施科益 寧波市特種設(shè)備檢驗(yàn)研究院

大噸位橋式起重機(jī)運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜，起重載荷、外部激勵(lì)等因素所產(chǎn)生的振動對起重機(jī)結(jié)構(gòu)、承軌梁及廠房造成了破壞。采用有限元分析方法可以有效分析橋式起重機(jī)的固有頻率，使起重機(jī)避開其在使用過程中的外部激振頻率[1-2]。該方法在起重機(jī)設(shè)計(jì)時(shí)具有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，但由于其計(jì)算精度不足和起重機(jī)實(shí)際制造水平的影響，有限元分析對于在用、維修和改造的起重機(jī)的模態(tài)分析結(jié)果并不理想。

對于復(fù)雜的起重機(jī)械，其振動信號往往存在非平穩(wěn)特性。一般的平穩(wěn)信號處理方法就不能勝任了。利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)方法進(jìn)行橋式起重機(jī)的模態(tài)分析具有較好的效果。EMD是一種自適應(yīng)的時(shí)頻處理方法，特別適用于非線性、非平穩(wěn)信號的分析處理[3]。以模態(tài)分析理論為基礎(chǔ)，通過對橋式起重機(jī)振動特性研究及其振動響應(yīng)EMD分析，提出基于EMD的橋式起重機(jī)振動模態(tài)分析方法，并進(jìn)行了仿真與實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證其在橋式起重機(jī)模態(tài)分析中的有效性。

1 機(jī)械系統(tǒng)模態(tài)分析理論

對于機(jī)械系統(tǒng)的振動問題，需要采用多自由度系統(tǒng)的振動理論分析。一個(gè)具有n個(gè)自由度的機(jī)械系統(tǒng)，在任一瞬時(shí)的運(yùn)動形態(tài)要用n個(gè)獨(dú)立的廣義坐標(biāo)描述，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程一般是n個(gè)相互耦合的二階常微分方程組成的方程組。對n自由度的無阻尼系統(tǒng)而言，具有n個(gè)固有頻率，當(dāng)系統(tǒng)按其中任意一個(gè)固有頻率作自由振動時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動是一種同步運(yùn)動，稱為主振動。系統(tǒng)作主振動時(shí)所具有的振動形態(tài)稱為主振型，或稱為主模態(tài)[4]。對于多自由度的振動分析，通常采取振型疊加法，即選取主坐標(biāo)，將n自由度系統(tǒng)的振動視為n個(gè)單自由度系統(tǒng)振動的疊加。

根據(jù)牛頓第二定律，建立n自由度機(jī)械系統(tǒng)的固有振動方程：

式中：M——n階質(zhì)量矩陣；

K——n階剛度矩陣。

根據(jù)振型疊加法，主振動可設(shè)為

將式（2）代入式（1），根據(jù)正定系統(tǒng)的振動特點(diǎn)，可解得

式中：φi稱為第i階主振型，也稱作主模態(tài)；ai為常數(shù)；ωi為第i階固有頻率。

式（3）稱為第i階主振動模式。與固有頻率一樣，系統(tǒng)的主振型僅取決于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K等物理參數(shù)。

當(dāng)式（3）中i由1取到n時(shí)，就得到了系統(tǒng)的n個(gè)主振動模式，因此，n自由度系統(tǒng)的固有振動即為n個(gè)主振動模式的疊加，即

式(4)中，ai、為待定常數(shù)，由初始條件確定。

2 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法

EMD方法的基本思想是將原始信號分解成一系列固有模式函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）的組合，然后根據(jù)實(shí)際需要，對各個(gè)IMF利用進(jìn)行后續(xù)的處理分析。

