楊 輝，趙 剡，滕 沖，李 敏

（北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191）

基于改進(jìn)最小二乘支持向量機(jī)的慣性測(cè)量組件故障在線檢測(cè)方法

楊 輝，趙 剡，滕 沖，李 敏

（北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191）

為提高慣導(dǎo)系統(tǒng)工作的可靠性和導(dǎo)航性能，對(duì)其慣性測(cè)量組件的故障模式和檢測(cè)模型進(jìn)行了分析。針對(duì)最小二乘支持向量機(jī)（LS-SVM）回歸算法做了兩點(diǎn)改進(jìn)，具體方法是先對(duì)輸入樣本觀察窗平移更新的每個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行異常點(diǎn)濾波判斷并用牛頓插值法進(jìn)行處理，接著通過對(duì)在線LS-SVM回歸過程的研究，提出了一種遞推求解的快速算法，將慣性測(cè)量組件的輸出量、舵偏角改變量并輔以環(huán)境因素作為觀測(cè)樣本序列，應(yīng)用該算法來(lái)提高模型檢測(cè)的準(zhǔn)確性和時(shí)效性。最后對(duì)慣性測(cè)量組件無(wú)故障和出現(xiàn)卡滯、恒偏差時(shí)的故障模式進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，與應(yīng)用LS-SVM、SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法相比，提出的慣性測(cè)量組件故障在線檢測(cè)方法具有較強(qiáng)的魯棒性和較快的速度。

慣性測(cè)量組件；在線最小二乘支持向量機(jī)；動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)窗；魯棒性；故障預(yù)測(cè)

慣導(dǎo)系統(tǒng)是技術(shù)密集和高度復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，因其工作環(huán)境特殊，同時(shí)還要考慮體積、重量等，所以不太適合應(yīng)用硬件冗余的方法對(duì)其故障檢測(cè)；基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的故障檢測(cè)方法雖有一定成效，但在有限樣本學(xué)習(xí)能力最優(yōu)卻并不能保證對(duì)未知樣本的推廣能力更好，而且易出現(xiàn)局部極值點(diǎn)和維數(shù)災(zāi)難[1-4]；基于卡爾曼濾波的方法雖然在對(duì)準(zhǔn)與容錯(cuò)組合導(dǎo)航方面應(yīng)用廣泛，但它對(duì)模型的精確性要求較高，而且濾波過程涉及的復(fù)雜計(jì)算耗時(shí)比較嚴(yán)重，所以這兩種方法均不宜用于慣性測(cè)量組件的故障在線檢測(cè)。LS-SVM雖將SVM的求解從二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成線性方程組，提高了求解效率，但由于失去了稀疏性，當(dāng)它用于動(dòng)態(tài)建模時(shí)，所需的存儲(chǔ)空間和計(jì)算量隨樣本數(shù)增加而增大，容易出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和與模型實(shí)效等問題[5-6]，所以在此基礎(chǔ)上出現(xiàn)了許多改進(jìn)算法，如動(dòng)態(tài)加權(quán)LS-SVM、增量LS-SVM[7]、在線LS-SVM[8]等算法。其中文獻(xiàn)[8]提出的方法雖然對(duì)模型結(jié)構(gòu)的適時(shí)調(diào)整起到了重要作用，但這種方法在加入新樣本，剔除舊樣本的時(shí)候，沒有考慮訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)中包含的噪聲和異常點(diǎn)，因而決策邊界就會(huì)受那些靠近決策邊界的異常點(diǎn)影響。另外，該方法在回歸過程中，每次得到的都是一個(gè)時(shí)變的線性方程組，訓(xùn)練求解的計(jì)算量都較大，尤其是當(dāng)樣本數(shù)目較多時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響在線預(yù)測(cè)的速度。

為此，先對(duì)慣性測(cè)量組件的故障模式進(jìn)行了研究，接著對(duì)OLLS-SVM回歸算法進(jìn)行了改進(jìn)，最后應(yīng)用改進(jìn)的算法對(duì)慣性測(cè)量組件的狀態(tài)觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，基于修正之后的樣本序列和相應(yīng)的回歸模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)其故障在線檢測(cè)的目的。

