王晶晶

【摘 要】方格圖簡潔直觀、有趣味、易操作，且有多種表征形式，是學生學習數學的重要工具。綜觀蘇教版小學數學教材，約有150次使用方格圖，我們應從新的視角審視方格圖的現實內涵，并以發(fā)展性的眼光審視它的價值取向，以更好地促進學生空間觀念的形成和發(fā)展。

【關鍵詞】方格圖 工具 價值 應用 再開發(fā)

方格圖是以若干個小正方形為基本構成要素，以信息加工過程的直觀性為形態(tài)的數學學習工具。借助方格圖，不僅有助于學生探索解決問題的思路，預測結果，還可以幫助學生直觀地理解數學，把復雜的數學問題變得簡明、形象。

方格圖是一個外延相對寬泛的工具，還有多種表現形式，如點子圖、數對圖、坐標圖等。據不完全統計，在蘇教版小學數學教材中方格圖約出現了54次，點子圖8次，數對圖12次，坐標圖78次。教師應從新的視角審視數學工具的現實內涵，并以發(fā)展性的眼光審視它的價值取向，以便更好地促進學生空間觀念的形成和發(fā)展。德國數學家希爾伯特曾說過：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現密切聯系著?！?/p>

一、彰顯工具魅力：方格圖的表征及作用

方格圖簡單、直觀、易操作。教材中使用方格圖，是尊重和順應小學生的認知基礎和需求的表現，能有效地幫助學生建立方位感和距離感，有利于學生空間觀念的培養(yǎng)。

（一）方格圖的特征與表現形式

1.“顯性”表現——方格圖。

一組組相互平行和垂直的線組成了正方形網格圖（如圖1）。通常情況下，方格圖中的每個小正方形的邊長為1cm，為學生的操作提供標準的單位長度；每兩條直線相交于一點，為操作找準需要的定點；每兩條直線相交的角成直角，為操作找準角度、確定方向。

2.“隱性”表現——點子圖。

方格圖還有一種簡化的表現形式，是點子圖（如圖2）。它是由一行行、一列列相互對齊的點組成的，每行、每列點與點之間的距離都相等。正是由于只有點而缺少線了，它為學生學習數學提供了更大的想象空間。

3.“拓展”表現——數對圖和坐標圖。

方格圖的變式表現有數對圖（如圖3）和坐標圖（如圖4），它們都是采用數字坐標形式表示多項地理要素的數字信息圖像，是二維坐標系，有兩個自由度。同時，坐標圖還可以為學生直觀分析現象提供統計依據。

（二）方格圖的價值取向

1.由“粗略”到“精細”——統一學生的操作標準。

在實際操作中，學生測量時會產生距離上的誤差和角度上的偏差。所以，點與點之間的距離、線與線之間的距離和角度應該成為引起學生細致關注的要點。方格圖的出現，不僅為學生確定了標準化的距離，還提供了方向上的參照，讓他們在操作中由“粗略”走向“精細”。

2.變“抽象”為“直觀”——培養(yǎng)學生的空間觀念。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）把“圖形與幾何”作為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力的一個重要學習領域。小學生的空間想象能力比較薄弱，教學中如果能充分地運用好方格圖這個工具，就可以把比較抽象的問題直觀化、復雜的知識簡單化，使學生的抽象思維能力逐步提高。

3.化“被動”為“主動”——發(fā)揮學生的主體作用。

方格圖的使用為教師的教與學生的學提供了豐富而有效的學習素材，如果教師能夠并善用方格圖為學生創(chuàng)造思考的空間和感悟的條件，不僅能夠發(fā)揮學生的主體作用，還有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。使學生在學習的過程中，不斷地化“被動”為“主動”，真正地做到以學生為主體、以教師為主導。

4.從“現象”到“本質”——體現數學思想方法。

方格圖中所展現的圖形，都是由圖形與數學思想相結合的復雜統一體。例如，推導圖形面積公式過程中體現的轉化思想、平移圖形中的一一對應思想和用方格圖表示小數的數形結合思想，還有模型思想、演繹推理思想、幾何變換思想、統計與概率思想等，都能透過一系列的現象看到數學的本質。

二、展現教學智慧：發(fā)掘方格圖在教學中的應用

方格圖，既樸實清秀又蘊藏智慧。《標準》中“圖形與幾何”領域主要涉及現實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及其變換等內容，這些內容的學習很多都要用到方格圖。

（一）生成“標準尺”認識圖形，體現教學“真”的智慧

數學是一門嚴謹的科學，無論是教學的過程還是結果，也不管是數據還是理論，都必須真實、可靠。

1.生成直尺判斷“平行”，確定“相等”。

通過在方格圖上數格子，學生證明了平行四邊形的對邊是互相平行且相等的。接著，教師可以變動一些線段的長度、方向，使其變成豎直的平行四邊形。使學生拋開了線段長度、方向等非本質因素，對平行關系有了更清晰的認識。

2.生成三角尺畫圖形的“高”。

方格圖中一組組互相垂直的線段恰好可以生成三角尺上的直角，能夠幫助學生準確地畫出“高”，以免在角度上產生誤差。方格圖中的線段可以生成“標準尺”來幫助學生建立圖形的基本特征，理解圖形的根本屬性，體現了教學“真”的智慧。

