劉紅彬，張帥，邢國璽，張磊，薛玉君

(河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003)

軸承在轉(zhuǎn)動過程中，由于內(nèi)圈轉(zhuǎn)速和載荷等多種因素影響，滾動體會出現(xiàn)不同程度的打滑現(xiàn)象。打滑發(fā)生后軸承內(nèi)部摩擦和發(fā)熱加劇，打滑率過大會導致軸承迅速燒傷損壞[1]。因此，對軸承進行打滑失效分析顯得尤為重要。

多年來，國內(nèi)、外許多學者通過對軸承進行擬動力學和有限元動力學仿真研究來揭示滾動體打滑機理。隨著計算機水平的高速發(fā)展，有限元成為解決軸承靜力學和動力學問題的有效方法，從滾動體載荷分布到滾動體與滾道的摩擦學特性研究都為滾動體打滑機理研究奠定了理論基礎。文獻[2]運用有限元方法對滾子進行靜力學分析，獲得滾子與滾道的接觸應力分布規(guī)律。文獻[3]采用擬動力學法分析高速球軸承載荷分布的數(shù)學模型。文獻[4]采用Newton-Raphson法分析圓柱滾子中介軸承的數(shù)學模型，得出滾子打滑率與徑向載荷間的關系。文獻[5]分析軸承在不同徑向載荷下和不同位置角處滾子自轉(zhuǎn)速度變化規(guī)律。文獻[6]采用擬靜力學和擬動力學相結合的方法研究高速球軸承打滑的臨界載荷。文獻[7]運用軸承擬動力學方程組，并耦合彈流潤滑理論，對高速軸承打滑失效分析過程進行較為深入的研究。此外，文獻[8]還利用擬動力學法計算分析考慮渦動工況的高速軸承打滑失效機理。文獻[9]通過建立6自由度動力學模型研究圓柱滾子轉(zhuǎn)速穩(wěn)定性對打滑發(fā)生的影響。文獻[10]通過試驗研究溫度、滾子個數(shù)和載荷對滾子打滑的影響規(guī)律。

上述有關軸承動力學分析和滾動體打滑率的研究未將軸承各組件柔性化處理，軸承內(nèi)部各組件間的接觸計算采用彈性接觸的方法處理，但均未考慮接觸引起的各組件變形。利用有限元理論對軸承進行柔性化處理，可更為準確地反映軸承各組件間的接觸力變化。文獻[11]在ANSYS/LS-DYNA中對深溝球軸承進行仿真分析，得出載荷和轉(zhuǎn)速對軸承等效應力的影響和故障軸承的振動特性比較。文獻[12]基于塑性材料模型對圓柱滾子軸承進行顯式動力學計算，分析軸承變形對軸承運轉(zhuǎn)的影響規(guī)律。文獻[13]通過對保持架的柔性化處理計算分析保持架的平穩(wěn)特性和打滑率。滾子與滾道間柔性接觸的建立可更為準確地模擬滾子與滾道間的動力學關系。因此，以圓柱滾子軸承為例，在ABAQUS/Explicit中建立軸承的全柔性模型，綜合考慮內(nèi)圈轉(zhuǎn)速、徑向載荷和過盈配合產(chǎn)生的壓力等因素，運用顯式動力學方法對軸承進行動力學仿真，通過提取軸承動力學計算結果中滾子中心節(jié)點速度變化歷程，獲得滾子相對滾道理想純滾動的打滑率，并分析其影響因素和規(guī)律。

1 顯式算法說明和彈性波的波動方程

1.1 顯式動力學理論

軸承動力學有限元分析數(shù)學建模中，系統(tǒng)的動力學方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

ABAQUS/Explicit 計算方法中采用中心差分法對運動方程進行顯式時間積分。計算中采用上一增量步的動力學結果作為下一增量步的動力學計算的初始條件。每個增量步開始時節(jié)點的平衡方程根據(jù)(2)式得到，節(jié)點的加速度取決于質(zhì)量矩陣和節(jié)點所受的合力；速度根據(jù)(3)式得到，此增量步內(nèi)的加速度可根據(jù)前后增量步的速度變化值確定，前一增量步中點的速度加上速度變化量確定當前增量步中點的速度；位移由速度對時間的積分和增量步開始時的位移確定，根據(jù)(4)式可得節(jié)點在增量步的位移。

只有足夠小的增量步才能保證增量步內(nèi)的加速度近似為常數(shù)和積分結果的準確性，ABAQUS可估算出最小穩(wěn)定時間增量步積分步長，使之小于中心差分算子的穩(wěn)定極限，確保中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定。

