杜先存, 孫映成, 萬(wàn) 飛
(1.紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院 云南 蒙自 661199;2.鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 江蘇 鹽城 224002)
關(guān)于不定方程組x±1=6pqu2,x2?x+1=3υ2的整數(shù)解
杜先存1, 孫映成2, 萬(wàn) 飛1
(1.紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院 云南 蒙自 661199;2.鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 江蘇 鹽城 224002)
設(shè)p,q是互異的奇素?cái)?shù),p≡q≡1(mod 6),利用遞歸序列、Pell方程的解的性質(zhì)、Maple小程序等方法證明了不定方程組x-1=6pqu2,x2+x+1=3v2僅有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1);而不定方程組x+1=6pqu2,x2-x+1=3v2僅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).
不定方程; Pell方程; 奇素?cái)?shù); 整數(shù)解; 遞歸序列
關(guān)于三次不定方程
x3±1=2Dy2(D>0,且D無平方因子)
(1)
的整數(shù)解的問題一直是數(shù)論研究者關(guān)注的問題.文獻(xiàn)[1-5]給出了一些結(jié)果.
由于x3±1=(x±1)(x2?x+1),因此在研究方程(1)的整數(shù)解時(shí),方程組
x±1=6Du2;x2?x+1=3v2
(2)
就起著重要的作用.然而關(guān)于不定方程組(2)的整數(shù)解的情況,目前僅就D為素?cái)?shù)時(shí),有一些結(jié)論:文獻(xiàn)[6]得出了方程組x+1=6Du2,x2-x+1=3v2無正整數(shù)解;文獻(xiàn)[7]得出了x-1=6Du2,x2+x+1=3v2僅有整數(shù)解(D,x,u,v)=(D,1,0,±1),(13,313,±2,±181).
本文將利用遞歸序列、Pell方程的解的性質(zhì)、Maple小程序,得出當(dāng)D含兩個(gè)互異的6k+1型素因子時(shí)方程組(2)的解的情況.
引理1[8]設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù),則丟番圖方程4x4-py2=1除開p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外,無其他的正整數(shù)解.
引理2[8]方程x2-3y4=1僅有整數(shù)解(x,y)=(±2,±1),(±7,±2),(±1,0).
定理1 設(shè)p,q為互異的奇素?cái)?shù),p≡q≡1(mod 6),則不定方程組
x-1=6pqu2,x2+x+1=3v2,gcd(u,v)=1
(3)
只有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1).
證明 1)先證存在性
將式(3)的x=1+6pqu2代入x2+x+1=3v2,整理得
(2v)2-3(4pqu2+1)2=1.
(4)
因此,4pqu2+1=±yn(n∈Z),即4pqu2=±yn-1.又y-n=-yn,所以只需考慮
4pqu2=yn-1.
(5)
由式(5),得yn≡1(mod 4).
容易驗(yàn)證下列各式成立:
yn+2=4yn+1-yn;y0=0;y1=1,
(6)
xn+1=2xn+3yn;yn+1=xn+2yn,
(7)
(8)
x2n+1≡2(mod 4);x2n?0(mod 2),
(9)
y2n≡0(mod 4);y2n+1?0(mod 2),
(10)
xn+2=4xn+1-xn;x0=1;x1=2,
(11)
xn-1=2xn-3yn;yn-1=-xn+2yn.
(12)
對(duì)遞歸序列(6)取模4,得周期為4的剩余類序列,且僅當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí),有yn≡1(mod 4),所以只有當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí)式(5)才成立.
當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí),不妨令n=4m+1(m∈Z),則由式(5)、(7)和(8)得
即2pqu2=x2m+1y2m.
由式(7)得,gcd(x2m+1,y2m)=gcd(2x2m+3y2m,y2m)=gcd(2x2m,y2m)=gcd(2,y2m)=2.又由式(9)、(10)得,x2m+1≡2(mod 4),y2m≡0(mod 4),所以下列情形之一成立:
x2m+1=2a2;y2m=4pqb2;u=2ab;gcd(a,b)=1,
(13)
x2m+1=2pqa2;y2m=4b2;u=2ab;gcd(a,b)=1,
(14)
x2m+1=2qa2;y2m=4pb2;u=2ab;gcd(a,b)=1,
(15)
x2m+1=2pa2;y2m=4qb2;u=2ab;gcd(a,b)=1.
