有四普 夏清華 左 偉 曾 軍

（湖北文理學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 湖北 襄陽(yáng) 441053）

彈簧是一種常見(jiàn)的物體，在實(shí)際生活中的應(yīng)用范圍比較廣且非常重要，彈簧也經(jīng)常出現(xiàn)在精密儀器中，因此能準(zhǔn)確知道彈簧的勁度系數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用中是很有意義的.故而如何精確測(cè)量彈簧勁度系數(shù)也成了一個(gè)很有意義的工作，本文對(duì)傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法進(jìn)行了改進(jìn)和創(chuàng)新，利用彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特性來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)彈簧勁度系數(shù)的測(cè)量.

1 教學(xué)中傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)法對(duì)彈簧勁度系數(shù)測(cè)量的缺陷

教學(xué)中對(duì)彈簧勁度系數(shù)測(cè)量的傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)法缺陷分別為：

（1）利用胡克定律測(cè)彈簧勁度系數(shù)的缺陷是彈簧自身重力和長(zhǎng)度測(cè)量對(duì)實(shí)驗(yàn)精度的影響；

（2）傳統(tǒng)的利用彈簧振子在氣墊導(dǎo)軌上做簡(jiǎn)諧振動(dòng)測(cè)彈簧勁度系數(shù)的缺陷是彈簧振子來(lái)回做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)受到氣流粘滯阻力的影響，使實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)并不精準(zhǔn).

2 彈簧質(zhì)量對(duì)振子運(yùn)動(dòng)周期影響的理論分析

對(duì)于一個(gè)確定的彈簧其勁度系數(shù)是確定的，為κ，振子與彈簧本身的質(zhì)量分別為M和m，而彈簧的圓頻率ω和κ滿足以下表達(dá)式［1，2］

對(duì)式（1）進(jìn)行極限分析得到彈簧振子的周期關(guān)系式

可見(jiàn)對(duì)于已知彈簧來(lái)說(shuō)彈簧振子的質(zhì)量對(duì)彈簧振子的振動(dòng)周期有著決定性的作用，因此在利用彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)測(cè)彈簧的勁度系數(shù)時(shí)要根據(jù)選擇的振子的質(zhì)量來(lái)選擇實(shí)驗(yàn)的原理公式，即要對(duì)理想情況下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子的周期公式做相應(yīng)的修正.一般來(lái)說(shuō)彈簧的簧絲越細(xì)、簧圈的節(jié)高越小、彈簧的形變?cè)叫?、彈簧的匝?shù)越多，彈簧的彈性性質(zhì)越接近理想彈性狀態(tài)［3］.

3 改進(jìn)后實(shí)驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)

在同等實(shí)驗(yàn)環(huán)境的情況下對(duì)實(shí)驗(yàn)方法與原理做了如下改進(jìn)，使得傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)法中的缺陷得到了克服.新實(shí)驗(yàn)原理采用簡(jiǎn)諧振動(dòng)法測(cè)彈簧勁度系數(shù)，克服了胡克法實(shí)驗(yàn)中彈簧自身重力和長(zhǎng)度測(cè)量對(duì)實(shí)驗(yàn)精度的影響.新實(shí)驗(yàn)法雖然也是利用簡(jiǎn)諧振動(dòng)測(cè)彈簧的勁度系數(shù)，但是在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中我們做了兩個(gè)改進(jìn)使得新法要優(yōu)于傳統(tǒng)方法，而且實(shí)驗(yàn)消耗更小，

（1）對(duì)實(shí)驗(yàn)原理中簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期表達(dá)式進(jìn)行了一級(jí)和二級(jí)修正，這在原理上就已經(jīng)優(yōu)于傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)方法；

（2）改進(jìn)了實(shí)驗(yàn)操作方法，使振子在豎直方向上振動(dòng)，克服了氣墊導(dǎo)軌氣流粘滯力對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響.實(shí)驗(yàn)中還是使用相同的實(shí)驗(yàn)儀器進(jìn)行數(shù)據(jù)觀測(cè)，卻得到了更為精確的結(jié)果.

4 改進(jìn)后實(shí)驗(yàn)的原理

在忽略空氣阻力的情況下，彈簧振子諧振周期的一、二級(jí)修正公式分別為

則由（3）、（4）兩式彈簧的勁度系數(shù)分別為

5 改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)采用MUJ－6B型電腦通用計(jì)數(shù)器來(lái)記錄彈簧振子的周期精度為10－1ms，采用JY2002型電子天平來(lái)測(cè)量振子的質(zhì)量精度為10－2g，振子是由密度較大的銅制成，使得空氣阻力對(duì)本實(shí)驗(yàn)測(cè)量精度的影響更小，彈簧勁度系數(shù)未知.實(shí)驗(yàn)中的彈簧質(zhì)量為11.19g.

