張曉明,姜金平,董超雨

KdV-Burgers-Kuramoto系統(tǒng)的漸近吸引子

張曉明,姜金平,董超雨

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安716000)

研究了KdV-Burgers-Kuramoto方程的漸近吸引子,即利用正交分解法構(gòu)造一個(gè)有限維解序列.首先用數(shù)學(xué)歸納法證明了該解序列不會(huì)遠(yuǎn)離方程的整體吸引子,接著證明解序列在長(zhǎng)時(shí)間后無(wú)限趨于方程的整體吸引子,最后給出漸近吸引子的維數(shù)估計(jì).

KdV-Burgers-Kuramoto方程;解序列;漸近吸引子;維數(shù)估計(jì)

1 引言

KdV方程是物理學(xué)中非常重要的一類非線性波動(dòng)方程,已有許多研究[1-3],但對(duì)KdV的發(fā)展方程,如Benney方程解的研究相對(duì)較少,D.J.Benney研究了具有耗散和不穩(wěn)定因素作用下的KdV方程,文獻(xiàn)[2-4]提出了包含耗散和不穩(wěn)定效應(yīng)的一個(gè)重要的一維波產(chǎn)生模型Benney方程:

上式稱為KdV-Burgers-Kuramoto方程.當(dāng)β=1時(shí)稱為Kuramoto-Sivashinsky-KdV方程[4],這個(gè)方程在等離子體物理、流體動(dòng)力學(xué)和其他領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.

人們?cè)谘芯繜o(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)學(xué)性質(zhì)的過(guò)程中,相繼建立了整體吸引子和慣性流形[5-6],將一個(gè)無(wú)窮維系統(tǒng)約化為一個(gè)有限維系統(tǒng),但是要進(jìn)一步研究約化后的有限維系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為就顯得很困難,因其結(jié)構(gòu)是未知的,所以產(chǎn)生了近似慣性流形、指數(shù)吸引子和近似吸引子等概念[6-8],鑒于近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)之間缺少較嚴(yán)格的等價(jià)性,文獻(xiàn)[9]中提出了有限維漸近吸引子的概念.

定義1.1[9]對(duì)一個(gè)發(fā)展系統(tǒng),其方程為:

記其相空間為H,解算子半群為{S(t),t≥0},吸收集為B.假設(shè)對(duì)任意u0∈B,存在N維子空間的近似解序列{uk(t),k≥1},滿足:

定義

為系統(tǒng)(2)的漸近吸引子,其中∥·∥H為相空間H的模,uk(t)依賴于初值u0,t?(B)只依賴于吸引集半徑,且對(duì)B中的u0是一致的.

因?yàn)閡k(t)為N維系統(tǒng)的解,Ak的結(jié)構(gòu)較易討論,(3)式保證了uk(t)對(duì)真解u(t)的漸近逼近性而不僅是近似性.自漸近吸引子提出以來(lái),一些方程的漸近吸引子已經(jīng)獲得[3,10-12].

本文將討論一維周期邊界條件下的KdV-Burgers-Kuramoto方程:

2 預(yù)備知識(shí)與解序列的構(gòu)造

方程(4)-方程(7)的解的存在唯一性證明可參考文獻(xiàn)[13],由此得到相空間([0,2π])和([0,2π])上的解算子半群{S(t),t≥0}.引入類似文獻(xiàn)[14]有關(guān)吸收集的結(jié)論.

引理2.1對(duì)任意初值u0∈([0,2π]),若滿足≤L(<∞),則存在時(shí)間

使得

為HN,記([0,2π])到HN的N維正交投影為PN,而QN=I?PN.對(duì)

記p=PNu,q=QNu,則u=p+q,用正交投影可將方程分成兩部分:

對(duì)任意初值u0(x)∈B,按如下方式構(gòu)造漸近解序列:

3 逼近性證明

下面考慮漸近解序列uk(x,t)對(duì)精確解u(x,t)的逼近性.首先證明,對(duì)任意u0∈B,上述序列(11)-序列(12)所得的漸近解序列不會(huì)遠(yuǎn)離吸收集.

定理3.1設(shè)u(x,t)是對(duì)應(yīng)于初值u0∈B的方程(4)-方程(7)的解,qk(k=0,1,2,···)按序列(11)-序列(12)給出,則存在N0∈N和(B),使得當(dāng)N≥N0時(shí),有

證明由吸收集的正不變性,u0∈B可得u(t)∈B,t≥0,則

為了證明(13)式,只需證明

即可.用歸納法證明,由q0與(11)式作內(nèi)積得,

設(shè)E(N)=γN4?αN2,則有

即

所以,當(dāng)N充分大,即滿足

時(shí),有

故由Gronwall不等式,存在

使得

即

當(dāng)N充分大,滿足

時(shí),有

則由(17)式,(19)式可以說(shuō)明當(dāng)k=0時(shí),(15)式成立.現(xiàn)在假設(shè)(16)式對(duì)k?1成立,即

則由(12)式可得,

即

由Gronwall不等式知,存在

使得

即

所以,當(dāng)N充分大時(shí),滿足

時(shí),有

則

由Gronwall不等式知,存在時(shí)間

使得

即

當(dāng)N充分大,滿足

時(shí),有

由(21)式,(23)式可知(15)式對(duì)k也成立,由歸納法原理可知,N0取滿足(16)式,(18)式, (20)式,(22)式的最小自然數(shù),=max{,,,},(15)式對(duì)一切k∈N成立.

下面證明qk收斂于q.

定理3.2設(shè)u(x,t)是對(duì)應(yīng)初值u0的方程(4)-方程(7)的解,qk(k=0,1,2,···).由(11)式-(12)式給出,則存在N1∈N和t?2(B)>0,使得當(dāng)N≥N1時(shí),有

其中N1為滿足

的最小自然數(shù).

證明記wk=qk?q,由(10)式和(12)式得:

因?yàn)?/p>

所以由(25)式得:

由(10)式和(11)式得:

從而

即

若要使∥wkx∥→0,k→∞,則需要取N1為滿足

的最小自然數(shù).

定理3.3設(shè)uk(x,t)為方程(11)-(12)的解,則

為方程(4)-方程(7)的漸近吸引子,且其維數(shù)即漸近解序列的維數(shù)為滿足條件(20)式,(22)式, (32)式的最小自然數(shù),即

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Asymptotic attractor of KdV-Burgers-Kuramoto equation

Zhang Xiaoming,Jiang Jinping,Dong Chaoyu
(College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an716000,China)

In this paper,we study the asymptotic attractor of KdV-Burgers-Kuramoto equations.A solution sequence is constructed by using orthogonal decomposition.It is shown that the solution sequence doesn′t go away from the global attractor in terms of mathematical induction.Then it is obtained that the solution sequence approaches to the global attractor of the equation in long time and the dimensional estimate of the asymptotic attractor is obtained.

KdV-Burgers-Kuramoto equation,solution sequence,asymptotic attractor,dimensional estimate

O175.29

A

1008-5513(2014)06-0595-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.008

2014-04-08.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11171269);陜西省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2014K150307);延安市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2013KS03);延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目.

張曉明(1987-),碩士生,研究方向：無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng).

2010 MSC:35B41