王 鵬，袁操今，王 林，李重光

(1.昆明理工大學理學院，昆明650500;2.南京師范大學物理科學與技術學院，南京210023)

引 言

隨著因特網的迅速發(fā)展，用于傳輸或存儲的數字圖像也隨之大大增多。為保護圖像信息，防止非授權用戶盜取，需要利用信息安全技術對圖像進行加密處理。在信息安全研究中，由于基于信息光學理論的加密技術具有高速、并行性好等特點，現在已經成為了信息安全技術中一個非常重要的分支［1-5］。該理論首先由JAVIDI提出，該課題組利用4f成像系統(tǒng)和雙隨機相位編碼技術［6］，對灰度圖像的空間信息和頻譜信息做隨機調制，從而達到加密的效果。在此基礎上，研究人員相繼提出了基于菲涅耳變換的加密方法［7］、基于分數傅里葉變換的加密方法［8］、純相位加密方法［9］等。

由于彩色圖像相對于灰度圖像，包含更多的信息，可以描述更為豐富的內容，因此對彩色圖像的加密更具有現實意義。彩色圖像的加密方法眾多，大致可分為多通道和單通道兩大類。多通道的方法是將彩色圖像分解為R，G和B 3個分量，分別對3個分量按照灰度圖加密的方法進行加密［10-12］。這類方法相對比較繁瑣，實現成本比較高。單通道方法則是將彩色圖像轉換成索引圖像，或是將它的R，G，B的3個分量編碼成1個灰度圖像，再對它們進行雙隨機相位加密［13-15］。與三通道的方法相比，該類加密方法比較簡單，易于實現。為提高彩色圖像的加密效率，ZHANG等人［16］提出了對兩幅彩色圖像同時加密的技術，該技術將兩幅彩色圖像分別轉換成索引圖像，通過將其中一幅圖像的數據矩陣作為振幅，另外一幅圖像的數據矩陣則作為相位掩膜，將它們在空域中融合成一幅灰度圖像。在解密過程中，由于涉及到相位解包裹問題，恢復原圖像經常帶有誤差。JOSHI等人［17］提出將彩色圖像轉換成索引圖像的形式，在空域中，首先利用余弦函數對隨機密鑰進行處理，然后使用處理后的隨機密鑰對數據矩陣進行調制，并以復數的形式合并組成一個復數矩陣。在變換域，該復數矩陣被隨機相位掩膜調制，最終實現雙彩色圖像的同時加密。由于余弦函數具有周期性，因此解密密鑰并不是唯一的，降低了加密的安全性。

本文中提出了一種基于分數傅里葉變換的單通道雙彩色圖像加密方法。將待加密的兩幅彩色圖像轉換成索引圖像，在加密過程，對這兩索引圖像對應的數據矩陣取以隨機數組為底的對數，并將得到的兩個結果構成一個復數矩陣，再對這個復數矩陣進行第1次分數傅里葉變換。然后使用隨機相位密鑰在變換域中進行調制，調制的結果再進行第2次分數傅里葉變換，最終實現了雙彩色圖像的同時加密。在加密過程中，圖像在空域不是受到隨機相位掩膜的調制，而是對圖像取以隨機數組為底的對數，不僅實現了對圖像的置亂，而且空域中的隨機矩陣也實現了加密的作用。同時該算法能夠對兩幅彩色圖像同時加密，相對于只能對一幅彩色圖像加密來說，加密的效率更高。實驗也證明了該方法具有很好的加密效果。

1 圖像加密及解密原理

1.1 索引圖像與三原色圖像

三原色圖像(red，green，blue，RGB)圖像可以分解為紅(R)、綠(G)和藍(B)3個分量，圖像的每個像素點都是用這3個分量對應的強度值來描述，如圖1a所示，右上角方框中的某個像素的3個分量的強度值分別是69，74和45。因此，一個M×N大小的圖像，若利用RGB模型表示，圖像矩陣大小就為M×N×3，這不僅大大占用了計算機存儲空間，而且分別對3層圖像進行加密處理，也會使計算量增大。

索引圖像則只由兩個矩陣構成，分別是顏色映射矩陣和數據矩陣。顏色映射矩陣是1個m×3的矩陣，m的值取決于調色板的大小(最大為256)，顏色映射矩陣每行的3個值分別表示紅、綠、藍3個分量的值。數據矩陣則是1個M×N的2維矩陣。數據矩陣的作用類似于“指針”，指向顏色映射矩陣，如圖1b所示，同樣也是右上角的1個像素，在數據矩陣中對應“186”，與顏色映射矩陣中的3個數對應。由于整幅圖像共用1個顏色矩陣，就不需要再利用一個3維數組來描述圖像。比起RGB模型，索引表示大大節(jié)省了計算機存儲空間。

