何維林，田雅芬，邢子文

（西安交通大學(xué)，陜西 西安710049）

型線為離散點的雙螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子成形刀具計算

何維林，田雅芬，邢子文

（西安交通大學(xué)，陜西 西安710049）

以具體的實際工業(yè)生產(chǎn)遇到的相關(guān)問題為例，系統(tǒng)地介紹了成型磨削加工螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子的原理和方法，并通過對離散點一階導(dǎo)數(shù)的計算及相關(guān)研究給出了具體可操作的方案，表明這一方法具有精度高、實際可操作性強等優(yōu)點，能滿足一般工業(yè)生產(chǎn)的需要。

雙螺桿壓縮機；成型磨削；離散點；三次樣條函數(shù)

1 引言

螺桿壓縮機具有結(jié)構(gòu)簡單、工作可靠和操作方便等一系列優(yōu)點，因而自問世起就得到了很快的發(fā)展，如今已在空氣動力、制冷空調(diào)以及各種工藝流程中獲得了十分廣泛的應(yīng)用，而且其市場份額還在不斷增長，是一種應(yīng)用前景十分廣泛的壓縮機。顯然，對螺桿壓縮機而言，轉(zhuǎn)子是其核心部件之一。目前國內(nèi)外加工螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子的方法主要有銑削加工法、滾削加工法、磨削加工法等。銑削加工法在成批生產(chǎn)時需要轉(zhuǎn)子專用銑床，采用普通銑床只能進(jìn)行小型轉(zhuǎn)子小批量生產(chǎn)，因而應(yīng)用受限。滾削加工法在提高轉(zhuǎn)子加工速度和精度較銑削加工法優(yōu)越，但是滾刀制造復(fù)雜，價格較高，因此滾削加工法往往用于大批量小型轉(zhuǎn)子的生產(chǎn)。磨削加工法在進(jìn)一步提高轉(zhuǎn)子的加工速度和精度，同時降低加工刀具的制造費用等方面具有獨特的優(yōu)勢，因而獲得了越來越廣泛的應(yīng)用，但其所需生產(chǎn)成本較高，其在現(xiàn)階段難以滿足大規(guī)模生產(chǎn)的需要。這些常規(guī)方法在計算刀具之前都需要轉(zhuǎn)子型線的導(dǎo)數(shù)。而在實際的工業(yè)生產(chǎn)中，經(jīng)常會遇到所需型線是由離散點表示的，這時如何根據(jù)離散點來獲取型線的導(dǎo)數(shù)就成為了刀具計算問題中的關(guān)鍵。因此對如何根據(jù)離散點來進(jìn)行刀具設(shè)計的相關(guān)研究是很有意義的。本文將這一問題進(jìn)行深入探討，并通過實例來進(jìn)行詳細(xì)說明解決這一問題的具體思路與方法。

2 砂輪廓形的設(shè)計原理

根據(jù)雙螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子型線（圖1），形成轉(zhuǎn)子螺旋面是設(shè)計砂輪廓形的關(guān)鍵所在。實際上，螺桿的橫截面齒廓線和導(dǎo)程共同決定了其螺旋面，轉(zhuǎn)子橫截面齒廓線以一定的導(dǎo)程繞螺桿軸心線作螺旋運動就形成了螺旋面。因為砂輪回轉(zhuǎn)曲面必須滿足與轉(zhuǎn)子螺旋面相切這個條件，所以轉(zhuǎn)子螺旋面與砂輪回轉(zhuǎn)面之間相切條件的方程就是接觸線方程，右旋方程如下：

圖1 螺桿壓縮機的轉(zhuǎn)子型線

式中 X，Y——工件螺旋面上某一點的坐標(biāo)

Ad——工件與砂輪之間的中心距——螺旋參數(shù)，其中T為導(dǎo)程

φ——安裝角即工件軸線與砂輪軸線之間的夾角

求解上述方程即可得到兩相切表面之間的接觸點，將其代入砂輪廓形坐標(biāo)系中的相關(guān)方程就能得到砂輪廓形。

螺桿壓縮機的型線往往通過離散點的形式給出，當(dāng)型線是用上述形式表達(dá)時，轉(zhuǎn)子螺旋面與砂輪回轉(zhuǎn)面的相切關(guān)系式可表示成如下形式

式中 xi，yi——離散點坐標(biāo)值

Ad——工件與砂輪之間的中心距

φ——安裝角即工件軸線與砂輪軸線之間的夾角

由公式（2）可知，求得各離散點的一階導(dǎo)數(shù)是求解砂輪廓形的關(guān)鍵所在，為了獲得較高的計算精度，目前常常采用三次參數(shù)樣條函數(shù)或者三次樣條函數(shù)法。

