魯偉陽,高麗,郝虹斐

關(guān)于Diophantine方程(44n)x+(117n)y=(125n)z的整數(shù)解

魯偉陽,高麗,郝虹斐

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安716000)

在Je′smanow′?cz猜想的基礎(chǔ)上,利用初等方法證明了對任意的正整數(shù)n, Diophantine方程(44n)x+(117n)y=(125n)z僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

Je′smanow′?cz猜想;Diophantine方程;初等方法;幸福數(shù)

1 引言

指數(shù)型Diophantine方程是Diophantine方程中較難的一個類型,給定正整數(shù)a,b,c, Diophantine方程ax+by=cz,x,y,z∈N的求解是一個基本而又重要的課題,很多學(xué)者都從事過這方面的研究.目前的工作有:當(dāng)a,b,c為一商高數(shù)組時,Je′smanow′?cz[1]猜測方程ax+by=cz僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2),但這個問題至今也沒有完全解決.對于較簡單的商高數(shù)組a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1,S′?erp′?nski[2]和Je′smanow′?cz[1]分別證明了n=1和n=2,3,4,5時猜測是正確的.后來,柯召、孫琦[3-5]和饒德銘[6]利用簡單同余法和分解因子法將此結(jié)果進(jìn)行了較大的改進(jìn),胡永忠和袁平之[7]給出了更加精確的證明.

設(shè)a,b,c是商高數(shù)組,即a,b,c是滿足a2+b2=c2的兩兩互素的正整數(shù),則Diophantine方程

顯然有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).1956年,S′?erp′?nski[2]證明了n=1,(a,b,c)=(3,4,5)時,方程(1)僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2);Je′smanow′?cz[1]證明了

時,方程(1)僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2),并且猜測對任意的正整數(shù)n,方程(1)僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2),這就是著名的Je′smanow′?cz猜想,又稱商高數(shù)猜想.近年來,許多學(xué)者都在研究這一問題并取得不少研究成果[8-19].

幸福數(shù)(happy number)這一概念是由Reg Allenby的女兒提出來的.如果重復(fù)對一個數(shù)的十進(jìn)位數(shù)字求平方和這一程序,則易見要么得到圈4→16→37→58→89→145→42→20→4,要么得到1.后一情形,是從一個幸福數(shù)開始的[20].

本文選擇方程(1)中的a為幸福數(shù)44,利用初等方法證明當(dāng)a=44,b=117,c=125時, Je′sma-now′?cz猜想成立.即

定理1.1對任意的正整數(shù)n,Diophantine方程

僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

2 相關(guān)引理

引理2.1[8]若z≥max{x,y},且正整數(shù)a,b,c(不一定互素)滿足a2+b2=c2,則Diophantine方程ax+by=cz僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

引理2.2[21]令a=r2?s2,b=2rs,c=r2+s2,其中(r,s)=1,r>s且2|rs.若2∥rs,且c=pn(p為奇素數(shù)),則Diophantine方程ax+by=cz僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

3 定理的證明

由引理2.1知,只需證明n≥2且z

情形1x=y.

由方程(2)可得,

令n=53rn1,其中r≥0且(5,n1)=1,則

若n1=1且r≥0,(5,n1)=1,nx?z1|53z?3r(x?z),則

由引理2.2可知,x=z?r(x?z)=2,則x=y=z=2,矛盾.

若n1>1且(5,n1)=1,則x=z,矛盾.

情形2x

情形2.1若z

令n=53rn1,其中r≥0,且(5,n1)=1,則

顯然n1=1且r>0,則有44x+117y53r(y?x)=53z?3r(x?z).因為z

情形2.2若x≤z

令n=2r11pn1,其中r,p≥0且(22,n1)=1,則

顯然nz?x1=1,則

情形2.2.1若r=p=0,則n1>1,因此x=z,(4)式可轉(zhuǎn)化為:

上式兩邊同取模13,則(?5)x≡5x(mod 13),即(?1)x≡1(mod 13),顯然有x≡0(mod 2).

令x=2x1,則

又因為(125x1+44x1,125x1?44x1)=1,所以有13y|125x1+44x1或13y|125x1?44x1.然而

矛盾.

