郝燁江，李強(qiáng)，鄭靜

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

符號(hào)說(shuō)明

B——軸承寬度

C0——軸承額定靜載荷

d——軸承內(nèi)徑

D——軸承外徑

Dpw——滾子組節(jié)圓直徑

Fa——軸向載荷

Fap——軸承的軸向承載能力

Fc——滾子離心力

FL——轉(zhuǎn)臂效應(yīng)載荷

Fr——徑向載荷

Ft——牽引制動(dòng)載荷

g——重力加速度

Gr——徑向游隙

Hz——軸承承載區(qū)寬度

I——節(jié)點(diǎn)內(nèi)力

k1，k2——載荷系數(shù)

K——載荷-位移系數(shù)

Lt——滾子有效承載長(zhǎng)度

Lz——轉(zhuǎn)臂長(zhǎng)度

ma——軸重

ms——簧下質(zhì)量

M——節(jié)點(diǎn)質(zhì)量矩陣

n——軸承轉(zhuǎn)速

ni——內(nèi)圈轉(zhuǎn)速

nc——保持架轉(zhuǎn)速

P——系統(tǒng)外力

Qi——第i個(gè)滾子的徑向載荷

ü——節(jié)點(diǎn)加速度矩陣

Z——滾子數(shù)

α——接觸角

γ——計(jì)算參數(shù)

Δt——時(shí)間增量

δi——第i個(gè)滾子的徑向位移

δr——沿徑向力方向產(chǎn)生的總位移

φi——第i個(gè)滾子的方位角

列車(chē)軸箱軸承是確保列車(chē)運(yùn)行品質(zhì)和安全性的關(guān)鍵技術(shù)部件，通常使用雙列圓錐滾子軸承或雙列圓柱滾子軸承。由于結(jié)構(gòu)及使用工況的特點(diǎn)，軸承在運(yùn)行周期內(nèi)承受的載荷十分復(fù)雜，受多方面因素的影響。軸承失效形式多種多樣，但大多數(shù)集中在表面接觸疲勞損傷和次表面缺陷疲勞擴(kuò)展方面。對(duì)于軸承，除保證良好工作條件并定期檢修外，針對(duì)性地研究其在不同工況下的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)于改進(jìn)結(jié)構(gòu)、提高壽命意義重大。文中以BC2-0375型列車(chē)軸箱軸承為對(duì)象建立分析模型，按照實(shí)際載荷工況加載邊界條件，利用有限元方法對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行求解分析[1-3]。

1 軸箱軸承徑向載荷

軸箱軸承承載狀況極為復(fù)雜，受到輪軸、轉(zhuǎn)臂等多方面因素的影響(圖1)，很難給出完全符合實(shí)際條件的載荷計(jì)算公式，通常采用的徑向力簡(jiǎn)化計(jì)算式為

Fr=(mag-msg)/2+Ft+FL。

(1)

圖1 軸箱軸承受力示意圖

簧下質(zhì)量根據(jù)列車(chē)型號(hào)基本固定不變；軸重取列車(chē)空載狀態(tài)下的質(zhì)量；牽引制動(dòng)載荷通過(guò)牽引功率和制動(dòng)加速度求得；轉(zhuǎn)臂效應(yīng)載荷由轉(zhuǎn)臂受到軸向載荷導(dǎo)致的軸承偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生(圖2)，即

FL=FaLz/Hz。

(2)

圖2 轉(zhuǎn)臂效應(yīng)載荷計(jì)算示意圖

參考軸承幾何尺寸并根據(jù)實(shí)際載荷狀況和潤(rùn)滑條件的影響對(duì)參數(shù)加以修正，得到徑向力的最終計(jì)算式為

Fr={-Fap+104k1C0/[n(d+D)]}/k2。

(3)