本實(shí)驗(yàn)將彈簧振子豎直懸掛，突破了傳統(tǒng)法中將彈簧振子水平放置的方式，因?yàn)樗椒胖玫膹椈烧褡硬粐?yán)格滿足胡克定律，測(cè)出的數(shù)據(jù)比彈簧豎直放置測(cè)出的數(shù)據(jù)誤差要大［4］.將彈簧振子上端固定在鐵架臺(tái)上，在振子平衡位置附近安裝MUJ－6B型電腦通用計(jì)數(shù)器的數(shù)據(jù)采集端，安裝完成后調(diào)試好實(shí)驗(yàn)儀器后進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示.

圖1 測(cè)量彈簧勁度系數(shù)的實(shí)驗(yàn)裝置

采用如圖1所示實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1.

表1 實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)

5.1 彈簧的勁度系數(shù)

利用貝塞爾公式對(duì)表1數(shù)據(jù)進(jìn)行處理并根據(jù)拉依達(dá)準(zhǔn)則和肖維涅準(zhǔn)則對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證處理知實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)全部合格，可信度很高.為了能直觀反映出彈簧勁度系數(shù)大小以及對(duì)無(wú)修正、一級(jí)修正、二級(jí)修正后得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，于是對(duì)表1數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)處理后得到彈簧的勁度系數(shù)κ，一級(jí)修正和二級(jí)修正之差a，無(wú)修正和二級(jí)修正之差b，a占二級(jí)修正的百分比c，b占二級(jí)修正的百分比d，具體處理數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 彈簧的勁度系數(shù)

5.2 實(shí)驗(yàn)分析

不妨設(shè)彈簧振子的質(zhì)量M與彈簧的質(zhì)量m之比為λn，其中n取1，2，3，4分別表示實(shí)驗(yàn)中振子的質(zhì)量為54.50g，64.44g，84.34g，104.59g這幾種情況，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入得

分析上式得：λ1＜λ2＜λ3＜λ4，而且根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的a，b，c，d值的變化趨勢(shì)剛好相反為

a，b，c，d值變化的趨勢(shì)正好反映了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性隨著λn值的增大而變得更加精確，這與文獻(xiàn)［5］中得到的結(jié)論是一致的，同時(shí)也檢驗(yàn)了本實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的可信度.結(jié)合實(shí)驗(yàn)中的觀測(cè)數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)［5］中的相關(guān)分析我們也可以得出同樣的結(jié)論：彈簧振子和彈簧的質(zhì)量之比越大，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)越接近于簡(jiǎn)諧振動(dòng).

6 結(jié)論

分析表2中的數(shù)據(jù)我們可以得出如下結(jié)論：

（1）無(wú)修正和二級(jí)修正之差b是一級(jí)修正和二級(jí)修正之差a的5～10倍；

（2）修正后的數(shù)據(jù)要比無(wú)修正的數(shù)據(jù)精確度高一個(gè)數(shù)量級(jí)；

（3）無(wú)修正的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與二級(jí)修正后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的浮動(dòng)在10%以內(nèi)，而一級(jí)修正和二級(jí)修正后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的浮動(dòng)在1%以內(nèi)，這說(shuō)明無(wú)修正的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與修正后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差很大，因此要做精度在10－2N／m級(jí)別的實(shí)驗(yàn)，必須要對(duì)實(shí)驗(yàn)原理進(jìn)行修正，而在這個(gè)級(jí)別上一級(jí)和二級(jí)修正則對(duì)觀測(cè)結(jié)果影響不大；

（4）在彈簧的彈性形變內(nèi)振子的質(zhì)量越大，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的數(shù)據(jù)復(fù)現(xiàn)率越高，即環(huán)境對(duì)本實(shí)驗(yàn)的影響越小實(shí)驗(yàn)的精度越高；

（5）當(dāng)彈簧振子的質(zhì)量大于彈簧質(zhì)量的5倍時(shí)，彈簧可以近似認(rèn)為是輕質(zhì)彈簧［6］，但是沒(méi)有修正的傳統(tǒng)方法得到的數(shù)據(jù)與修正后得到的數(shù)據(jù)差別仍然很大而且這個(gè)差別在5%左右；

（6）綜合前5個(gè)結(jié)論來(lái)看，實(shí)驗(yàn)原理的改進(jìn)的確使實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度得到了提高，這說(shuō)明改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)從原理和實(shí)際操作結(jié)果來(lái)看都是優(yōu)于傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)的.

1 沈鐘偉，張峰.彈簧質(zhì)量對(duì)振動(dòng)周期的影響.大學(xué)物理，2013，32（3）：44～45

2 Robert Weinstock.Oscillations of a particle attached to a heavy spring：An application of the Stieltjes integral.American Journal of Physics，1979，47（6）：508～514

3 江昌龍.能量法求解彈簧的彈性系數(shù).力學(xué)與實(shí)踐，2008，30（6）：93

4 蔣毅.也談彈簧振子計(jì)及彈簧質(zhì)量的問(wèn)題.昭通師專學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1987（5）

5 康文秀.彈簧質(zhì)量對(duì)振子運(yùn)動(dòng)的影響.保定師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2004，17（2）：25～27

6 徐月明.彈簧質(zhì)量對(duì)振子振動(dòng)周期影響的實(shí)驗(yàn)研究.物理通報(bào)，2011（11）：64～65