張世兵，馬偉，李濟順，薛玉君

(河南科技大學 河南省機械設計及傳動系統(tǒng)重點實驗室，河南 洛陽 471003)

高速數控機床主軸用角接觸球軸承的精度等級一般在P4以上，油潤滑[1]工況下，dm·n值一般為1.0×106～2.5×106mm·r∕min。角接觸球軸承在高速運轉時將產生很大的離心力和陀螺力矩，離心力使鋼球與溝道的接觸應力和接觸角發(fā)生改變；陀螺力矩使鋼球繞自身軸線旋轉，而當其大于溝道接觸部位的摩擦力矩時，鋼球發(fā)生滑動[2]。

在高速、急開、急停等特殊工況下，離心力、陀螺力矩、摩擦、熱變形等因素嚴重影響軸承的運動穩(wěn)定性，使其內部運動形式變得異常復雜。文獻[3]基于外圈溝道控制理論，指出當接觸面的摩擦因數足夠大時可避免陀螺力矩引起的滑動，但把外圈的摩擦因數設為定值。文獻[4]提出克服陀螺樞軸滑動的摩擦力矩與鋼球到內、外圈距離的比例有關，但忽略了外界因素對摩擦力矩的影響。文獻[5]通過測量磁通量的變化研究了鋼球的運動狀態(tài)，但是試驗比較復雜。文獻[6]建立了高速主軸-軸承有限元模型，但忽略了轉子及軸承離心力的影響。文獻[7]基于Timoshenko梁建立了高速主軸系統(tǒng)的有限元模型，研究了軸承預緊和工作溫升對主軸動態(tài)特性的影響，但忽略了軸承轉速的影響。在此，綜合考慮轉速、受力、潤滑、摩擦、接觸情況等多種因素，建立高速軸承力學模型，以預測陀螺力矩、接觸載荷及摩擦因數的變化規(guī)律，為研究軸承的運動特性提供依據。

1 力學模型的研究

假定軸承內部變形均為彈性接觸變形，符合Hertz彈性接觸理論的變形規(guī)律，內、外圈在外載荷下只發(fā)生剛性位移。

1.1 軸承力學模型

軸承受力如圖1所示。Fx，Fy，Fz分別為軸承受到的x，y，z方向上的力；Mx，My分別為軸承受到x，y方向的力矩；Ψj為球的位置角；j為球的位置編號，以y軸正方向起，按逆時針方向編號。

圖1 軸承力學模型圖

1.2 滾動軸承的受力分析

按照Hertz彈性接觸理論，兩物體在接觸區(qū)的彈性趨近量與載荷滿足[8]

Q=kδ1.5，

(1)

式中：k為Hertz接觸常數，由材料的參數和接觸物體的幾何尺寸決定；δ為彈性變形量。

通過回歸法得出點接觸下的中心油膜厚度經驗公式，同樣適用于球軸承套圈與球之間油膜厚度的計算[9-10]，即

h=2.69RxV′69/100G′53/100W′-67/1 000×

(1-0.061e-73c/100)，

(2)

式中：Rx為接觸物體在x平面的等效曲率半徑；V′為歸一化速度參數；G′為材料系數；W′為歸一化載荷系數；c為Hertz接觸橢圓長軸與短軸的比值。

角接觸球軸承在高速旋轉時，內圈在高速下產生較大離心力，因此產生的徑向膨脹變形為[11]

(3)

式中：Ri，Re分別為軸承內、外圈半徑；ρ為材料密度；ν為泊松比；E為彈性模量；ω為內圈旋轉角速度。

接觸變形發(fā)生在球與內、外圈溝道的接觸處，當軸承受載并達到平衡后，內圈和球分別運動到新的位置，局部坐標系中軸承的受力如圖2所示。圖中l(wèi)為內、外圈溝曲率中心之間的距離；A1j，A2j分別為內、外圈溝曲率中心的軸向、徑向距離；αij，αej分別為內、外圈接觸角；Lij，Lej分別為球中心與內、外圈溝曲率中心的距離。

圖2 球中心與溝曲率中心的位置

(4)

A2j=lcosα+δrcosΨj+εir+μir-εer,

(5)

式中：α為載荷作用前的初始接觸角；δa，δr和θ分別為內外圈相對軸向位移、徑向位移和角位移；dm為軸承平均直徑；fi為內圈溝曲率半徑系數；Dw為球徑；εir和εer分別為內、外圈的徑向熱膨脹變形，可由有限元熱分析得出[12]。

(6)

Lij=(fi-0.5)Dw+δij-hij，

Lej=(fe-0.5)Dw+δej-hej，

式中：hij，hej分別為內、外圈與鋼球之間的油膜接觸厚度；δij,δej分別為位置角Ψj時內、外圈的彈性變形。

高速角接觸球軸承的球和內、外溝道的接觸并非純滾動接觸，而是同時存在旋轉和滑移?？紤]到離心力和陀螺力矩作用，鋼球的受力如圖3所示。對于外圈溝道控制，可設系數λij=0且λej=2，否則設λij=λej=1[8]，這樣可減小對精度計算的影響。

圖3 位置角Ψj處鋼球受力

考慮各力水平和豎直方向的平衡得

λijcosαij)，

(8)