BC2-0375型列車(chē)軸箱軸承為圓柱滾子軸承，其簡(jiǎn)化模型的幾何參數(shù)為：d=130 mm,D=240 mm,B=80 mm; 按照n=900 r/min，C0=1 560 kN，代入相應(yīng)的載荷系數(shù)，由(3)式得到穩(wěn)定運(yùn)行情況下等效的徑向載荷為25 kN，由此得到計(jì)算模型加載的載荷邊界條件[4-6]。

2 工作狀態(tài)下軸承內(nèi)部載荷分布

在徑向力與轉(zhuǎn)速恒定的情況下，軸承會(huì)形成穩(wěn)定的承載區(qū)間，如圖3所示。通常轉(zhuǎn)速不是很高的時(shí)候，滾子的離心力、摩擦力和力矩對(duì)載荷分布不會(huì)產(chǎn)生特別明顯的影響。數(shù)值計(jì)算的基本思路是建立滾子與滾道間的載荷-位移關(guān)系，通過(guò)迭代求解非線(xiàn)性方程組獲得位移分布，從而最終獲得軸承內(nèi)部的載荷分布。

圖3 軸承內(nèi)部承載區(qū)示意圖

假定軸箱軸承徑向游隙為零，根據(jù)幾何尺寸可得計(jì)算參數(shù)γ為

γ=Dcosα/Dpw=0.144 385，

(4)

保持架和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系為

nc=0.5ni(1-γ)=0.427 81ni，

(5)

繞軸承軸線(xiàn)以nm轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)的鋼制滾子的離心力為

(6)

在低速條件下，離心力對(duì)于滾子與滾道間的接觸載荷貢獻(xiàn)很??；但在高速時(shí)離心力的效應(yīng)顯著。由于所計(jì)算軸承的轉(zhuǎn)速集中在1 200 r/min以?xún)?nèi)，產(chǎn)生的離心力效應(yīng)基本可以忽略。

在軸承的徑向載荷作用方向，根據(jù)力的平衡條件可得

(7)

根據(jù)載荷-位移系數(shù)換算得到

(8)

軸承工作狀態(tài)下內(nèi)、外滾道與滾子間的位移關(guān)系為

(9)

聯(lián)立 (8)～(9)式，建立由18個(gè)方程組成的非線(xiàn)性方程組，通過(guò)Newton-Rampson法對(duì)其進(jìn)行迭代求解，得到滾子與外圈滾道的位移分布，再利用載荷位移系數(shù)進(jìn)行修正就可得到軸承的內(nèi)部載荷分布。將上述求解過(guò)程利用MATLAB程序語(yǔ)言進(jìn)行描述，分別對(duì)420和900 r/min轉(zhuǎn)速下的軸承內(nèi)部載荷分布進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到的結(jié)果如圖4所示。

圖4 軸承內(nèi)部載荷分布

由圖4可知，最大載荷出現(xiàn)在方位角為0的位置，載荷隨著方位角的增大而減小，直至承載區(qū)之外滾子不受載荷作用，承載區(qū)域約為168°。中低轉(zhuǎn)速區(qū)間，轉(zhuǎn)速的提升對(duì)于軸承外圈所受載荷的大小及分布影響并不顯著，承載區(qū)域沒(méi)有發(fā)生大的變化。在忽略滾子滾動(dòng)摩擦效應(yīng)的情形下，位于承載區(qū)各位置滾子的接觸應(yīng)力可以按Hertz接觸理論計(jì)算得出。方位角為0處的內(nèi)圈的接觸應(yīng)力為625.545 MPa，接觸區(qū)域半寬為0.126 8 mm；外圈接觸應(yīng)力為542.174 2 MPa，接觸區(qū)域半寬為0.142 9 mm，這些結(jié)果是進(jìn)行有限元離散求解的參考基礎(chǔ)[7-9]。