1 慣性測(cè)量組件的故障模式及檢測(cè)模型分析

假定只考慮飛機(jī)的縱向動(dòng)態(tài)飛行，設(shè)載機(jī)模型的狀態(tài)方程為[9]：

設(shè)飛機(jī)的縱向飛行控制律為：

由式(2)可以看出，飛行控制律為其狀態(tài)量的線性組合，因而，在裝機(jī)之前對(duì)慣性測(cè)量組件進(jìn)行校核尤為重要，然而受校核所用儀器及檢測(cè)水平的限制，總有一些隱蔽性很強(qiáng)的故障被漏檢，載機(jī)運(yùn)行時(shí)，慣導(dǎo)系統(tǒng)基座的振動(dòng)，供電電源的不穩(wěn)定、環(huán)境溫度、濕度的變化和空間電磁干擾等因素都可能會(huì)使這些隱蔽性很強(qiáng)的潛在故障發(fā)展為功能性故障，造成慣性測(cè)量組件的工作不穩(wěn)定，甚至是出現(xiàn)故障，從而對(duì)載機(jī)飛行控制產(chǎn)生不利的影響。因?yàn)槟壳八玫膽T性測(cè)量組件形式多樣，不同類型的慣性測(cè)量組件因受其工作原理、制作材料、安裝工藝、環(huán)境因素等影響，故障發(fā)生的模式差異較大，如果從這些影響因素方面考慮對(duì)其故障檢測(cè)，不但要在載機(jī)上增加相應(yīng)的硬件冗余檢測(cè)裝置，而且故障的分析與診斷過程極其復(fù)雜，工程領(lǐng)域難以應(yīng)用，因此，本文將慣性測(cè)量組件（陀螺或加速度計(jì)）看作是一般的傳感器，僅考慮其出現(xiàn)卡滯、恒增益、恒偏差和完全失效4種故障模式[10]。設(shè)u(t)為某個(gè)慣性測(cè)量組件的輸入；Out(t)表示相應(yīng)輸出；表示對(duì)其輸入信號(hào)正常時(shí)的響應(yīng)輸出；C、M分別為常數(shù)，K為增益系數(shù)，則其故障模式的數(shù)學(xué)描述為：

1） 卡滯故障：

2） 恒增益故障：

3） 恒偏差故障：

4） 完全失效故障：

為了構(gòu)建基于性能的慣性測(cè)量組件故障檢測(cè)模型，需要忽略每個(gè)組件的類型，僅考慮其測(cè)量輸出的原始數(shù)據(jù)υ、φ、ω θ、。由于慣導(dǎo)系統(tǒng)的潛在故障轉(zhuǎn)化為功能故障是一個(gè)漸變的過程，所以在其還沒有完全失效之前，可以把x(t)的各個(gè)分量、eδ及輔助因素（基座的振動(dòng)量ν、環(huán)境溫度T、供電電源功率P、電磁輻射χ）在k時(shí)刻的采樣值放在一起構(gòu)成一個(gè)時(shí)間觀測(cè)陣列，用于對(duì)其故障的在線檢測(cè)。慣導(dǎo)系統(tǒng)故障檢測(cè)模型如圖1所示。在試用過程中，為了加快在線故障檢測(cè)的速度，只要采用相應(yīng)的傳感器對(duì)這些環(huán)境因素實(shí)時(shí)測(cè)量并和設(shè)定的工作極限值進(jìn)行對(duì)比，如果慣導(dǎo)系統(tǒng)的工作狀態(tài)良好，并且各個(gè)環(huán)境因素的當(dāng)前測(cè)試值也沒有超出其工作極限值，則忽略各個(gè)環(huán)境因素對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)性能的影響，直接采用x(t)的各個(gè)分量及eδ進(jìn)行預(yù)測(cè)即可，相反，則須考慮其影響。所以對(duì)于式(1)，建立如式(7)所示的LS-SVM故障預(yù)測(cè)模型[11-13]。

圖1 慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的故障在線檢測(cè)模型Fig.1 Fault online test model of inertial navigation system

