周金樂，王傳玉

(安徽工程大學 數(shù)理學院，安徽 蕪湖 241000)

閾值策略下二元對偶風險模型

周金樂，王傳玉

(安徽工程大學 數(shù)理學院，安徽 蕪湖 241000)

在閾值分紅策略下研究了獨立二元對偶風險模型，得出了公司直到破產(chǎn)時刻為止的累積紅利期望現(xiàn)值函數(shù)所滿足的兩個積分-微分方程，求出了這種情況下的廣義Lundberg基本方程，最后運用Laplace變換得出了微積分的解。

對偶風險模型；閾值分紅策略；積分-微分方程；Laplace變換

風險是對損失不確定性的一種度量，現(xiàn)代金融學研究的一個重要課題就是對風險的刻畫。精算學是以保險行業(yè)的風險為主要研究對象，以概率論、數(shù)理統(tǒng)計以及隨機過程為主要研究工具，通過建立數(shù)理模型來估計、分析未來不確定事件產(chǎn)生的影響，為保險人在現(xiàn)實中進行有效的風險管理和控制提供理論和技術支持。在保險精算數(shù)學的范疇內，破產(chǎn)理論是風險理論的核心內容。破產(chǎn)理論研究的是保險人長期的財務狀況的變化，更確切地，是研究和監(jiān)督保險人的盈余隨著業(yè)務的發(fā)展而產(chǎn)生的變化，當盈余為負時則認為破產(chǎn)。但是經(jīng)典風險模型是一類最簡單的隨機過程模型，出發(fā)點是為了使研究更加方便，而在實際的應用中，這種風險模型往往具有一定的局限性。為此將原來一種索賠情況推廣到多種索賠情況使得模型更加貼近于現(xiàn)實情況，對保險公司的決策將會更加有利。文獻[1]在經(jīng)典風險模型的基礎上考慮了兩類獨立的索賠問題,其中第一類索賠次數(shù)為一個Poisson過程,另外一類則為更新過程,求出在無限時間的情況下對應的破產(chǎn)概率。

破產(chǎn)理論中的紅利問題最早是由De Finetti[2]在紐約第15屆精算師代表大會上發(fā)表的一篇文章中提出來的，由此便產(chǎn)生了風險理論最前沿也最流行的分支：分紅策略的研究。保險公司為了吸引更多的用戶，將分紅策略考慮進了很多保險業(yè)務中，即投保人可以得到傳統(tǒng)保單規(guī)定的保險責任外，還可以從保險公司經(jīng)營的利潤中獲得較高的投資回報。文獻[3]就是在Gamma-Omega 模型中考慮了帶障礙策略的分紅問題，并獲得當盈余為負值的時候，公司經(jīng)過自己的再發(fā)展而不能起死回生的破產(chǎn)概率；文獻[4]討論的是在一個復合泊松風險模型中考慮閾值策略，計算出直到破產(chǎn)為止的紅利貼現(xiàn)值，以及使得紅利貼現(xiàn)值達到最大時的最優(yōu)閾值；文獻[5]推導出經(jīng)典風險模型中對偶模型下滿足總貼現(xiàn)紅利期望條件的一類積分微分方程，并以此得出在障礙策略下的紅利表達式以及最初盈余和障礙值之間的獨立關系；文獻[6]在障礙策略下考慮一個廣義Erlang(n)對偶模型，獲得滿足邊界條件時股利貼現(xiàn)的期望以及矩母函數(shù)所滿足的積分微分方程;文獻[7]是在文獻[5]的基礎上將對偶模型從障礙策略情況推廣到閾值策略，得出了相似的結論并且得出障礙策略就是閾值策略的極限情況。

本文基于以上情況，在文獻[7]的基礎上，將原來在閾值策略下對一元對偶模型的研究推廣到獨立二元對偶風險模型，從而更加貼近于風險多樣化和復雜化的現(xiàn)實情況，為科研工作者發(fā)明創(chuàng)造所遇到的風險提供了更好的風險刻畫和監(jiān)督。

1 模型介紹

考慮兩類收入獨立的對偶風險模型，它們的盈余過程可以表示為

(1)

該式中u=U(0)為初始資金；c為花費率；S(t)表示t時刻的總利潤。{N1(t);t≥0}，{N2(t);t≥0}分別表示收入X與收入Y在[0,t]內收到的收入個數(shù)且分別服從參數(shù)為λ1與λ2的泊松過程，{Xi;i≥1}和{Yj;j≥1}分別表示收入X與收入Y在第i次與第j次的利潤額。{N1(t);t≥0}，{N2(t);t≥0}，{Xi;i≥1}以及{Yj;j≥1}是兩兩獨立的隨機變量序列。設它們的分布函數(shù)分別是F(x)與G(y)，密度函數(shù)分別為f(x)和g(y),均值分別為μx和μy。

對盈余過程考慮一個閾值為b的閾值策略，當U(t)b的時候，費用率為c2，且c2>c1，紅利以c2-c1的比率來支付。則

(2)

設T=inf{t:U(t)=0}表示破產(chǎn)時刻，利息率為δ(δ>0)，所以到破產(chǎn)時刻為止總紅利的貼現(xiàn)值為

所以直到破產(chǎn)為止總的紅利貼現(xiàn)值的期望為

同時令

2 積分—微分方程

2.1 分紅函數(shù)在0

定理1 當0

(3)

證明：考慮在區(qū)間(0，dt]內收入產(chǎn)生的情況，可以分為如下的幾種情形:

(1) 在(0，dt]內第1類收入X′沒有產(chǎn)生收入，第2類收入Y′也沒有產(chǎn)生收入，即不產(chǎn)生任何的收入，則其概率為(1-λ1dt)(1-λ2dt)；

