計(jì)算,上證50ETF 期權(quán)在2015 年2 月上市,研究其對(duì)于中國(guó)發(fā)展金融衍生品市場(chǎng)具有重要借鑒意義.本文在G-布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下建立金融市場(chǎng)模型,假設(shè)股票價(jià)格服從由G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程,利用蒙特卡洛方法以及保險(xiǎn)精算方法數(shù)值模擬計(jì)算期權(quán)價(jià)格并用50ETF 進(jìn)行實(shí)證分析.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1（G-正態(tài)分布[12]）在次線性期望空間中,如果一個(gè)隨機(jī)變量滿足

定義2（G-布朗運(yùn)動(dòng)[12]）次線性期望空間上的實(shí)值隨機(jī)過(guò)程稱為G-布朗運(yùn)動(dòng),如果對(duì)每一個(gè),有,且滿足兩條性質(zhì)：

（1）B0=0；

（2）對(duì)每一個(gè)t,s＞0,增量Bt+s-Bt服從,并且對(duì)每一個(gè),增量

定義3（二次變差過(guò)程[13]）G-布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差過(guò)程定義為

引理1假設(shè)U 服從上的均勻分布,F 是一個(gè)嚴(yán)格遞增的連續(xù)分布函數(shù),那么F-1（U）服從分布F[18].

算法1模擬G-布朗運(yùn)動(dòng)及其二次變差過(guò)程的步驟如下：

Step1：在方程

Step2：生成n 個(gè)在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)

Step4：由于G-布朗運(yùn)動(dòng)的增量 Bti-Bti-1服從分布,且對(duì)每一個(gè) i = 1,2,…,n,均獨(dú)立于把Step3 得到的xi, i = 1,2,… ,n 逐項(xiàng)累加就得到一條G-布朗運(yùn)動(dòng)的軌道；

圖1 G-正態(tài)分布的分布函數(shù) Fig.1 G-normal distribution function

圖2 G-正態(tài)分布的密度函數(shù)Fig.2 G-normal density function

G-布朗運(yùn)動(dòng)及其二次變差的軌道見(jiàn)圖3 和圖4.

圖3 G-布朗運(yùn)動(dòng)的樣本軌道 Fig.3 Sample path of G-Brownian motion

圖4 G-布朗運(yùn)動(dòng)二次變差的樣本軌道Fig.4 Sample path of ＜B＞t

2 基于G-布朗運(yùn)動(dòng)的歐式期權(quán)數(shù)值模擬

2.1 股價(jià)基本模型

假設(shè)股價(jià)滿足隨機(jī)微分方程

式（2）中：St代表t 時(shí)刻股價(jià),μ 為期望收益率,Bt為G-布朗運(yùn)動(dòng),

式（3）中：＜B＞t為G-布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差過(guò)程.

2.2 參數(shù)估計(jì)與數(shù)值模擬

隨機(jī)微分方程（1）的離散形式為

故有

即

計(jì)算每個(gè)窗口的方差,取其中最大值為總窗口中的方差上界,即,取其中最小值為總窗口中的方差下界,即.在μ 已經(jīng)被確定的情況下可以獲得關(guān)于下方差和上方差的最優(yōu)漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)

式（6）、式（7）中：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按其期望回報(bào)率貼現(xiàn),期望收益率無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r 貼現(xiàn).

圖5 基于布朗運(yùn)動(dòng)的股價(jià)3 條樣本軌道 Fig.5 Three sample paths of stock prices based on Brownian motion

圖6 基于G-布朗運(yùn)動(dòng)的股價(jià)3 條樣本軌道Fig.6 Three sample paths of stock price basedon G-Brownian motion

圖7 不同模擬次數(shù)下的歐式看漲期權(quán)價(jià) Fig.7 European call option price with different simulation times

圖8 不同模擬次數(shù)下的歐式看漲期權(quán)價(jià)格Fig.8 European put option price with different simulation times

3 實(shí)證分析

選取50ETF 期權(quán)（標(biāo)的物代碼為510050）來(lái)進(jìn)行實(shí)證分析.選擇2018 年10 月23 日中到期日為11月28 日的全部合約,基本信息見(jiàn)表1.已知2018 年10 月23 日50ETF 的收盤價(jià)格為2.511 元,即S0=2.511,因此模擬接下來(lái)26 個(gè)交易日的股票價(jià)格走勢(shì),無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率選取央行2018 年定期存款3 個(gè)月的利率,為1.1%,故r=0.011.所用到的數(shù)據(jù)來(lái)源于交易所行情數(shù)據(jù)借接口.

表1 上證50ETF 的基本信息Tab.1 Basic information of SSE 50ETF

3.1 參數(shù)估計(jì)

對(duì)G-布朗運(yùn)動(dòng)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)選取滑動(dòng)窗口法, 根據(jù)2018 年1 月2 日至2018 年10 月23 日50ETF 數(shù)據(jù),將對(duì)數(shù)收益率序列看作總窗口M,子窗口長(zhǎng)度N 設(shè)為24,共有171 個(gè)窗口,計(jì)算出上方差和下方差分別為

同樣,對(duì)數(shù)收益率序列的均值

即

在布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)計(jì)算得到對(duì)數(shù)收益率序列的均值μ 和波動(dòng)率

故

即

3.2 結(jié)果分析

表2 為分別利用Black-Scholes 公式所計(jì)算的看漲、看跌期權(quán)價(jià)格與布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下和G-布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的模擬計(jì)算的看漲、看跌期權(quán)價(jià)格對(duì)比分析.

利用表2 數(shù)據(jù),可得3 種方法計(jì)算結(jié)果與實(shí)際價(jià)格的均方誤差：

（1）Black-Scholes 公式下均方誤差

（2）布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下均方誤差

（3）G-布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下均方誤差

通過(guò)上面的分析可以看出,MSE3＜MSE2＜MSE1,G-布朗運(yùn)動(dòng)下模擬的期權(quán)價(jià)格較Black-Scholes 公式以及布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下模擬的期權(quán)價(jià)格而言,能更好地刻畫(huà)市場(chǎng)運(yùn)動(dòng),并得到較精確的市場(chǎng)定價(jià),再次說(shuō)明了G-布朗運(yùn)動(dòng)比布朗運(yùn)動(dòng)更適合描述復(fù)雜的金融市場(chǎng).

4 小結(jié)

本文通過(guò)假設(shè)股票價(jià)格隨機(jī)微分方程由G-布朗運(yùn)動(dòng)所驅(qū)動(dòng),模擬股票價(jià)格軌道,利用保險(xiǎn)精算方法模擬計(jì)算期權(quán)價(jià)格,同時(shí)用50ETF 真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,利用一系列模型進(jìn)行對(duì)比,得出G-布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)模型比布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)模型偏差小, 故G-布朗運(yùn)動(dòng)能得到較合理的市場(chǎng)期權(quán)定價(jià)的結(jié)果.總體而言,G-布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的數(shù)值方法比布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的數(shù)值方法更具有優(yōu)越性.