EMD方法建立在以下的假設(shè)基礎(chǔ)之上[3,5]：(1）信號至少有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)極大值和一個(gè)極小值；(2）特征時(shí)間尺度通過兩個(gè)極值點(diǎn)之間的時(shí)間長度定義；(3）若信號數(shù)據(jù)缺乏極值點(diǎn)，但存在變形點(diǎn)，則可通過數(shù)據(jù)微分獲得極值點(diǎn)，然后再通過積分來獲得分解結(jié)果。一個(gè)IMF必須滿足兩個(gè)條件：(1）整個(gè)數(shù)據(jù)長度中極值點(diǎn)和過零點(diǎn)的數(shù)目必須相等或至多相差一個(gè)；(2）在任意數(shù)據(jù)點(diǎn)，局部極大值的包絡(luò)和局部極小值的包絡(luò)的均值須為零，即信號關(guān)于時(shí)間軸局部對稱。

EMD的分解過程，可以描述如下[6]：

(1）確定信號x(t)的局部極大值和極小值，將所有極大值和極小值用三次樣條插值函數(shù)插值形成數(shù)據(jù)的上下包絡(luò)線，上下包絡(luò)線的平均值記為m1(t)，求得：

如果h1(t)是一個(gè)IMF，那么h1(t)就是x(t)的第一個(gè)分量；

(2）一般h1(t)不滿足IMF條件，此時(shí)把h1(t)作為原始數(shù)據(jù)，重復(fù)步驟(1)，反復(fù)篩選k次，得到h1k(t)=h1k-1(t)-m1k(t)，使得h1k(t)滿足IMF條件，記c1(t)=h1k(t)，稱c1(t)為信號x(t)的第一階IMF；

(3) 將c1(t)從x(t)分離出來，得到殘余量r1(t)=x(t)-c1(t)，把r1(t)作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)步驟(1)、(2)，從高頻至低頻可依次得到多階固有模態(tài)分量ci(t)和殘余量rn(t)。

整個(gè)過程遇到如下一個(gè)準(zhǔn)則即終止：(1）分量cn(t)或殘余量rn(t)足夠??；(2）當(dāng)殘余量rn(t)作為一個(gè)單調(diào)函數(shù)不能再提取滿足IMF時(shí)。最終原始信號x(t)可表示如下式：

因此可以把任何一個(gè)信號x(t)分解成為n個(gè)IMF和一個(gè)殘余量之和，固有模態(tài)分量分別包含了信號從高到低不同頻率段的成分，且具有自適應(yīng)性。

3 橋式起重機(jī)的EMD分析

以橋式起重機(jī)為對象，采用EMD方法進(jìn)行振動模態(tài)分析。將橋式起重機(jī)簡化為一勻質(zhì)等截面的簡支梁模型[7]，兩端支撐限制垂直位移，一端同時(shí)限制水平位移，如圖1所示。

圖1 橋式起重機(jī)簡化模型

以y=y(x,t)表示梁的振動位移，以ρ A表示梁單元長度的質(zhì)量，EI為截面抗彎剛度，設(shè)梁上作用有單位長度的分布力F(x,t)，如圖2所示。

圖2 簡支梁振動模型

在梁的任意截面x處取一微段dx，其質(zhì)量為ρAdx。受剪力Q(x,t)、彎矩M(x,t)和分布激擾力F(x,t)dx的作用。根據(jù)牛頓第二定律，在y方向的運(yùn)動方程為：

對于自由振動，設(shè)F(x,t)=0，求解系統(tǒng)各階主振動為：

式中，Yi(x)為各階振型函數(shù)。固有頻率為：

根據(jù)邊界條件Y(0)=Y(l)=0,Y(0)=Y(l)=0,可求得 Yi(x)=Ci·sinβix，其中Ci為常數(shù)，βil=iπ(i=1,2...)。對于任意位置x0，其自由振動響應(yīng)。