Fig.1 The difference between the colored image and indexed image a—typical representation of a colored image b—typical representation of an indexed image

1.2 加密過程

加密過程的示意圖如圖2a所示。設待加密的兩幅圖像分別表示為p和q，將這兩幅彩色圖像分別轉換成像素點數為M×N的數據矩陣p1(x，y)和q1(x，y)以及顏色映射矩陣(M1，M2)。

Fig.2 The encryption and decryption process a—the algorithm for encryption b—the algorithm for decryption

分別對數據矩陣 p1(x，y)和 q1(x，y)取以r(x，y)為底的對數，r(x，y)為一個2維隨機矩陣，其大小為 M ×N，得到 z1(x，y)和z2(x，y)，數學上表示為:

將z1(x，y)和z2(x，y)以復數的形式合在一起，即z1+i z2，并對這個復數矩陣進行α1階的分數傅里葉變換，將其計算結果 Z(u，v)=Fα1［z1+i z2］(Fα1表示α1分數階的分數傅里葉變換)，乘以隨機相位掩膜 φ(u，v)=exp［jφ(u，v)］，其中 φ(u，v)為取值在-π到π的隨機分布，得到E(u，v)=Z(u，v)×φ(u，v)。最后對E(u，v)進行 α2階分數傅里葉變換，得到加密后的圖像e(x'，y')。

解密方法為加密過程的逆過程，其示意圖如圖2b所示。首先對加密后的圖像e(x'，y')進行-α2階分數傅里葉變換，再乘以相位掩膜的共軛函數φ*(u，v)，得到Z'(u，v)。然后，對 Z'(u，v)進行-α1階分數傅里葉變換，并分離出結果的實部和虛部，得到 z1'(x'，y')和 z2'(x'，y')。通過 r(x，y)可以得到數據矩陣 p1'(x，y)，q1'(x，y)，這個過程的數學表達式為:

最后，p1'(x，y)和 q1'(x，y)與對應的顏色映射矩陣(M1，M2)可以恢復出兩幅彩色圖像。

為客觀評價圖像的解密效果，利用均方差(mean square error，MSE)來衡量原圖像與解密圖像的差異，其表達式為:

式中，f(i，j)和 fd(i，j)分別表示原圖像和解密圖像在(i，j)處的灰度值，M×N表示圖像的尺寸。對于彩色圖像，分別計算原圖像的R，G，B 3個分量與解密圖像的R，G，B分量之間的均方差，并取其平均值［18］，即:

式中，e(r)，e(g)，e(b)分別對應于原圖像的 R，G，B與解密圖像的R，G，B分量之間的均方差。均方差MSE的值越小，說明兩幅彩色圖像越相似。

2 實驗模擬的結果及分析

2.1 實驗模擬

在計算機模擬仿真中，待加密的兩幅彩色圖像如圖3a和圖3b所示，其像素大小均為256×256的24位彩色圖像。加密過程中使用的隨機密鑰分別為 r(x，y)和 φ(u，v)，如圖3c和圖 3d 所示，除此之外分數階也可以作為密鑰(取α1=α2=1.2)，利用本文中提出的方法對圖3a和圖3b兩幅圖像加密，得到圖3e的結果，經過加密處理后，兩幅圖像已經加密成一幅穩(wěn)定的白噪聲圖像，完全看不出原始圖像。利用解密過程，可以獲得原圖像，如圖3f和圖3g所示。從上面的結果可以看出，在視覺上無法區(qū)分原彩色圖像和解密得到的彩色圖像，證明了該加密(解密)算法的可行性。

Fig.3 a—the original color image:office b—the original color image:mandrill c—the 2-D random matrix d—the random phase mask e—encrypted image f—decrypted image of office g—decrypted image ofmandrill

利用(6)式可計算出兩幅解密后的彩色圖像與原始彩色圖像之間的均方差分別為4.6403×10-4和8.3864×10-4。從客觀上也證明了解密出的彩色圖像與原始彩色圖像差異非常小，可以忽略，認為對應的兩幅彩色圖像相同。