由于式(7)所示的慣導(dǎo)系統(tǒng)故障預(yù)測(cè)模型涉及較多參數(shù)，預(yù)測(cè)速度難以提高，所以采用兩步法來(lái)提高慣導(dǎo)系統(tǒng)的故障預(yù)測(cè)速度。

步驟一：采用簡(jiǎn)化后的式(9)對(duì)x(t)第i個(gè)分量在k+1時(shí)刻的值進(jìn)行預(yù)測(cè)。

式(9)所示的預(yù)測(cè)模型，可以通過對(duì)LS-SVM回歸算法的改進(jìn)，來(lái)提高算法的魯棒性和速度，下面對(duì)其算法進(jìn)行研究。

2 LS-SVM算法的改進(jìn)

2.1 LS-SVM算法

對(duì)于給定的訓(xùn)練樣本集：

根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理，把回歸問題表示為下列約束優(yōu)化問題：

式中，γ為正則化參數(shù)，b為常值偏差。通過其對(duì)偶形式，采用Lagrange乘子法求解得：

式中，iα為拉格朗日乘子，根據(jù)KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件對(duì)式(12)的分別求偏導(dǎo)并令其等于0，從中消去ω、ei，整理可得矩陣方程：

2.2 在線LS-SVM算法的改進(jìn)

在線LS-SVM回歸的時(shí)間序列學(xué)習(xí)，可以認(rèn)為是一個(gè)隨時(shí)間滾動(dòng)的優(yōu)化過程[14-15]，針對(duì)引言部分提到此方法的兩個(gè)不足，對(duì)其前期的數(shù)據(jù)預(yù)處理和后期的在線遞推回歸做了一些方法上的改進(jìn)。

2.2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

因?yàn)槿魏未_定的物理量在極短時(shí)間內(nèi)不可能發(fā)生過程的突變，所以假設(shè)經(jīng)歷數(shù)秒后，慣性測(cè)量組件已經(jīng)轉(zhuǎn)入穩(wěn)態(tài)工作，對(duì)于測(cè)量組件在k時(shí)刻采集的故障檢測(cè)樣本序列X′(k)，設(shè)1in≤ ≤，對(duì)于第i行元素，按照進(jìn)入樣本窗的先后順序，取其最后進(jìn)入的連續(xù) 4個(gè)元素，實(shí)時(shí)計(jì)算這四點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差，然后再按式(16)作3次差分，計(jì)算出.

2.2.2 在線LS-SVM回歸算法的改進(jìn)

假設(shè)學(xué)習(xí)的樣本X′(k)經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理后變?yōu)椋驗(yàn)闃颖敬霸诩尤胄聵颖?，剔除舊樣本的過程是實(shí)時(shí)滾動(dòng)更新的，所以在線LS-SVM核函數(shù)矩陣Ω、待求的 Lagrange乘子α及常值偏差b都應(yīng)該是k的函數(shù)。即在k時(shí)刻，它們可分別表示為：

則最小二乘支持向量機(jī)的輸出式(15)變?yōu)椋?/p>

式(13)也可以改寫為：

從式(22)(23)可以看出，只要求出Θ(k)，便可以得到b(k)、α(k)的解，對(duì)Θ(k)的計(jì)算過程如下：

式(24)中，各參數(shù)計(jì)算公式如式(25)～(27)所示：

上述式(19)～(27)是通常所用的求解方法，但因?yàn)樵摲椒看蔚玫降亩际且粋€(gè)時(shí)變的線性方程組，所以每次訓(xùn)練，求解的計(jì)算量都較大，尤其是當(dāng)樣本數(shù)目較多時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響在線預(yù)測(cè)的速度。為了減少在線LS-SVM回歸算法的計(jì)算量，下面的分析通過對(duì)Θ(k)及Θ(k+1)求解過程的分析，建立了一種Θ(k)的遞推求解方法[16]。