3 基于A(yíng)BAQUS的顯式動(dòng)力學(xué)計(jì)算

ABAQUS-explicit是一種高效的求解復(fù)雜非線(xiàn)性問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算工具。接觸問(wèn)題是一個(gè)典型的復(fù)雜非線(xiàn)性問(wèn)題，本構(gòu)關(guān)系即使是處于線(xiàn)性區(qū)，接觸區(qū)域的局部效應(yīng)也會(huì)使得接觸應(yīng)力通常到達(dá)塑性區(qū)，尤其對(duì)于軸承來(lái)說(shuō)，接觸應(yīng)力達(dá)到1 380 MPa以上的情況并不少見(jiàn)；再加之其所處的邊界條件的非線(xiàn)性，無(wú)法事先知道應(yīng)力的分布，接觸應(yīng)力與接觸區(qū)域互相影響，呈現(xiàn)出高度的非線(xiàn)性特質(zhì)。對(duì)于靜態(tài)基本幾何外形的非共形接觸，已經(jīng)由Hertz理論得到了較為精確的解答。

軸承的動(dòng)態(tài)接觸問(wèn)題較之經(jīng)典接觸對(duì)之間的接觸要復(fù)雜許多，軸承零件之間的接觸關(guān)系時(shí)刻發(fā)生變化，且受到內(nèi)部載荷分布、潤(rùn)滑效應(yīng)以及材料等多方面因素的影響。使用隱式求解方法進(jìn)行解答可以平穩(wěn)地建立接觸關(guān)系，減小沖擊效應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)力波的影響，但對(duì)于接觸對(duì)建立條件的要求復(fù)雜很多，而顯式計(jì)算中的通用接觸模式(general contact)可以很方便地建立這種接觸關(guān)系，且不存在收斂問(wèn)題，適合于求解內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系多變且存在復(fù)雜相互接觸作用的瞬時(shí)動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。但是ABAQUS-explicit對(duì)于求解軸承接觸問(wèn)題的缺點(diǎn)在于初始力邊界條件施加時(shí)會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力波干擾，這種沖擊的效應(yīng)需要加大載荷步長(zhǎng)度來(lái)進(jìn)行削弱，計(jì)算量也隨之上升[10]。

3.1 ABAQUS-explicit求解器算法描述

ABAQUS-explicit應(yīng)用中心差分算法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行顯式的時(shí)間積分，由一個(gè)增量步的動(dòng)力學(xué)條件計(jì)算下一個(gè)增量步的動(dòng)力學(xué)條件。在增量步開(kāi)始時(shí)，求解動(dòng)力學(xué)平衡方程

Mü=P-I，

(10)

在當(dāng)前增量步開(kāi)始時(shí)，計(jì)算加速度

ü|(t)=M-1·(P-I)|(t)。

(11)

顯式算法并不需要同時(shí)求解聯(lián)立方程組，任何節(jié)點(diǎn)的加速度完全取決于節(jié)點(diǎn)質(zhì)量和作用在節(jié)點(diǎn)上的合力。對(duì)加速度在時(shí)間上進(jìn)行積分采用的是中心差分法，在計(jì)算速度變化時(shí)假定加速度為常數(shù),將速度的變化值加上前一個(gè)增量步(increment)中間時(shí)刻的速度來(lái)確定當(dāng)前增量步中間時(shí)刻的速度，即

(12)

再利用速度對(duì)時(shí)間的積分與增量步初始位移求和,即可得到增量步末的位移

(13)

得到節(jié)點(diǎn)位移后，即可通過(guò)應(yīng)變速率和本構(gòu)關(guān)系獲得節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力矩陣[11]。

3.2 有限元模型的建立

軸承運(yùn)行過(guò)程中，滾子與內(nèi)、外滾道及保持架之間存在著復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)和接觸關(guān)系，且由于保持架和滾子之間的碰撞以及內(nèi)、外滾道之間的阻尼效應(yīng)，往往內(nèi)圈和保持架轉(zhuǎn)動(dòng)并不同步，這也就影響到了滾子承受循環(huán)載荷的頻率。為了盡量真實(shí)模擬軸承零件的動(dòng)力學(xué)關(guān)系，將滾子，內(nèi)、外滾道以及保持架均按照彈性體進(jìn)行建模。

