武 燕 樹學(xué)峰

(1．中化二建集團(tuán)有限公司，山西太原 030021; 2．太原理工大學(xué)研究生院，山西 太原 030024)

1 概述

強(qiáng)度理論是固體中某點(diǎn)在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下由彈性狀態(tài)轉(zhuǎn)變到塑性狀態(tài)時(shí)各應(yīng)力分量組合應(yīng)滿足的條件，而這一條件在應(yīng)力空間下為一曲面。強(qiáng)度理論描述了材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的屈服和破壞規(guī)律，既是固體力學(xué)領(lǐng)域的核心研究范疇之一，又是工程中結(jié)構(gòu)、材料強(qiáng)度計(jì)算和設(shè)計(jì)必要的基礎(chǔ)理論［1-3］。對材料強(qiáng)度的認(rèn)識是工業(yè)中結(jié)構(gòu)件設(shè)計(jì)的最基本要求，而機(jī)械、航天航空、水利、土木等工程領(lǐng)域中材料或結(jié)構(gòu)的工況多處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，因此強(qiáng)度理論得到廣泛的研究和應(yīng)用。巖土材料是自然界和工程結(jié)構(gòu)中存在和應(yīng)用最廣泛的固體材料，人類對巖土材料的使用可以追溯到新石器時(shí)代。對巖土材料強(qiáng)度的認(rèn)知伴隨著人類自身的發(fā)展歷史，開山修路、建造房屋、挖溝筑堤、開鑿河渠首先涉及的都是對相關(guān)土質(zhì)的強(qiáng)度失效問題。巖土材料強(qiáng)度理論對于學(xué)術(shù)界和工程界是一個(gè)經(jīng)典問題，其具有廣泛的應(yīng)用性、基礎(chǔ)性強(qiáng)［4］。近兩個(gè)世紀(jì)以來，針對巖土材料已經(jīng)提出上百種強(qiáng)度理論(屈服準(zhǔn)則)，這充分說明了這一問題的普遍性和重要性［1］。巖土材料強(qiáng)度理論研究既有完善巖土工程基礎(chǔ)理論的科學(xué)意義，又有解決建筑工程中設(shè)計(jì)、施工、維護(hù)等工程技術(shù)問題的應(yīng)用價(jià)值［5］。但由于巖土材料自身結(jié)構(gòu)及服役工況的復(fù)雜性，不能用一種強(qiáng)度理論來描述所有巖土材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的破壞(失效)特征［6］。針對不同土質(zhì)材料的強(qiáng)度理論研究吸引了材料工程、固體力學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)以及巖土工程等各個(gè)領(lǐng)域研究者及其工程師的廣泛興趣，因此其研究、討論和應(yīng)用仍然在不斷得到發(fā)展和創(chuàng)新［7］。以2007年第6期《巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)》的論文進(jìn)行分析，可以看到關(guān)于強(qiáng)度理論方面的研究、討論和應(yīng)用的論文有10篇之多:其中有關(guān)于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的論文6篇，Drucker-Prager準(zhǔn)則的論文2篇，統(tǒng)一強(qiáng)度理論的論文1篇。

本文在經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)彈塑性理論框架下，結(jié)合巖土工程的應(yīng)用背景，總結(jié)以及論述了巖土材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度理論的發(fā)展。

2 巖土材料強(qiáng)度理論研究現(xiàn)狀

巖土的強(qiáng)度是指其屈服或破壞時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，定義屈服與破壞的方法即為強(qiáng)度理論(屈服準(zhǔn)則)。由于應(yīng)力狀態(tài)的復(fù)雜性，強(qiáng)度理論通常是由6個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量的組合表示:

其中，σij為二階應(yīng)力張量;ki為強(qiáng)度參數(shù)。更多時(shí)候強(qiáng)度理論是用主應(yīng)力或應(yīng)力不變量形式來進(jìn)行表示:

其中，I1為應(yīng)力第一不變量;J2和J3分別為應(yīng)力偏量第二、第三不變量;p為平均應(yīng)力(與I1相關(guān));q為廣義剪應(yīng)力(與J2相關(guān));θ為洛德角(與J3相關(guān))。現(xiàn)有針對巖土材料的強(qiáng)度理論雖然較多，但以其物理實(shí)質(zhì)可以分為三大類(基于強(qiáng)度理論中剪切參數(shù)的個(gè)數(shù)分成三類，而每一類中基于不同的剪切參數(shù)和靜水壓力等因素又分成三類):

1)單剪切參數(shù)強(qiáng)度理論。

a．單剪應(yīng)力強(qiáng)度理論(屈雷斯卡準(zhǔn)則);

b．廣義單剪應(yīng)力強(qiáng)度理論(廣義屈雷斯卡準(zhǔn)則);