3 離散點導(dǎo)數(shù)的求解方法

下面將采用具體轉(zhuǎn)子型線數(shù)據(jù)，用三次樣條函數(shù)計算方法來求解用離散點表示的轉(zhuǎn)子型線的一階導(dǎo)數(shù)。進(jìn)行計算之前，先對三次樣條函數(shù)進(jìn)行簡要說明。

三次樣條函數(shù)簡介：

在解決工程實際問題中，工程技術(shù)人員常常會將一些指定的樣點連結(jié)成一條光滑的曲線，這樣的曲線稱之為樣條曲線，對其進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬導(dǎo)出的函數(shù)叫做樣條函數(shù)。設(shè)轉(zhuǎn)子型線離散點坐標(biāo)為（xi，yi）。通過型線f（xi）=yi的二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)存在，則f（x）的三次樣條函數(shù)s（x）應(yīng)滿足

①s（xi）=yi

②二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

③s（x）為三次多項式

設(shè)hi=xi+1-xi，mi=s＇（xi），

由樣條函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性知

s〝（xi+）=s〝（xi-），化簡并整理可得

μimi-1+2mi+λimi+1=di（i=1，2，…，n-1） （3）

di=3（μif［xi-1，xi］+λif［xi，xi+1］）

欲求出未知數(shù)還需補充2個邊界條件，對于螺桿壓縮機型線，有函數(shù)s（x）在兩端點處的二階導(dǎo)數(shù)為零，即

將（3）和（4）式合并在一起，則可寫成如下矩陣形式

解以上矩陣，則能得到各離散點的一階導(dǎo)數(shù)值mi。

4 實例計算

在現(xiàn)代的工業(yè)生產(chǎn)中，用以表示型線的數(shù)據(jù)往往“成千上萬”，處理這么龐大的數(shù)據(jù)量往往只能采用計算機來求解。為了使得所采用的方法具有較好的通用性與可移植性，本文采用MATLAB編程求解。

一般來說，砂輪廓形的計算步驟如下：

（1）輸入螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子端面型線的基本參數(shù)，如離散點坐標(biāo)數(shù)據(jù)、工件節(jié)圓半徑、砂輪直徑等；

（2）用三次樣條函數(shù)或三次參數(shù)樣條函數(shù)計算各離散點的導(dǎo)數(shù)mi=dyi/dxi；

（3）通過解接觸線方程求出一系列接觸點在工件螺旋面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（xi，yi，zi）；

（4）將工件螺旋面坐標(biāo)系中的接觸點坐標(biāo)（xi，yi，zi）代入砂輪關(guān)于工件的坐標(biāo)關(guān)系式，求出接觸點在砂輪坐標(biāo)系上的坐標(biāo)（xj，yj，zj）；

由于受篇幅限制，下面只對其中最為關(guān)鍵的求離散點的導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)行詳細(xì)說明。在進(jìn)行計算前，必須對所采用程序的正確與否進(jìn)行檢驗。

4.1 程序可靠性檢驗

為檢驗程序的正確性，現(xiàn)采用結(jié)果已知的型線數(shù)據(jù)來對程序進(jìn)行檢驗。部分原始數(shù)據(jù)見表1，2；原始數(shù)據(jù)所表示的型線見圖2，3。

表1 曲線1相關(guān)數(shù)據(jù)

表2 曲線2相關(guān)數(shù)據(jù)

圖2

圖3

程序運行結(jié)果見圖4、5；運行結(jié)果與理論值的誤差分布見圖6、7。

圖4 曲線1運行結(jié)果

圖5 曲線2運行結(jié)果

圖6 曲線1誤差分布

圖7 曲線2誤差分布

數(shù)據(jù)處理：

事實上，為了衡量總體誤差的大小與偏差，可采用均值與方差或標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行描述，其具體計算式如下（為了能更客觀的表示誤差大小，一律采用絕對值進(jìn)行計算）。

均值

對于數(shù)據(jù)曲線1，從圖中可以發(fā)現(xiàn)最大誤差在第762個點，其值為0.716998°，誤差分布的均值bˉ=0.059669°，方差s2=0.008994°，標(biāo)準(zhǔn)差s= 0.094835°。

對于數(shù)據(jù)曲線2，從圖中可以發(fā)現(xiàn)最大誤差在第832個點，其值為-0.219342°，誤差分布均值bˉ= 0.021262°， 方 差 s2=0.000669°， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 s= 0.025868°。