對(duì)式(24)求解可得：

式(28)中，s表達(dá)式如下式(29)所示：

觀察式(29)，可以求得：

在第k+1時(shí)刻，新樣本加進(jìn)來(lái)取代了舊樣本，此時(shí)，核函數(shù)矩陣變?yōu)椋?/p>

式(32)中，各參數(shù)計(jì)算公式如(33)(34)所示：

對(duì)式(32)求解得：

式(35)中，u的表達(dá)式如下式(36)所示：

從式(20)～(34)可以看出，在樣本窗在加入新樣本，剔除舊樣本時(shí)，假設(shè)初始Θ(0)是直由接求逆得到的，然后對(duì)Θ(0)按式(28)進(jìn)行分塊后，按式(30)求得，再將代入式(35)便可求得Θ(1)，重復(fù)上述遞推過程就可以求得其余Θ(k)及Θ(k+1)，這種遞推求解法明顯的能減少計(jì)算量。

3 慣性測(cè)量組件故障在線檢測(cè)的實(shí)現(xiàn)

建模時(shí)選用徑向基核函數(shù)來(lái)提高故障狀態(tài)原始信息最優(yōu)的特征抽取性能及非線性預(yù)測(cè)能力。關(guān)于核函數(shù)及其參數(shù)的選取和優(yōu)化方法，文獻(xiàn)[17]已經(jīng)做了詳細(xì)介紹，所以不再重復(fù)。

對(duì)于式(9)所建立的慣性測(cè)量組件故障在線預(yù)測(cè)模型，其實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1）設(shè)定時(shí)刻K=0；

2）慣性測(cè)量組件每采集一次樣本，K自動(dòng)加1；

3）判斷慣導(dǎo)系統(tǒng)工作的環(huán)境因素是否超限，若超限，置β=1，否則置β=0；

4） 對(duì)觀測(cè)樣本序列數(shù)據(jù)按 2.2.1節(jié)所述的數(shù)據(jù)預(yù)處理方法進(jìn)行處理；

5）判斷K是否大于N-1，是則進(jìn)行以下第（6）步，否則返回第2）步繼續(xù)；

6）按式(9)建立的模型進(jìn)行故障在線預(yù)測(cè)；

7） 按 2.2.2 節(jié)所述內(nèi)容，計(jì)算Ω(k)，Θ(k)，α(k)及b，并預(yù)測(cè)；

8）把預(yù)測(cè)得到的殘差和設(shè)定的門限值比較并輸出故障診斷結(jié)果。

故障檢測(cè)模型的逼近能力，可以采用均方根誤差(RMSE)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，設(shè)定預(yù)測(cè)模型的輸入輸出延時(shí)為5 s，利用交叉驗(yàn)證法選定γ=30，徑向基核函數(shù)的寬度優(yōu)化后取為3，縱向飛行控制律為：

4.1 慣性測(cè)量組件故障檢測(cè)性能的比較

把所述方法和標(biāo)準(zhǔn)SVM、改進(jìn)前的LS-SVM及自行設(shè)計(jì)的一個(gè) 10-10-5-1四層（輸入層、預(yù)處理層、隱含層、輸出層）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（標(biāo)準(zhǔn)SVM、LS-SVM與文中所使用的核函數(shù)參數(shù)及正則化參數(shù)完全相同）對(duì)原始信號(hào)135個(gè)樣本點(diǎn)的檢測(cè)結(jié)果做了比較，從表1可以看出，本文改進(jìn)之后的在線LS-SVM方法在預(yù)測(cè)精度和預(yù)測(cè)時(shí)間上具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

表1 預(yù)測(cè)性能參數(shù)對(duì)比Tab.1 Comparison of prediction performance

4.2 慣性測(cè)量組件故障檢測(cè)結(jié)果的分析

1）卡滯故障

假設(shè)俯仰角慣性測(cè)量陀螺在時(shí)刻點(diǎn)k=80時(shí)，出現(xiàn)了卡滯故障，其輸出情況如圖2所示，由圖可知，卡滯故障發(fā)生時(shí)刻，陀螺的實(shí)際輸出信號(hào)出現(xiàn)了跳變，之后近似常值信號(hào)輸出。這是因?yàn)楸疚乃玫念A(yù)測(cè)模型采用的是動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)窗在線實(shí)時(shí)建模的思想，加大了對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理的力度，當(dāng)卡滯故障發(fā)生后，它對(duì)突變的原始樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的魯棒性，所以在卡滯故障發(fā)生時(shí)刻，預(yù)測(cè)曲線沒有迅速逼近陀螺的實(shí)際輸出信號(hào)，而是一個(gè)緩慢變化的過程。同時(shí)還可以從預(yù)測(cè)的殘差曲線明顯的看出，其它時(shí)刻點(diǎn)的殘差變化不及卡滯故障發(fā)生時(shí)刻明顯。