式中：Fcj為離心力;Mgj為球受到的陀螺力矩;Qij,Qej分別為內、外圈接觸力。

考慮整個軸承平衡條件，可得

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(9)

r=0.5dm+(fi-0.5)Dwcosα0。

利用Newton-Raphson法對(1)～(9)式聯立求解，可得到軸承載荷分布、接觸角和陀螺力矩等參數。

1.3 彈流潤滑牽引系數

對于運轉的軸承，在載荷的作用下，球與內、外溝道之間存在點接觸彈流潤滑。由于接觸區(qū)域較小，導致油膜壓力很高。油在高壓下向玻璃體轉變，呈現出很強的非牛頓特性，即黏度與剪切率呈非線性變化，一般用黏-彈-塑性模型描述[13]。這種黏度的非線性變化導致了油膜的牽引系數也呈非線性。通過試驗和理論分析，得到描述油膜牽引系數的經驗公式為[12]

G[1-exp(-Cε)],

(10)

式中：ε為滑滾比；σmax為最大Hertz接觸應力；A，B，C，G為經驗系數。由此得到不同壓力下，牽引系數隨滑滾比的變化如圖4所示。由圖可知，初始時牽引系數隨滑滾比的增加而變大，當達到一定數值后逐漸降低，且接觸應力越大，牽引系數峰值越高。所以，對于球軸承，球在一定的接觸應力狀態(tài)下，其接觸區(qū)所能提供的牽引力和抵抗沿陀螺樞軸滑動的阻力矩都是存在極限的。當陀螺力矩大于該阻力矩極限值時，就不可避免地發(fā)生滑動。

圖4 牽引系數曲線

2 計算結果與分析

以7005角接觸球軸承為例，其幾何參數見表1。假設軸承不受徑向載荷的作用，且軸向力Fa為1 kN時，通過對軸承力學模型的編程計算，得到球與外圈的最大Hertz接觸應力為

σmax=0.007 33(n2dm)0.22(dmZη)-0.175，

(11)

式中：n為軸承轉速；η為潤滑油動力黏度，η=0.023 5 Pa·s。

計算結果與Boness[14]的經驗公式(11)式的對比結果如圖5所示。由圖可知，隨著轉速的提高，陀螺力矩作用愈加明顯，同時由于離心力作用使高速時外圈接觸應力逐漸變大，最后趨于平穩(wěn)。文中計算結果比經驗公式的稍大，這是由于后者忽略了高速時內、外圈接觸角的變化以及長時間運轉引起軸承溫升的影響，計算值與經典模型值的趨勢相似、誤差值較小，從而間接說明所建立分析模型的正確性。

表1 7005軸承計算參數

圖5 外圈最大接觸應力計算結果對比

軸承僅承受軸向力時球受力均勻，當軸承受徑向力作用且軸向力不變(Fa=1 kN)時，軸承的受載區(qū)發(fā)生變化。球周向陀螺力矩和球與內、外圈接觸載荷的變化分別如圖6和圖7所示。

圖6 球陀螺力矩

圖7 內、外圈接觸載荷

由圖可知，隨著位置角和徑向載荷的變化，陀螺力矩發(fā)生規(guī)律性變化。位置角為180°的球承受的接觸載荷最大，陀螺力矩最小。在摩擦力一定的情況下，為了減少發(fā)熱和磨損，就要防止球與內、外溝道產生相對滑動。

摩擦因數一般取決于兩接觸物體的材料和表面粗糙度。不同的工況下，滾動軸承的工作溫度、潤滑條件及受力狀況差異很大。高速轉動的軸承在離心力的作用下球有向外運動的趨勢，使其與內圈的接觸角大于與外圈的接觸角；同時在徑向力的作用下，接觸載荷發(fā)生變化，油膜的厚度也隨之改變，從而影響摩擦因數。在不同位置角下摩擦因數的變化如圖8所示。由圖可知，摩擦因數不是一個定值，而是在0.04～0.12之間變化，隨著軸承載荷的增加，摩擦因數也逐漸變大。

圖8 內、外圈摩擦因數

軸承在高速旋轉時產生很大的離心力，會使其產生離心力膨脹。為了研究離心力膨脹對軸承特性的影響，研究考慮和不考慮內圈離心膨脹效應時軸承的內、外圈接觸角和接觸載荷隨轉速的變化規(guī)律，分別如圖9和圖10所示。

圖9 接觸角隨轉速的變化

由圖9可知，在離心力的作用下球有向外運動的趨勢，使其與外圈的接觸角變小，與內圈的接觸角變大。轉速越高，離心力越大，接觸角變化越明顯?？紤]內圈離心膨脹作用時，外圈接觸角隨轉速升高的減小量增大；內圈接觸角隨轉速升高的增大量減小。

由圖10可知，隨著軸承轉速的提高，外圈接觸載荷變大，內圈的接觸載荷變小。考慮軸承離心膨脹作用時，外圈接觸載荷變化量比不考慮時的要大，而內圈則呈相反變化趨勢。

圖10 接觸載荷隨轉速的變化

3 結論

(1)建立了考慮轉速、受力、潤滑、摩擦及接觸情況等影響因素的高速軸承力學模型，得到軸承接觸角和接觸載荷等參數。通過將建立的高速軸承力學模型與經驗公式計算結果進行對比，間接證明了模型的正確性。

(2)隨著位置角和徑向載荷的變化，陀螺力矩發(fā)生規(guī)律性變化，在180°位置角時鋼球承受的接觸載荷最大，陀螺力矩最小。

(3)分析了不同位置角下鋼球與內、外圈的摩擦因數，其值在0.04～0.12之間變化，隨著軸承載荷的增加，摩擦因數也逐漸變大。

(4)考慮離心膨脹作用時，外圈接觸角及接觸載荷隨轉速的變化量比不考慮時的大；對于內圈，則結果相反。