從傳統(tǒng)的文學(xué)教學(xué)模式和文學(xué)分析手段來看，這是一份非常詳備的教學(xué)資料，老師教學(xué)和學(xué)生的備考都可從中受益。但是，如果所有的文學(xué)作品都是這樣的“套餐模式”，學(xué)生“吃”的次數(shù)多了，就不免會(huì)有些厭煩。這樣的教學(xué)內(nèi)容太過局限于《藥》的文本，不僅學(xué)生的閱讀范圍局促，而且限制了學(xué)生的思維視界，容易讓學(xué)生形成小說賞析的定式和惰性，造成思維方式上的墨守陳規(guī)，使學(xué)生少有開放性的視野和發(fā)散性的思考，也很少有可能讀出小說的新意來。

c．單剪切角強(qiáng)度理論(摩爾—庫侖準(zhǔn)則)。

2)雙剪切參數(shù)強(qiáng)度理論。

a．雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論(俞茂宏準(zhǔn)則);

b．廣義雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論;

c．雙剪切角強(qiáng)度理論。

3)三剪切參數(shù)強(qiáng)度理論。

a．三剪應(yīng)力強(qiáng)度理論(米塞斯準(zhǔn)則);

c．三剪切角強(qiáng)度理論(松岡元—中井照夫準(zhǔn)則)。

圖1 主應(yīng)力空間下廣義米塞斯準(zhǔn)則和廣義屈雷斯卡準(zhǔn)則

2．1 單剪切參數(shù)強(qiáng)度理論

屈雷斯卡基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果提出了一個(gè)最大剪應(yīng)力屈服條件(屈雷斯卡準(zhǔn)則)即工業(yè)領(lǐng)域中針對金屬材料廣泛應(yīng)用的第三強(qiáng)度理論:材料最大剪應(yīng)力達(dá)到某一數(shù)值時(shí)就發(fā)生屈服。此屈服準(zhǔn)則經(jīng)過大量的金屬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其可靠性，但由于沒有考慮等壓體變屈服的影響不適用于巖土材料，在巖土工程領(lǐng)域采用其修正的廣義形式(廣義屈雷斯卡準(zhǔn)則):

其中，θσ為應(yīng)力洛德角，且有 －30°≤θσ≤30°，當(dāng) θσ=0 時(shí)屈服函數(shù)退化成廣義米塞斯屈服準(zhǔn)則。廣義屈雷斯卡條件在偏平面上(π平面)的屈服軌跡為一內(nèi)接于米塞斯圓屈服軌跡的正六邊形，并且屈服軌跡在任意60°(應(yīng)力洛德角θσ)內(nèi)不同，而在主應(yīng)力空間下屈服面為一內(nèi)接于米塞斯圓錐的正六角錐體(如圖1所示)。

早在1776年，庫侖基于大量的試驗(yàn)結(jié)果提出了著名的庫侖公式(式5)，即巖土任意一個(gè)受力平面上剪切強(qiáng)度與作用于該平面上的正應(yīng)力相關(guān)，關(guān)聯(lián)系數(shù)為土體的粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ。

摩爾(1900)提出一個(gè)描述土體強(qiáng)度的公式τf=f(σ)，它表明土體的破壞面不一定發(fā)生在最大剪應(yīng)力作用面上，而是發(fā)生在正剪應(yīng)力的危險(xiǎn)組合面上。且土體的摩爾強(qiáng)度包絡(luò)線在一定范圍內(nèi)可以近似成直線(內(nèi)摩擦角φ為常數(shù))，這就與庫侖線性公式完全一致。摩爾—庫侖準(zhǔn)則雖為最早提出的巖土強(qiáng)度理論，但仍然是現(xiàn)代巖土工程領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的強(qiáng)度理論之一。一方面它形式簡單只包含兩個(gè)易試驗(yàn)測得的參數(shù)，另一方面它考慮到了巖土屬于顆粒摩擦體這一基本特體。但是它也存在如下兩個(gè)方面的不足:1)未考慮中主應(yīng)力對土體破壞的影響，這與大量的土工試驗(yàn)結(jié)果不符。2)其強(qiáng)度包絡(luò)線在σ—τ平面下為一直線，即內(nèi)摩擦角φ不隨平均主應(yīng)力P(或圍壓σ3)變化，大量的實(shí)驗(yàn)證明了抗剪強(qiáng)度與法向應(yīng)力之間一般是非線性關(guān)系。例如:對于正?；虺探Y(jié)粘土在較大圍壓下由于土顆粒間隙的壓密造成了顆粒重排布，內(nèi)摩擦角會(huì)有很大的變化?？紤]到上述局限，一些學(xué)者基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果提出了不同的修正型摩爾—庫侖準(zhǔn)則。