圖2 卡滯故障預(yù)測(cè)及其殘差曲線Fig.2 Prediction curves of lock fault and residual error

2）恒偏差故障

假設(shè)俯仰角測(cè)量陀螺在時(shí)刻點(diǎn)k=80時(shí)，出現(xiàn)了恒偏差故障，其輸出情況如圖3所示。

由圖3可知，在時(shí)刻點(diǎn)k=80之后，陀螺的輸出信號(hào)曲線及預(yù)測(cè)曲線整體沿Y軸向上或向下近似平移偏差絕對(duì)值個(gè)單位，方向由其偏差的符號(hào)決定。由于本文預(yù)測(cè)方法能夠在很短的時(shí)間內(nèi)通過調(diào)整，適應(yīng)新的預(yù)測(cè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并進(jìn)行預(yù)測(cè)輸出，所以殘差變化會(huì)在故障點(diǎn)出現(xiàn)明顯的一個(gè)跳變。故障發(fā)生前后，其殘差變化并不明顯。

圖3 恒偏差故障預(yù)測(cè)及其殘差Fig.3 Prediction curves of constant bias fault and residual error

5 結(jié) 論

為提高慣性測(cè)量組件工作的可靠性和導(dǎo)航性能，對(duì)其故障模式進(jìn)行了分析，接著對(duì)在線LS-SVM回歸算法進(jìn)行了改進(jìn)，隨后應(yīng)用改進(jìn)的算法對(duì)慣性測(cè)量組件狀態(tài)觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)的異常點(diǎn)進(jìn)行了修正并建立了故障檢測(cè)模型。仿真實(shí)驗(yàn)表明本文方法對(duì)包含異常點(diǎn)的樣本預(yù)測(cè)，具有較強(qiáng)的魯棒性和較快的預(yù)測(cè)速度。

在載機(jī)強(qiáng)機(jī)動(dòng)條件下，采用什么方法對(duì)其慣性測(cè)量組件進(jìn)行故障在線預(yù)測(cè)與診斷，如何將收集的慣導(dǎo)系統(tǒng)各故障信息準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)到它的各個(gè)狀態(tài)點(diǎn)，構(gòu)建基于性能的慣導(dǎo)組件故障預(yù)測(cè)與健康管理體系方法，仍需要做更深的研究。

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Fault online test method of inertial measurement units based on improved LS-SVM

YANG Hui ，ZHAO Yan ，TENG Chong ，LI Min
(School of Instrumentation and Opto-electronic Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China)

In order to improve the reliability and navigation performance of the inertial navigation system，the fault mode and test model were analyzed.Two ameliorations were made for the method of the online least squares support vector machine(LS-SVM):1) The singularity was found out and disposed with Newton interpolation method among the sample data which was shifted and updated in the observation window.2) A recursive solution method was put forward based on the process regression analysis of online LS-SVM，and the inertial measurement units outputs complement with elevator angle variation and environmental factors were chosen as the observed sample sequence.Then the proposed method was used to improve the accuracy and timeliness of the online test model for the inertial navigation system.Finally，the simulation was made when the inertial navigation system has no fault and has lock fault or constant bias fault.The results show that，compared with SVM，LS-SVM，and BP neural network modeling，the proposed method has higher learning speed and robustness performance.

inertial measurement units;online least squares support vector machine;dynamic data window;robustness;fault prediction

U666.1

A

1005-6734(2014)03-0409-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.03.025

2013-11-20；

2014-03-12

航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20110112007，20100818018)

楊輝（1983—），男，博士研究生，從事導(dǎo)航制導(dǎo)與控制的研究。E-mail：happyncu@163.com

聯(lián) 系 人：趙剡（1956—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：zhaoyan@buaa.edu.cn