浙江省嘉善第二高級(jí)中學(xué) (郵編：314100)

在數(shù)學(xué)里，在某種意義下成對(duì)出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如對(duì)偶點(diǎn)、對(duì)偶數(shù)、對(duì)偶式、對(duì)偶圖、對(duì)偶空間、對(duì)偶運(yùn)算、對(duì)偶命題，稱之為對(duì)偶關(guān)系.若對(duì)于一個(gè)孤立的研究對(duì)象，有意識(shí)地構(gòu)造與之相應(yīng)的對(duì)偶關(guān)系，往往可獲得新穎別致的解法.我們把這種解決問(wèn)題的技巧稱為配以對(duì)偶的技巧.運(yùn)用該技巧的通常做法是：①將已知式令為，A并配其對(duì)偶式B; ②對(duì)A與B進(jìn)行適當(dāng)?shù)剡\(yùn)算；③轉(zhuǎn)化或消去B,從而解決原問(wèn)題.對(duì)偶式的形式往往不拘一格.主要有①互余型對(duì)偶式；②和差型對(duì)偶式；③對(duì)稱型對(duì)偶式.

1 互余型對(duì)偶式

又b≠0, 故

例2 求sin280°+cos250°-sin40°cos10°

解由誘導(dǎo)公式可得

sin280°+cos250°-sin40°cos10°=cos210°+cos250°-sin40°sin80°,

構(gòu)造對(duì)偶式：

x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°

①

y=sin210°+sin250°-cos40°cos80°

②

由①+②得：x+y=2-cos40°

③

④

故

另解：構(gòu)造對(duì)偶式x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°

⑤

y=sin210°+sin250°+cos40°cos80°

⑥

⑦

由⑤-⑥得：x-y=cos20°+cos100°-cos40°=0

⑧

2 和差型對(duì)偶式

例3 已知a、b、c、d∈R,a2+b2+c2+d2≤1,求證(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4≤6.

證明記M=(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4，

構(gòu)造對(duì)偶式N=(a-b)4+(a-c)4+(a-d)4+(b-c)4+(b-d)4+(c-d)4.

于是M+N=6(a4+b4+c4+d4+2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+2c2d2)=6(a2+b2+c2+d2)2≤6.

又因?yàn)锽≥0, 所以A≤6.

3 對(duì)稱型對(duì)偶式

即將A=f(x,y)配以B=f(y,x) ，再通過(guò)運(yùn)算及變形加以解決.

例4 若α、β、γ為銳角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1.

則M-N=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，

由基本不等式可得：

練習(xí)題

(6)已知a1、a2、…、an均為正數(shù)，且a1+a2+…+an=1，