取單列軸承為對(duì)象，根據(jù)幾何參數(shù)利用ABAQUS集成的modeling模塊完成幾何模型的建立，忽略倒角、注油孔以及一些邊緣細(xì)節(jié)。徑向游隙為0，保持架與滾子間的間隙為0.5 mm。忽略微小區(qū)域塑性應(yīng)變，材料選定在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)。單元類(lèi)型選擇減縮積分單元C3D8R，掃掠形成網(wǎng)格。需要注意的是由于接觸區(qū)域附近的離散化質(zhì)量直接決定了計(jì)算精度，為了得到準(zhǔn)確的接觸應(yīng)力，根據(jù)大量接觸問(wèn)題的有限元計(jì)算結(jié)果，取接觸區(qū)域的單元尺寸為接觸區(qū)域半寬的一半，如果是橢圓形接觸區(qū)域，則需小于短半軸長(zhǎng)度。離散后的有限元模型如圖5a所示。

圖5 軸承有限元離散結(jié)構(gòu)

滾動(dòng)體接觸區(qū)域附近網(wǎng)格的質(zhì)量也會(huì)對(duì)應(yīng)力分布產(chǎn)生很大的影響，故將滾子分為2個(gè)環(huán)形區(qū)域，外環(huán)形區(qū)域加密網(wǎng)格，保證均勻度;內(nèi)環(huán)形區(qū)域疏化,減小計(jì)算規(guī)模，如圖5b所示，單元數(shù)目為138 939，節(jié)點(diǎn)數(shù)目為176 517。

內(nèi)、外滾道以及滾子彈性模量為207 GPa，密度為7.8×10-6kg/mm3，泊松比為0.3。保持架彈性模量為120 GPa，密度為8.5×10-6kg/mm3，泊松比為0.34。

利用顯式計(jì)算的通用接觸建立軸承接觸模型，在運(yùn)算過(guò)程中，ABAQUS將所有的零件生成一個(gè)實(shí)體模型，通過(guò)設(shè)置自接觸來(lái)判斷接觸區(qū)域，從而實(shí)現(xiàn)復(fù)雜接觸模型的建立。法向接觸屬性采用硬接觸，接觸剛度和罰函數(shù)系數(shù)將根據(jù)實(shí)際接觸區(qū)域的變形自動(dòng)調(diào)整。切向接觸屬性中的摩擦模型采用庫(kù)侖摩擦，內(nèi)、外圈滾道與滾子之間靜摩擦因數(shù)給定為0.1,動(dòng)摩擦因數(shù)給定為0.05，衰減系數(shù)取0.01；滾子與保持架之間摩擦因數(shù)在中低轉(zhuǎn)速區(qū)間對(duì)結(jié)果影響不大，簡(jiǎn)化后給定為0.002。

邊界條件：內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)耦合在圓心處,在初始分析步中僅放開(kāi)沿y軸(垂向)的徑向自由度；保持架耦合在圓心處，只釋放繞軸線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)自由度；外圈始終施加全約束；分析全程設(shè)定5個(gè)載荷步，step1至step5：step1(0.01 s)中對(duì)滾子施加重力加速度，使接觸可以穩(wěn)定的建立；step2(0.02 s)中在內(nèi)圈耦合點(diǎn)施加垂向載荷25 000 N；step3(0.1 s)放開(kāi)內(nèi)圈耦合點(diǎn)的繞軸線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)自由度，施加200 r/min轉(zhuǎn)速;step4(0.1 s)在step3的基礎(chǔ)上繼續(xù)增加轉(zhuǎn)速達(dá)到420 r/min;step5(0.1 s)繼續(xù)將轉(zhuǎn)速增加到900 r/min。