由于各階振型的幅值與i2成反比，故會有低階振型起主導(dǎo)作用，則在處的前三階振動響應(yīng)為：

對于式（13)，給定常數(shù)取值，其時(shí)域波形和各階主振動模式分別見圖3和圖4所示。

圖3 簡支梁振動響應(yīng)時(shí)域波形

圖4 主振動組成

對圖3所示的簡支梁振動響應(yīng)進(jìn)行EMD分解，結(jié)果如圖5所示。

圖5 EMD分解結(jié)果

對比分析圖4和圖5，可清晰地看出經(jīng)EMD分解的得到的IMF1對應(yīng)了第三階主振動模式，IMF2對應(yīng)了第一階主振動模式，分解結(jié)果中并沒有第二階主振動模式，這也與理論分析結(jié)果相一致。計(jì)算IMF1與第三階主振動模式和IMF2與第一階主振動模式的誤差及相關(guān)系數(shù)，結(jié)果分別見圖6和表1。

圖6 IMF與振動模式函數(shù)的誤差曲線

表1 IMF與振動模式函數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)

從圖6中可見，固有模式函數(shù)與系統(tǒng)主振動模式函數(shù)之間的誤差很小，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于振動幅值。且從表1中的相關(guān)系數(shù)可見，固有模式函數(shù)與系統(tǒng)主振動模式函數(shù)之間的相關(guān)性接近于1。這說明，簡支梁的自由振動響應(yīng)經(jīng)EMD分解得到的固有模式函數(shù)與系統(tǒng)的主振動模式函數(shù)之間存在著物理對應(yīng)關(guān)系。

4 簡支梁振動實(shí)驗(yàn)

簡支梁振動實(shí)驗(yàn)通過共振法激發(fā)簡支梁的各階振動模式，獲得對應(yīng)的振動信號，驗(yàn)證本文所提出的橋式起重機(jī)EMD模態(tài)分析方法的有效性。

如圖7所示為簡支梁振動實(shí)驗(yàn)裝置的示意圖。激振器激發(fā)簡支梁振動，通過傳感器采集振動信號進(jìn)入PC機(jī)分析[8-9]。該簡支梁參數(shù)為：l=60cm、b=5cm、h=0.8cm、E=2×105MPa。根據(jù)式（10）計(jì)算得到三階振動固有頻率分別為ω1=50.5Hz，ω2=201Hz，ω3=450Hz。

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

調(diào)整激振頻率，使得簡支梁發(fā)生共振，測得一階共振信號和二階共振信號如圖8、圖9所示。將振動信號分別進(jìn)行EMD分解，結(jié)果如圖10、圖11所示。

圖8 一階共振信號

圖9 二階共振信號

圖10 一階共振信號EMD分解

圖11 二階共振信號EMD分解

從圖10、圖11中可以看出IMF1與IMF2明顯是系統(tǒng)振動模式。分別計(jì)算一階、二階的IMF1與IMF2的傅氏譜，結(jié)果如圖12、圖13所示?？梢娨浑A和二階共振頻率包含于IMF1與IMF2的頻率成分中，且與理論計(jì)算值也較為吻合。

圖12 一階固有函數(shù)傅氏譜

圖13 二階固有函數(shù)傅氏譜

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明簡支梁振動信號經(jīng)EMD分解得到的IMF和模態(tài)理論的振動模式之間保持較好的對應(yīng)性，證實(shí)了橋式起重機(jī)EMD模態(tài)分析方法的可實(shí)現(xiàn)性。

5 結(jié)論

橋式起重機(jī)的振動模態(tài)分析是橋式起重機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和制造的重要技術(shù)手段，將橋式起重機(jī)簡化為簡支梁模型，分析該模型的振動響應(yīng)特性，應(yīng)用EMD方法分析橋式起重機(jī)的振動信號，得到的IMF與振動模式之間有著高度的一致性。仿真分析與簡支梁振動實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明基于EMD的橋式起重機(jī)振動模態(tài)分析是有效可靠的。

基于EMD的橋式起重機(jī)模態(tài)分析方法特別適用于在用、維修和改造的橋式起重機(jī)的模態(tài)分析，具有較高的分析準(zhǔn)確性，為起重機(jī)的設(shè)計(jì)和安全運(yùn)行提供參考依據(jù)。

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