綜上可得相關(guān)結(jié)果的誤差較小，處于實際工業(yè)生產(chǎn)可以接受的范圍內(nèi)。因此可以認(rèn)為程序所得的結(jié)果是正確可靠的。

4.2 實例計算

選取某公司螺桿壓縮機型線，轉(zhuǎn)子端面型線如圖8、9所示，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表3、4。

現(xiàn)在需要計算該型線的一階導(dǎo)數(shù)值，并將其用角度值表示出，直接計算后的結(jié)果如圖10、11（畫該圖時，已將原始數(shù)據(jù)點編號）：

發(fā)現(xiàn)在90°的附近有“壞點”。

圖9 陰轉(zhuǎn)子型線

表3 陽轉(zhuǎn)子端面齒形坐標(biāo)點

表4 陰轉(zhuǎn)子端面齒形坐標(biāo)點

圖10 陰轉(zhuǎn)子直接運行結(jié)果

圖11 陽轉(zhuǎn)子直接運行結(jié)果

為了找到產(chǎn)生這個問題的原因，筆者在查閱相關(guān)資料后發(fā)現(xiàn)，對同樣的型線坐標(biāo)點在不同坐標(biāo)系下所作出的樣條曲線是不一樣的，由于三次樣條法以hi=xi+1-xi為變量參數(shù)，當(dāng)離散點處的一階導(dǎo)數(shù)趨近于無窮大的時候，hi趨近于0，造成方程組無解，這時一般應(yīng)將離散點旋轉(zhuǎn)到這樣的位置，使得在這個坐標(biāo)系中擬合曲線切線斜率的絕對值越小越好。為了解決這個問題，現(xiàn)采用如下方案重新計算，先將原始數(shù)據(jù)繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)一定的角度，其值視具體實際情況而定。對于本例，陽轉(zhuǎn)子型線坐標(biāo)數(shù)據(jù)順時針旋轉(zhuǎn)50°，陰轉(zhuǎn)子型線坐標(biāo)數(shù)據(jù)順時針旋轉(zhuǎn)80°，旋轉(zhuǎn)后的位置及其坐標(biāo)如圖12、13。

對旋轉(zhuǎn)之后的數(shù)據(jù)再進(jìn)行計算后發(fā)現(xiàn)“壞點”已經(jīng)消失，如圖14、15。

圖12 陽轉(zhuǎn)子坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

圖13 陰轉(zhuǎn)子坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

圖14 陰轉(zhuǎn)子修正運行結(jié)果

圖15 陽轉(zhuǎn)子修正運行結(jié)果

從圖14、15可以發(fā)現(xiàn)，此時的結(jié)果已經(jīng)可用于后續(xù)相關(guān)計算。

5 結(jié)論

本文通過相關(guān)具體實例給出了成型磨削加工螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子的一般原理和具體操作方法。并通過相關(guān)實際已知的型線數(shù)據(jù)說明了該方案的精度與可行性，對相關(guān)工業(yè)生產(chǎn)具有很強的指導(dǎo)性。同時，筆者發(fā)現(xiàn)在用三次樣條函數(shù)求解用離散點表示的一階導(dǎo)數(shù)時，所得的結(jié)果與所選的坐標(biāo)系有很大的關(guān)系，因此也希望能夠?qū)窈蟮南嚓P(guān)設(shè)計人員的計算能起到一定的啟發(fā)作用。

［1］邢子文.螺桿壓縮機:理論，設(shè)計及應(yīng)用［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2000.

［2］王可，韓琦，趙巍.螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子成形磨削中砂輪廓型計算方法［J］.壓縮機技術(shù)，2002，（1）：7-9.

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Calculation of the Forming Cutter Used for Making the Twin-rotor Screw Compressor Whose Profile is Described with the Discrete Point

HE Wei-lin，TIAN Ya-fen，XING Zi-wen
（Xi＇an Jiaotong University，Xi＇an 710049，China）

In this paper，we select the specific related problems in the actual industrial production as an example，to introduce the principle and method of the forming cutter which is used to make the twin-rotor screw compressor systematically and completely.By means of research which is related to the calculation of the first-order derivative，we provide the operational plan based on the related results.We show the plan has the quality of high precision and strong operability，and we also prove the plan can meet the needs of the related industrial production.

twin-rotor screw compressor；form grinding；discrete point；cubic spline function.

TH455

A

1006-2971（2014）06-0008-06

何維林（1992-），男，西安交通大學(xué)在讀本科生，研究方向為螺桿壓縮機的優(yōu)化與設(shè)計。E-m a i l:h e 001 l i n@f o x m a i l.c o m

2014-04-03

海洋公益性行業(yè)科研專項經(jīng)費項目（201305011）