所有的載荷施加形式均選定光滑曲線(xiàn)(smooth step)加載，盡量減小系統(tǒng)應(yīng)力波的震蕩。

3.3 計(jì)算結(jié)果分析

顯式計(jì)算的速率與節(jié)點(diǎn)質(zhì)量的開(kāi)方值成反比，網(wǎng)格越精細(xì)，計(jì)算所需的時(shí)間增量步越多，計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng)，復(fù)雜的接觸模型計(jì)算消耗的時(shí)間較長(zhǎng)，可以選擇相應(yīng)的質(zhì)量放大系數(shù)，在保持精度的條件下實(shí)現(xiàn)軸承接觸的動(dòng)力學(xué)仿真。

(1)不同轉(zhuǎn)速等級(jí)下軸承內(nèi)部的載荷分布情況與Newton-Rampson算法得到的載荷分布結(jié)果基本一致，且在加速過(guò)程中承載區(qū)也較為穩(wěn)定，在中低速時(shí)滾子與滾道接觸產(chǎn)生的等效應(yīng)力場(chǎng)水平并沒(méi)發(fā)生很大的變化，基本維持在1 000 MPa以?xún)?nèi)，且最大值出現(xiàn)在滾子邊緣處，這是由邊緣壓膜效應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)力集中現(xiàn)象造成的，如圖6所示。各個(gè)載荷步最終的應(yīng)力分布如圖7所示。當(dāng)轉(zhuǎn)速提升到900 r/min,平均應(yīng)力水平增大，某些瞬時(shí)時(shí)刻的最大應(yīng)力出現(xiàn)在承載區(qū)的滾子與保持架之間(由碰撞所產(chǎn)生)。這說(shuō)明軸承持續(xù)加速過(guò)渡階段保持架起到了重要的作用，其強(qiáng)度決定了加速運(yùn)轉(zhuǎn)的可靠性與安全性。

圖6 滾子接觸應(yīng)力分布

輸出外圈內(nèi)表面與對(duì)稱(chēng)中面交線(xiàn)中點(diǎn)即6 027號(hào)節(jié)點(diǎn)(圖8)在不同轉(zhuǎn)速下的等效應(yīng)力曲線(xiàn)，如圖9所示。

由圖9可知，隨著轉(zhuǎn)速升高，單位時(shí)間內(nèi)的應(yīng)力峰值數(shù)目增多，受載頻率變大，但峰值并未顯著增大，說(shuō)明中低轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的離心力作用并不顯著。

圖8 第6 027號(hào)節(jié)點(diǎn)位置

圖9 第6 027號(hào)節(jié)點(diǎn)在不同轉(zhuǎn)速下的等效應(yīng)力曲線(xiàn)

step2中徑向力加載穩(wěn)定后，外圈與方位角為0的滾子所構(gòu)成的接觸對(duì)中，外圈接觸區(qū)域中心平均接觸應(yīng)力為480.309 MPa，滾動(dòng)體接觸區(qū)域中心平均接觸應(yīng)力為645 MPa；內(nèi)圈與方位角為0的滾子構(gòu)成的接觸對(duì)中，內(nèi)圈接觸區(qū)域中心平均接觸應(yīng)力為630.702 MPa，滾動(dòng)體接觸區(qū)域中心平均接觸應(yīng)力為723.5 MPa(圖10)。理論上同一個(gè)接觸對(duì)，接觸區(qū)域的應(yīng)力對(duì)于兩接觸體應(yīng)相同，產(chǎn)生的差值由離散化計(jì)算導(dǎo)致，網(wǎng)格的密度與均勻程度決定了接觸應(yīng)力計(jì)算的準(zhǔn)確度，內(nèi)、外圈接觸區(qū)域網(wǎng)格的大小為2 mm，約為滾子的10倍，導(dǎo)致滾子接觸應(yīng)力偏大，滾道接觸應(yīng)力偏小，將對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的接觸應(yīng)力取平均值作為接觸應(yīng)力數(shù)值計(jì)算的結(jié)果。則滾子與內(nèi)、外圈間的接觸應(yīng)力分別為677.101，562.65 MPa，與理論計(jì)算值相差分別為7%，3%。