(2) 在(0，dt]內第1類收入X′產(chǎn)生收入，第2類收入Y′沒有產(chǎn)生收入,則其概率為λ1dt(1-λ2dt)；

(3) 在(0，dt]內第1類收入X′沒有產(chǎn)生收入，第2類收入Y′產(chǎn)生收入，則其概率為λ2dt(1-λ1dt)；

(4) 在(0，dt]內兩類都產(chǎn)生了收入，則其概率為λ2dtλ1dt=0(dt)。

則當0

(4)

運用二階泰勒展開式知E[V1(u-c1dt;b)]=

(5)

而

(6)

對于 E{V1[(u-c1dt)+z1;b]I[z1∈

(7)

同時 E{V2[(u-c1dt)+z1;b)I(z1∈

(8)

同理可知

(9) 把(5)、(6)、(7)、(8)、(9)代入(4)并經(jīng)過化簡，再將等式兩邊同時除以dt；并令dt→0，則可以得到(3)，即我們所要得到的結果。

2.2 分紅函數(shù)在b

定理2 當b

λ1∫0+∞V2(u+x;b)dF(x)+

λ2∫0+∞V1(u+x;b)dG(x)+c2-c1=0

(10)

證明與定理1的相同，這里省略。

3 運用Laplace變換求V(u;b)

3.1 廣義Lundberg方程

由于上面的積分—微分方程的解與廣義Lundberg方程的根有關，接下來討論廣義Lundberg方程。記

分別是P(X)與Q(X)的矩母函數(shù)。

定理3 上述(4)式所對應的對偶風險模型的廣義Lundberg方程為

λ1[MX′(θ)-1]+λ2[MY′(θ)-1]-cθ=δ

(11)

證明：由文獻[10]中的定理5知道，存在一個δ滿足下面的鞅條件

故

當上式等于eθu，即要求

所以它的廣義Lundberg方程為

λ1[MX′(θ)-1]+λ2[MY′(θ)-1]-cθ=δ。

注:該模型的廣義Lundberg方程有一個唯一的非正根。因為令

所以m(θ)在(-∞,0)是凸的，所以m(θ)具有一個唯一的非正根。

3.2 運用V1(u;b)求V(u;b)

定理4 一個獨立二元的復合泊松對偶模型，在沒有紅利的前提下，它對應的花費率是常數(shù)c，那么破產(chǎn)時間T的Laplace變換可以表示為

這里的Rδ是廣義Lundberg方程λ1[MX′(θ)-1]+λ2[MY′(θ)-1]-cθ=δ的唯一的非正根。

證明：定義一個過程{Zθ(t):t≥0}，其中

定理5 當u>b時，有

(12)

這個證明與文獻[7]定理2的證明類似，故省略。

定理6 令z=b-u并且令w(z;b)=V(b-z;b)，則

(13)

證明：將(12)式代入(3)式得

所以，

令z=b-u,定義W(z;b)=V(b-z;b)(0≤z≤b),將其代入上面的等式,則

式中，初始條件和邊界條件分別是

記w(z)=W(z;b),對上面的方程兩邊同時運用Laplace變換，則可以得到

即

同理可以得出

所以當c2→+∞的時候

當λ1=0即S2(t)不存在的時候，就與文獻[7]中的推論4.1一樣，同時當c2→+∞這里的w與在障礙策略下的值相同，也就是說當c2→+∞的時候，閾值策略就是障礙策略。

4 結論

本文在閾值策略條件下研究了獨立二元對偶模型，比一元的情況更加符合實際，很有實際應用價值。本文得出的在二元情況下障礙策略依然是閾值策略的極限形式的結論，從紅利方面為投資者投資提供一些指導建議。

[1] Lv T L, Yi J, Zhang G X. Ruin probabilities for a risk model with two classes of claims[J].Acta Mathematica Sinica, English Series, 2010,26(9):1 749-1 760.

[2] De Finetti B. Su un′impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio[C].Transactions of the XVth International Congress of Actuaries, 1957,2(1):433-443.

[3] Albrecher H, Gerber H U, Shiu E S W. The optimal dividend barrier in the Gamma-Omega model[J].European Actuarial Journa, 2011,1(1): 43-55.

[4] Cheung E C K, Dickson D C M, Drekic S. Moments of Discounted Dividends for a Threshold Strategy in the Compound Poisson Risk Model[J].North American Actuarial Journal, 2008,12(3):299-318.

[5] Avanzi B, Gerber H U, Shiu E S W. Optimal dividends in the dual model[J].Insurance:Mathematics and Economics, 2007,41(1):111-123.

[6] Wen Y Z, Yin C C. On a Dual Model with Barrier Strategy[J].Journal of Applied Mathematics, 2012(1):45-58.

[7] Andrew C Y N. On a dual model with a dividend threshold[J].Insurance: Mathematics and Economics, 2009,44(2):315-324.

(責任編輯:張英健)

A Binary Dual Risk Model Under the Threshold Strategy

ZHOU Jinle,WANG Chuanyu

(Coll.of Math.and Pht., Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui 241000, China)

In this paper, we study the binary dual independent risk model under a threshold dividend strategy and derive a set of two integro-differential equations satisfied by the expected total discounted dividends until ruin and find the basic equations of the generalized Lundberg in this case. In the end we use the Laplace transform and obtain calculus.

a dual risk model; threshold strategy; integro-differential equations; Laplace transform

2014-06-17

周金樂(1989-)，男,安徽蕪湖人，碩士生，主要研究方向為金融工程與金融衍生物。

O211.9

A

1671-5322(2014)04-0013-05