（二）提供“統一數”進行測量，呈現教學“簡”的智慧

測量是小學數學教學中發(fā)展學生的空間觀念不可多得的操作活動。方格圖中提供了統一的數據，可以幫助學生學習測量方法。

1.找數據，建表象，理關系。

在讓學生發(fā)現周長與面積的關系時，方格圖可以為學生提供簡單的數據提示，以方便他們成功地發(fā)現規(guī)律，更能夠幫助學生在計算的基礎上建立起“形”的表象。

2.用數據，剪移拼，推方法。

在推導多邊形面積的計算公式時，學生可以利用方格圖發(fā)現和歸納平面圖形的計算方法，并通過自己的計算與推理來感悟各種圖形的面積計算公式。

3.數數據，算格子，估面積。

例如，估測一片樹葉的面積，可以讓學生數整格和接近整格的方格個數，也可以告訴學生將不滿整格的方格都當成半格來計算，最后讓學生比較兩種數法的結果，從而較準確地估出面積。

（三）改變“點與線”實現運動，展現教學“美”的智慧

方格圖為學生學習圖形變換提供了重要的工具，為實現圖形運動提供了標準的方向和距離。

1.“動”中藏美。

方格圖為幫助學生實現圖形的移動確定了方向和距離，生成了移動的尺子。學生運用對稱、平移和旋轉的方法在方格紙上畫圖，不僅在操作中有了參照與標準，也大大降低了繪圖的難度，在移動中實現了和諧之美。

2.“靜”中展美。

教材中設計了多樣的操作活動，讓學生在動手操作中逐步體驗軸對稱圖形的具體特征。有了方格圖，學生便可以找出另一半圖形所有的對稱點，然后再聯結，從而形成一個軸對稱圖形。

（四）巧用“指南針”確定位置，實現教學“活”的智慧

我們要巧妙地使用方格圖，幫助學生在方格圖中找到準確的位置，實現數學教學的靈活性。

1.由實物圖抽象出方格圖。

二年級上冊“位置與方向”單元出現的一些實物圖（如圖5）是方格圖的最初模型，可以幫助學生建立行列概念，是學生用來認識“第幾排第幾個”的好素材。

2.為學生建立方位提供參照。

五年級下冊“位置”單元明確地引入“數對”，用一對有序數來表示一個點在平面中的位置，并借助大量的方格圖來幫助學生感受數對與位置之間的一一對應關系，以及數對中兩個數的不同含義。

3.為學生直觀地分析現象提供統計依據。

為了分析統計數據，教材中提供了相應的方格圖，讓學生在方格圖中畫直條，這能使學生在操作中更加關注統計的全過程，從而更加全面地了解統計方法。

三、拓展學習領域：再度開發(fā)方格圖的創(chuàng)新價值

教師應努力地再度開發(fā)方格圖的創(chuàng)新價值，使其與其他學習領域建立和諧統一的關系，從而真正地提高學生的數學學習素養(yǎng)。

（一）數形結合，為學生學習“數與代數”搭建橋梁

數形結合是典型的數學思想，也是一種很好的教學方法。數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”教師可以利用方格圖展示算理，引導學生“知其然”，然后“知其所以然”。例如，教學“6的乘法口訣”時，我們可以先出示“5×5”的方格圖，問學生：一共有多少個小方格？你用的是哪一句乘法口訣？然后教師出示：如果再增加一行，應該用什么乘法口訣呢？

（二）動手操作，為學生解決實際問題打開成功之門

在小學的綜合實踐活動中，方格圖為學生解決實際問題提供了標準的測量依據。例如，教學《圖形的密鋪》一課，在學生明晰了正方形、長方形、六邊形的地磚都可以在一塊地面上密鋪之后，讓他們思考還有什么形狀的圖形能密鋪，可以引導他們在方格圖中畫出圖形去實驗，通過實際觀察得出結論。

（三）開“窗口”巧填數，為學生開發(fā)智力推開創(chuàng)造與想象之窗

很多數學益智游戲中都會用到方格圖。比如目前流行的九宮格，它是將1～9連續(xù)9個正整數填入“3×3”的方格中，使每行、每列及對角線上的三個數的和相等，通常將這個圖形稱為三階幻方或魔方。在此基礎上，教師可以引領學生提出二階幻方、四階幻方的存在性。

（四）巧制“面積卡”，為學生解決生活問題提供便攜工具

方格圖制作簡單、方便。在《面積和面積單位之間的進率》一課中，有一張邊長為10厘米的正方形方格紙，我們可以用一張半透明的薄紙或一個透明的塑料板臨摹這張方格紙，這樣就輕便地制作了一張面積卡，讓學生每人自備一張，不僅有利于他們了解面積單位之間的進率，還為他們解決生活中的數學問題提供了方便攜帶的工具。

簡潔直觀的方格圖，為培養(yǎng)學生的空間想象能力提供了必要的支撐和有效的參照。教師要有意識地發(fā)掘散落在教材中的方格圖，深入理解教材的設計意圖，再度開發(fā)方格圖的功能。我們希望數學工具成為學生口渴時朝向的水源，借助數學工具去解決問題；希望學生將數學工具作為翅膀，愜意地展翅飛翔。

【參考文獻】

[1]吳振奎，劉舒強.數學中的美——數學美學初探[M].天津：天津教育出版社，1997.

[2]曾德才.數形結合，理解算理[J].小學教學研究，2002（7）：26.

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎

（作者單位：江蘇省連云港師范高等專科學校第一附屬小學）