1.2 連續(xù)體中的應力波動計算

軸承在動態(tài)條件下，滾子由非承載區(qū)進入承載區(qū)，再到滾子受載最大位置，時間歷程非常短。滾子表面質(zhì)點先受到內(nèi)、外圈的柔性接觸載荷，使其偏離初始平衡位置。滾子部分質(zhì)點與相鄰滾道質(zhì)點發(fā)生相對運動，接觸部位質(zhì)點間會產(chǎn)生接觸應力和摩擦力，二者的相互作用力使相鄰的質(zhì)點產(chǎn)生位移，從而使轉(zhuǎn)動部件產(chǎn)生彈性波。柔性動力學有限元計算分析中，質(zhì)點不像靜力學情況下處于靜力平衡狀態(tài)，而是處于隨時間迅速變化的動態(tài)過程，此彈性波在軸承中傳遞形成應力波，因此建立柔性體中的彈性波的波動方程為

(5)

式中：λ和μ為Lame常數(shù)；ρ為材料密度；t為時間；x1，x2和x3分別為空間坐標軸的3個方向；ε11=?u1/?x1，ε22=?u2/?x2和ε33=?u3/?x3分別為增量步內(nèi)3個方向上的主應變；u1，u2和u3分別為微元在一個增量步內(nèi)3個方向的位移變化。通過建立波動方程可更為準確地獲得軸承在工作過程中應力波動的傳遞過程。

2 動力學計算分析

2.1 圓柱滾子軸承幾何參數(shù)

以NU1020圓柱滾子軸承為例建立動力學分析模型，軸承幾何參數(shù)見表1。建模未考慮軸承套圈的安裝圓角和加工工藝倒角。為了準確模擬滾子與滾道的柔性接觸，滾子的圓角在建模中未予省略。

表1 軸承幾何參數(shù)

2.2 有限元模型的基本假設

(1)材料模型假設：忽略材料因熱處理或混有雜質(zhì)表現(xiàn)出的不同力學性能，宏觀上把物體視為由連續(xù)不斷的質(zhì)點構成，視模型為質(zhì)點的連續(xù)集合。

(2)線彈性假設：此模型中材料為線彈性，即應力與應變間的關系嚴格遵循Hooke定律。

(3)使用修正的Kragelskii函數(shù)代替油膜對摩擦因數(shù)的影響：通過接觸屬性的設置代替軸承中油膜的存在和復雜的接觸作用力，這樣能簡化模型，提高計算速度[14]。

f=(-0.1+22.28s)e-181.46s+0.1，

(6)

式中：f為摩擦因數(shù)；s為滑滾比。

(4)恒溫假設：忽略周圍環(huán)境對軸承產(chǎn)生的阻力和溫度的變化對軸承動態(tài)性能的影響。

2.3 有限元模型建立

(1)材料賦值：建立全柔性模型來仿真軸承工作過程中的動態(tài)狀況，內(nèi)外圈、滾子和保持架均采用柔性材料GCr15鋼，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.3。

(2)單元的選擇：根據(jù)內(nèi)、外圈和保持架形狀規(guī)則，選擇C3D8R單元類型，其單元在每個積分方向少使用一個積分點，可緩解單元過硬現(xiàn)象。滾子采用C3D10M單元類型對沙漏進行控制。節(jié)點共計269 012個，單元85 347個。其中線性六面體單元(C3D8R)35 992個，二次六面體單元(C3D10M)149 355個。軸承有限元模型如圖1所示。

圖1 軸承有限元模型

(3)柔性接觸設定：為仿真接觸表面間切向和法向作用力，在滾子表面和內(nèi)滾道、外滾道、保持架兜孔面間添加接觸對和接觸屬性。接觸對采用面與面的接觸類型，接觸控制方法選取動力學接觸控制。法向接觸為防止接觸穿透而采取Hard設置，切向摩擦因數(shù)采取修正的Kragelskii函數(shù)。

(4)徑向加載：在內(nèi)圈的內(nèi)徑面和內(nèi)圈的幾何中心點建立位移耦合，同樣在保持架的側(cè)面和保持架的幾何中心建立耦合。通過對內(nèi)圈耦合加載實現(xiàn)對內(nèi)圈徑向加載。