情形2.2.2若r=0,p>0,則x=p(z?x)>0,n1=1.由(4)式可得,

對上式兩邊同時取模3,則(?1)z≡1(mod 3),因此z≡0(mod 2).令z=2z1,則

又因為(125z1+2x,125z1?2x)=1,所以有13y|125z1+2x或13y|125z1?2x.然而

矛盾.

情形2.2.3若r>0,p=0,則2x=r(z?x)>0,n1=1.由(4)式可得,

上式兩邊同取模3、模4,則(?1)z≡(?1)x(mod 3),(?1)x≡1(mod 4).顯然x≡0(mod 2), z≡0(mod 2).

令x=2x1,z=2z1,則

又因為(125z1+11x1,125z1?11x1)=2,所以有13y|125z1+11x1或13y|125z1?11x1.然而

矛盾.

情形2.2.4若r>0,p>0,則2x=r(z?x)>0,x=p(z?x)>0,n1=1.由(4)式可得,

則有(?1)z≡1(mod 3),因此z≡0(mod 2).令z=2z1,則

又(125z1+1,125z1?1)=2,所以有13y|125z1+1或13y|125z1?1.然而

矛盾.

情形3x>y.

情形3.1若x>y≥z,則由方程(2)可得,ny?z(44xnx?y+117y)=125z.

令n=5rn1,其中r≥0,且(5,n1)=1,則

情形3.1.1若r=0,則n1>1,因此y=z.由(5)式可得,

對上式兩邊同時取模5,則2y≡0(mod 5),此同余式顯然無解,故此情形下方程(5)無解.

情形3.1.2若r>0,則5|53z?r(y?z)?117y,因此3z=r(y?z)>0,且n1=1.由(5)式可得,

顯然這是不可能的.

情形3.2若x>z>y,則由方程(2)可得,117y=nz?y(125z?44xnx?z).

令n=3r13pn1,其中r,p≥0且(39,n1)=1,則

顯然n1=1,r+p>0.

情形3.2.1若r=0,p>0,則y=p(z?y).由(6)式可得,

上式兩邊同取模8、模11,則有(?3)z≡1(mod 8),4z≡(?2)y(mod 11),因此z≡0(mod 2), y≡0(mod 2).

令z=2z1,則

又因為(125z1+3y,125z1?3y)=2,所以有,

若22x?1|125z1?3y,2|125z1+3y且11x|125z1+3y,則

矛盾.

若22x?1|125z1?3y,2|125z1+3y且11x|125z1?3y,則

矛盾.

若22x?1|125z1+3y,2|125z1?3y且11x|125z1+3y,則

矛盾.

若22x?1|125z1+3y,2|125z1?3y且11x|125z1?3y,則

矛盾.

情形3.2.2若r>0,p=0,則2y=r(z?y).由(6)式可得

上式兩邊同取模3、模11,則(?1)z≡1(mod 3),4z≡2y(mod 11),因此z≡0(mod 2), y≡2z(mod 4).

令y=2y1,z=2z1,則

又因為(125z1+13y1,125z1?13y1)=2且4 ? 125z1+13y1,則有

若22x?1|125z1?13y1且13x|125z1?13y1,則

矛盾.

若22x?1|125z1?13y1且13x|125z1+13y1,則

矛盾.

情形3.2.3若r>0,p>0,則2y=r(z?y),y=p(z?y),所以r=2p.由(6)式可得,

上式兩邊同取模3,得(?1)z≡1(mod 3),則z≡0(mod 2)且7|125z?1,即7|44x117p(x?z),這是不可能的.

綜上,完成了定理的證明.

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On the integral solutions of Diophantine equation (44n)x+(117n)y=(125n)z

Lu Weiyang,Gao Li,Hao Hongfei
(College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an716000,China)

In this paper,basing on Je′smanow′?cz′conjecture,it is proved that for any positive integral n the Diophantine equation(44n)x+(117n)y=(125n)zhas only integral solution(x,y,z)=(2,2,2)by elementary method.

Je′smanow′?cz′conjecture,Diophantine equation,elementary method,happy number

O156

A

1008-5513(2014)06-0627-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.012

2014-07-26.

陜西省教育廳自然科學(xué)基金(2013JQ1019);延安大學(xué)自然科學(xué)專項科研基金(YDZ201304);延安大學(xué)碩士研究生教育創(chuàng)新計劃項目.

魯偉陽(1989-),碩士生,研究方向：數(shù)論.

2010 MSC:11D61