(16)
2)再證唯一性
由式(15)的y2m=4pb2得xmym=2pb2,又由式(10)知ym?2(mod 4),而gcd(xm,ym)=1,所以下列情形之一成立:
xm=2c2;ym=pd2;b=cd;gcd(c,d)=1,
(17)
xm=2pc2;ym=d2;b=cd;gcd(c,d)=1.
(18)
由式(16)的y2m=4qb2,仿式(15)的討論知,該情形方程組(3)無整數(shù)解.
綜上1)和2)可知,定理1成立.
定理2 設(shè)p,q為互異的奇素?cái)?shù),p≡q≡1(mod 6),則不定方程組
x+1=6pqu2;x2-x+1=3v2;gcd(u,v)=1
(19)
僅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).
事實(shí)上,將x=6pqu2-1代入x2-x+1=3v2,整理得
(2v)2-3(4pqu2-1)2=1,
(20)
仿照定理1的證明可知式(20)的一切整數(shù)解可表示為
為此也只需考慮
4pqu2=yn+1.
(21)
由式(21),得yn≡-1(mod 4).
對(duì)遞歸序列(6)取模4,得周期為4的剩余類序列,且僅當(dāng)n≡-1(mod 4)時(shí),有yn≡-1(mod 4),所以只有當(dāng)n≡-1(mod 4)時(shí)式(21)才成立.
當(dāng)n≡-1(mod 4),令n=4m-1(m∈Z),則由(8)、(12)和(21)得
即
2pqu2=x2m-1y2m.
(22)
由式(6)知僅當(dāng)m=0時(shí),y2m=0.又由式(11)知對(duì)于任意整數(shù)m,均有x2m-1≠0,所以僅當(dāng)m=0時(shí),x2m-1y2m=0.
(i)m=0時(shí),由式(22)得,u=0,此時(shí)得出方程組(19)的平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).
(ii)m≠0時(shí),仿定理1的證明可知不定方程組(19)無整數(shù)解.
綜上,定理成立.
對(duì)于方程組(2)的整數(shù)解的情況,本文僅僅給出了D含兩個(gè)互異的6k+1形素因子時(shí)的解的情況,對(duì)于D含3個(gè)及以上互異的6k+1形素因子時(shí)方程組(2)的解的情況還有待于進(jìn)一步研究.
[1] 柯召,孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2[J].中國(guó)科學(xué),1981,24(12):1453-1457.
[2] 黃壽生.關(guān)于指數(shù)Diophantine方程x3-1=2py2[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2007,27(3): 664-666.
[3] 管訓(xùn)貴.關(guān)于 Diophantine方程x3±1=2py2[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2012,21(6):438 -441.
[4] 張海燕,王連芳.關(guān)于丟番圖方程x3±1=2Dy2[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 1997,2(6):85 -87.
[5] 杜先存,趙東晉,趙金娥.關(guān)于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,39(1):42-43.
[6] 田曉霞.關(guān)于不定方程組x+1=6py2,x2-x+1=3z2[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào),2009,22(1):30-31.
[7] 牟全武.對(duì)文“關(guān)于指數(shù)Diophantine方程x3-1=2py2”的注記[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008, 11(4):43 -45.
[8] 曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989.
On the System of Indefinite Equationsx±1=6pqu2andx2?x+1=3υ2
DU Xian-cun1, SUN Ying-cheng2, WAN Fei1
(1.CollegeofTeacherEducation,HongheUniversity,Mengzi661199,China;2.CollegeofMathematicsScience,YanchengTeachersUniversity,Yancheng224002,China)
Letp,qbe different odd primes,p≡q≡1 (mod 6). With the help of recursive sequence, some properties of the solutions to Pell equation and Maple formality, the only integer solution in integers of the indefinite equationsx-1=6pqu2,x2+x+1=3v2wasx=1,u=0,v=±1, and the only integer solution of the indefinite equationsx+1=6pqu2,x2-x+1=3v2wasx=-1,u=0,v=±1.
indefinite equation; Pell equation; odd prime; integer solution; recursive sequence
2013-11-06
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號(hào)11371291;江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題項(xiàng)目,編號(hào)D201301083.
杜先存(1981-),女,講師,碩士,主要從事初等數(shù)論研究,E-mail:liye686868@163.com.
O 156
A
1671-6841(2014)01-0025-03
10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.006