為進一步驗證算法的可行性，選取100幅不同的彩色圖像作為試驗樣本。實驗中，在試驗樣本中任意抽取2幅圖像作為加密圖像采用該加密算法進行加密、解密。部分試驗結果(從論文篇幅考慮，只列舉了兩組4幅彩色圖像的加密(解密)結果)如圖4所示?！皁riginal images”中每組的2幅彩色圖像作為待加密的原始圖像;“encrypted image”是為使用本文中的算法對原始圖像的加密結果;“decrypted images”為相應的解密圖像;EMSE表示解密圖像與相對應的原始圖像之間的均方誤差，其結果均小于10-3，可以認為對應兩幅圖像相同，也進一步證明了該加密算法的普適性。

在相同的計算機配置下(CORETMi5處理器，主頻2.5GHz，2G內存，MATLAB軟件)，還模擬了在分數傅里葉變換域多通道的彩色圖像加密技術［11］，并比較了該技術與本文中算法對兩幅彩色圖像(像素大小為256×256，24位bmp格式)加密所需的時間，其加密時間統(tǒng)計結果依次為1.967s，0.472s。從該結果看，本文中算法具有更高的加密效率。

Fig.4 A part of experimental result

2.2 安全分析

2.2.1 分數階的安全性能 取分數階在(1.15，1.24］之間，等間隔0.005，分別計算對應解密結果的均方差，如圖5所示，橫坐標表示分數階的取值，縱坐標表示相應解密結果的均方差。從結果上看，僅當分數階α1=α2=1.2時，才能正確解密出原彩色圖像的信息。而且在α1=α2=1.2處曲線發(fā)生了突變，說明分數階密鑰具有很高的靈敏度，所以在未知分數階的情況下很難解出正確的結果。

2.2.2 隨機密鑰的安全性能 隨機密鑰有r(x，y)和φ(u，v)。其中若密鑰r(x，y)部分錯誤的情況下，計算對應的解密圖像，如圖6所示。圖6a、圖6d分別為錯誤尺寸為密鑰的1/4和1/8，圖中黑色部分為密鑰的未知或錯誤部分;圖6b、圖6c以及圖6e、圖6f分別對應于使用密鑰圖6a和圖6d進行解密的結果(圖中EMSE表示解密圖像與原圖像之間的MSE值)。從結果來看，完全無法分辨出解密結果的圖像信息，從而驗證了密鑰r(x，y)具有很高的安全性。

Fig.5 MSE against variation in fractional orders

Fig.6 Security of r(x，y)

如果密鑰φ(u，v)部分錯誤的情況下，解密的結果如圖7所示。圖7a、圖7d分別為錯誤尺寸為密鑰的1/4和1/8;圖7b、圖7c、圖7e和圖7f分別對應于使用密鑰圖7a和圖7d進行解密得到的圖像。從結果來看，只能獲取圖像的部分信息，說明密鑰φ(u，v)有一定的安全性能。

Fig.7 Security ofφ(u，v)

2.2.3 顏色映射矩陣的安全性能 顏色映射矩陣保存的是彩色圖像的顏色信息，加密系統(tǒng)中，顏色映射矩陣也可以作為密鑰。在顏色映射矩陣M1和M2的部分數據錯誤，其它密鑰均正確的情況下，解密結果如圖8所示。圖8a和圖8b為20%的數據錯誤(實驗中，錯誤數據均設為0)時的解密結果;圖8c和圖8d為10%的數據錯誤時的解密結果。從結果上看，雖然能分辨出圖像的基本輪廓，但是圖像的顏色發(fā)生了嚴重的畸變，說明顏色映射矩陣有較好的安全性能。

Fig.8 Security of the colormappingmatrix

3 結論

設計了一種基于分數傅里葉變換單通道的雙彩色圖像的加密算法。該算法在空域中，將兩幅彩色圖像表示為索引圖像，對相應的數據矩陣分別取以隨機數組為底的對數，并將得到的兩個結果組合成一個復數矩陣。這個復數矩陣在變換域受到了隨機相位密鑰的調制，從而實現雙彩色圖像的同時加密。在該算法中，無論空域中的隨機數組還是變換域中的隨機相位掩膜，都能很好地起到加密作用，不會因為圖像為實數矩陣時，空域中的密鑰無法起到加密的作用。除此之外，加密(解密)過程使用的是分數傅里葉變換，該變換的分數階以及顏色映射矩陣也都可以作為密鑰，所以該加密系統(tǒng)具有很好的加密性能。由于該算法對兩幅彩色圖像同時加密，而且加密系統(tǒng)并沒有因此變得復雜，所以該算法對彩色圖像加密的效率更高。模擬實驗證明了該方法的有效性，并具有很高的安全性。

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