(5)載荷邊界條件：軸承邊界條件如圖2所示，對外圈外徑面施加固定約束。實際工程中內(nèi)圈與軸系相連，提供旋轉(zhuǎn)動力，故對內(nèi)圈軸向移動施加約束，釋放繞軸線旋轉(zhuǎn)的自由度。對保持架施加軸向約束，以防止仿真過程中滾子和保持架的軸向竄動。

圖2 軸承邊界條件

(6)分析步的設定：第1個分析步中施加徑向載荷，時長取0.5 s，以保證徑向加載引起的響應得以穩(wěn)定；第2個分析步中施加內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)，時長取20 s，以分析滾子在軸承旋轉(zhuǎn)過程中的打滑。

(7)局部質(zhì)量放大：在顯式算法中穩(wěn)定極限由模型單元中最小的單元決定，最小穩(wěn)定時間增量方程為

(7)

式中：Le為特征單元長度；cd為材料的膨脹波速；E為材料的彈性模量；ν為材料的泊松比。

合理的質(zhì)量放大能有效利用計算資源。未倒角的滾子在分析時出現(xiàn)應力集中，滾子邊緣的奇異網(wǎng)格導致計算失敗。對滾子進行倒角能有效減小應力集中，但倒角帶來的細小網(wǎng)格會減小模型的最小時間增量，故對滾子和保持架倒角部位的單元及其他不規(guī)則單元進行質(zhì)量放大，在分析打滑率不失真的同時節(jié)省計算資源。

3 計算結果及分析

3.1 運動狀態(tài)分析

由于NU1020圓柱滾子軸承的內(nèi)圈參考額定轉(zhuǎn)速為4 150 r/min，故選取2 075，2 490，2 905，3 320 r/min為仿真轉(zhuǎn)速。該軸承的基本額定動載荷為116 kN，故選取基本額定動載荷的2%，3%，4%，5%，即2.32，3.48，4.64，5.80 kN為徑向載荷。過盈配合產(chǎn)生的壓力分別選取0，50，100，150，200 MPa進行等效代換。

內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為2 075 r/min，徑向載荷為2.32 kN，無過盈配合時，軸承工作過程中各組件的速度云圖如圖3所示。

圖3 軸承工作過程中各組件的速度云圖

由圖3可知，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)帶動滾子和保持架的旋轉(zhuǎn)，且各組件節(jié)點擁有不同的速度。外圈處于固定狀態(tài)時，速度為0，軸承工作過程中內(nèi)、外圈和滾子的速度云圖如圖4所示，內(nèi)圈速度高于保持架速度。滾子中各節(jié)點的運動屬于平面運動。各節(jié)點的速度規(guī)律符合平面運動規(guī)律。此外，在運轉(zhuǎn)過程中，滾子和外圈接觸處的速度低于和內(nèi)圈接觸處的速度，且滾子的速度瞬心軸和滾子與外圈接觸線重合。

圖4 軸承工作過程中內(nèi)、外圈和滾子的速度云圖

有限元分析需用網(wǎng)格對軸承進行離散化，離散化后的各個節(jié)點擁有不同的動力學信息。為了研究分析滾子打滑機理，提取節(jié)點的速度隨時間的變化歷程。提取節(jié)點的位置如圖5所示。內(nèi)圈內(nèi)徑耦合面和滾道的速度如圖6所示。內(nèi)圈內(nèi)徑耦合面的設定速度即為軸承內(nèi)圈運動輸入，設定內(nèi)圈內(nèi)徑節(jié)點速度在2 s內(nèi)從零線性增至規(guī)定線速度。內(nèi)圈滾道節(jié)點理論速度為內(nèi)圈內(nèi)徑和滾道的轉(zhuǎn)動半徑的乘積。內(nèi)圈滾道節(jié)點實際速度是根據(jù)動力學仿真計算結果提取得到的節(jié)點實際線速度。從內(nèi)圈滾道節(jié)點實際速度和理論速度對比可知：軸承啟動運轉(zhuǎn)時，內(nèi)圈滾道上的節(jié)點和滾子發(fā)生接觸和摩擦，根據(jù)顯式動力學理論和柔性連續(xù)體的應力波動計算，隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)動，滾道表面節(jié)點速度與滾道理論速度存在一定差別，其波幅隨時間的增加而增加，且最終趨于穩(wěn)定。

圖5 提取節(jié)點的位置

圖6 內(nèi)圈內(nèi)徑耦合面和滾道的速度

為了準確獲得滾子理論速度，可假定滾子與滾道間為純滾動。由圖4可知，滾子的速度瞬心軸位于滾子和外圈的接觸線，可用內(nèi)圈滾道上和滾子接觸處的節(jié)點速度計算滾子中心節(jié)點理論速度，也是下文計算滾子打滑率的理論速度。