(2)軸承即使是理想幾何形狀，也會(huì)由于各個(gè)滾子角位置的不斷變化而產(chǎn)生內(nèi)、外圈的周期性相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)頻率等于保持架運(yùn)動(dòng)速度與滾子數(shù)之積，即滾子通過(guò)外圈滾道的頻率，類(lèi)似于彈簧的振動(dòng)。軸承的振動(dòng)頻率往往影響著轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)尤其是軸向輪對(duì)及牽引系統(tǒng)的振動(dòng)頻率，稱(chēng)之為可變彈性柔度。采集step1至step5的內(nèi)圈耦合點(diǎn)的垂向位移，如圖11所示。

圖10 軸承接觸應(yīng)力分布

圖11 內(nèi)圈耦合點(diǎn)的垂向位移時(shí)間歷程

由圖11可知，在5個(gè)載荷步的時(shí)間歷程中，step1重力加載時(shí)耦合點(diǎn)并未出現(xiàn)顯著的垂向位移；step2徑向力加載時(shí)出現(xiàn)較大的垂向位移，末端有一段時(shí)間的應(yīng)力波激擾衰減過(guò)程；step3轉(zhuǎn)速施加后，位移呈現(xiàn)周期性變化，轉(zhuǎn)速為200 r/min時(shí)，軸承的可變彈性柔度頻率為120.48 Hz，與理論計(jì)算得到的頻率(145.758 Hz)基本吻合。且隨著轉(zhuǎn)速的提高，內(nèi)圈耦合點(diǎn)位移變化周期逐漸減小，但是趨勢(shì)并不明顯，原因在于使用了平滑曲線(xiàn)加載，在載荷步末端才達(dá)到目標(biāo)轉(zhuǎn)速，且計(jì)算時(shí)間較短，并沒(méi)有顯示出較為明顯的頻率變化。隨著轉(zhuǎn)速提高，由于離心力作用加大以及內(nèi)圈的變形導(dǎo)致的垂向位移波動(dòng)振幅變大，趨勢(shì)越發(fā)清晰[12-13]。這種高頻的振動(dòng)需要在信號(hào)采集結(jié)果處理時(shí)濾掉，否則會(huì)影響分析精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

(1)根據(jù)列車(chē)軸箱軸承結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和受力分析求解了單列軸承承受的徑向載荷。

(2)采用Newton-Rampson法，利用MATLAB求解了轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下軸承內(nèi)部載荷的分布情況，并根據(jù)Hertz接觸理論求解了最大載荷作用接觸區(qū)域的接觸應(yīng)力，將其作為有限元計(jì)算的參考。

(3)建立了有限元離散模型，加載計(jì)算得到的載荷和相應(yīng)的轉(zhuǎn)速工況，研究軸承的動(dòng)力學(xué)特性，獲得了不同轉(zhuǎn)速條件下軸承內(nèi)部應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)，得到的等效應(yīng)力分布與實(shí)際工況和理論解相符合，實(shí)現(xiàn)了軸箱軸承的顯式動(dòng)力學(xué)模擬；并進(jìn)行了相關(guān)動(dòng)力學(xué)特性分析，以此為基礎(chǔ)，可以對(duì)軸箱軸承各種運(yùn)行失效狀態(tài)進(jìn)行模擬仿真，找出各種不同失效形式下振動(dòng)和應(yīng)力分布的特點(diǎn)，為故障診斷提供可靠的參考依據(jù)，并可借此提出相應(yīng)的軸承在線(xiàn)檢測(cè)方法。