3.2 滾子打滑率分析

由于軸承在運轉(zhuǎn)過程中難以測量滾子的運動狀態(tài)，當各運動部件未做柔性化處理時，以保持架轉(zhuǎn)速和理想轉(zhuǎn)速之差確定滾子打滑率是國內(nèi)、外學者常用的方法，而有限元方法能將軸承各部件離散化，保持架各網(wǎng)格質(zhì)點運動參數(shù)也會存在波動性，為了方便判斷滾子打滑率，提取圖5所示的兩節(jié)點速度計算滾子打滑率為[4]

(8)

內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為2 075 r/min，徑向載荷為2.32 kN，過盈配合產(chǎn)生的壓力為200 MPa時，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)滾子的理論速度和實際速度如圖7所示。內(nèi)圈不旋轉(zhuǎn)時，滾子速度非常小，可視為處于靜止狀態(tài)；內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)時，滾子依靠內(nèi)圈間的摩擦力而旋轉(zhuǎn)，滾子運動速度滯后于內(nèi)圈運動速度，且在增加到一定值后不再增加。

圖7 內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)滾子的理論速度和實際速度

內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為2 075 r/min，過盈配合產(chǎn)生的壓力為200 MPa，不同徑向載荷下的滾子打滑率如圖8所示。在滾子打滑率隨徑向載荷的增加而減小的過程中，滾子速度產(chǎn)生波動，且波幅隨時間的增加而增大。

軸承進入穩(wěn)態(tài)后，滾子打滑率的平均值隨徑向載荷變化的規(guī)律如圖9所示。滾子打滑率隨徑向載荷的增加而減小，兩者間呈非線性關系。

徑向載荷為5.80 kN，過盈配合產(chǎn)生的壓力為0，不同內(nèi)圈轉(zhuǎn)速下的滾子打滑率如圖10所示。滾子打滑率隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)速增大而減小，滾子打滑率越小，波幅隨時間的增加變化越大。

圖8 不同徑向載荷下的滾子打滑率

圖9 滾子打滑率的平均值隨徑向載荷變化的規(guī)律

圖10 不同內(nèi)圈轉(zhuǎn)速下的滾子打滑率

軸承進入穩(wěn)態(tài)后，滾子打滑率的平均值隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律如圖11所示。在相同工況下，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速對滾子打滑率影響很大，兩者間呈非線性關系。

圖11 滾子打滑率的平均值隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律

內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為3 320 r/min，徑向載荷為2.32 kN，不同過盈配合產(chǎn)生的壓力下的滾子打滑率如圖12所示。滾子打滑率隨內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生，隨過盈配合產(chǎn)生的壓力增加而下降，隨時間增加而趨于穩(wěn)定，同時伴有波動。

圖12 不同過盈配合產(chǎn)生的壓力下的滾子打滑率

軸承進入穩(wěn)態(tài)(即15s)后，滾子打滑率的平均值隨過盈配合產(chǎn)生的壓力的變化如圖13所示。滾子打滑率隨過盈配合產(chǎn)生的壓力的增加而減小。

圖13 滾子打滑率的平均值隨過盈配合產(chǎn)生壓力的變化

4 結論

(1)通過對滾子與滾道間進行柔性化處理，依據(jù)顯式動力學理論和柔性連續(xù)體的應力波動計算，可獲得軸承運動部件各節(jié)點的速度變化歷程，為滾子打滑機理研究提供有效的計算方法。

(2)軸承啟動過程中，隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)速增加，滾子和保持架速度滯后于內(nèi)圈速度增加。隨內(nèi)圈速度趨于穩(wěn)定，滾子和保持架速度滯后于內(nèi)圈速度趨于穩(wěn)定。計算得到的滾子打滑率也逐漸下降并趨于穩(wěn)定，且穩(wěn)定后的打滑率存在一定波動。

(3)內(nèi)圈轉(zhuǎn)速和徑向載荷對滾子打滑有較大影響，高速輕載工況下滾子打滑嚴重，隨徑向載荷的增加和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速的減小，可一定程度消除滾子打滑。在內(nèi)圈轉(zhuǎn)速和徑向載荷無法改變時，增加內(nèi)圈與軸的過盈配合產(chǎn)生的壓力可有效降低滾子打滑率。