2．2 雙剪切參數(shù)強(qiáng)度理論

或:

雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則實(shí)際上是將物體之間的干摩擦定理推廣到物體內(nèi)部的強(qiáng)度研究。雙剪應(yīng)力條件在主應(yīng)力空間下是一個(gè)以靜水壓力軸為母線的等邊六角柱面，在偏平面上設(shè)的軌跡其六個(gè)定點(diǎn)分別在三個(gè)主應(yīng)力軸投影的負(fù)半軸上的六邊形，且為米塞斯準(zhǔn)則和屈雷斯卡準(zhǔn)則的外包絡(luò)線。雙剪切準(zhǔn)則既考慮了兩個(gè)大主剪應(yīng)力對屈服和破壞行為的影響，又反映了中主應(yīng)力和應(yīng)力洛德角的影響。但是上述準(zhǔn)則也存在不足:其三個(gè)主剪應(yīng)力和為零的假設(shè)，是基于主剪應(yīng)力與主應(yīng)力的代數(shù)關(guān)系而來，并沒有嚴(yán)格的證明。

雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則的建立是基于材料壓縮和拉伸屈服強(qiáng)度相等的假設(shè)，靜水應(yīng)力對材料屈服沒有影響。材料拉壓強(qiáng)度對稱假設(shè)對于金屬材料屈服行為基本上是適合的，但對于摩擦顆粒材料(巖土材料等)拉伸和壓縮的強(qiáng)度偏差效應(yīng)，雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則明顯是不適用的。因此俞茂宏提出了一個(gè)考慮靜水應(yīng)力和SD效應(yīng)的廣義強(qiáng)度理論，進(jìn)一步把雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則推廣至巖土領(lǐng)域。廣義雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則類似于建立廣義米塞斯準(zhǔn)則的做法，把靜水壓力項(xiàng)(I1)引入了雙剪切準(zhǔn)則，且增加與內(nèi)摩擦角相關(guān)的材料參數(shù)，這里就不再做重復(fù)描述了。

2．3 三剪切參數(shù)強(qiáng)度理論

對于金屬材料在單軸和復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下其體積變形較小，且認(rèn)為塑性體變?chǔ)舙v=0。材料屈服主要受剪切變形(畸變)的主導(dǎo)，其屈服準(zhǔn)則在應(yīng)力空間下為三個(gè)主剪應(yīng)力的函數(shù)。經(jīng)典的米賽斯(Mises)屈服準(zhǔn)則與屈瑞斯卡(Tresca)屈服準(zhǔn)則均是基于上述數(shù)學(xué)表述，且經(jīng)過大量的金屬實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的可靠性，在現(xiàn)代工業(yè)領(lǐng)域仍然是應(yīng)用最廣泛的兩個(gè)金屬強(qiáng)度理論。而巖土材料屬于顆粒摩擦材料，在等壓體變條件下(靜水壓力條件下)亦能產(chǎn)生塑性屈服，這就決定了在巖土材料的屈服準(zhǔn)則中必須要考慮靜水壓力的影響。習(xí)慣上把巖土材料的屈服分成體積屈服(相關(guān)于平均應(yīng)力I1)與剪切屈服(相關(guān)于廣義剪應(yīng)力J2)兩部分。德魯克和普拉格(1958)在米賽斯屈服準(zhǔn)則中引入靜水壓力項(xiàng)(平均應(yīng)力I1)，提出了一個(gè)考慮了體變和畸變對巖土屈服影響的廣義米賽斯屈服準(zhǔn)則即德魯克—普拉格準(zhǔn)則(Drucker-Prager準(zhǔn)則):

上述準(zhǔn)則是在平面應(yīng)變條件下采用關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則與摩爾—庫侖準(zhǔn)則對比推導(dǎo)出的，兩個(gè)材料參數(shù)a，k均為粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ的函數(shù)。

德魯克—普拉格準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間下為一包含原點(diǎn)的圓錐(如圖2所示)，其母線為靜水壓力軸(σ1=σ2=σ3)，在π平面上屈服軌跡為一組同心圓，其半徑由靜水壓力項(xiàng)aI1確定。

圖2 主應(yīng)力空間下德魯克—普拉格準(zhǔn)則

上述準(zhǔn)則在考慮到靜水壓力對屈服行為的影響以外，還充分考慮到了巖土材料的單軸拉壓強(qiáng)度不對稱性(圓錐的頂點(diǎn)不在原點(diǎn)而在第七卦限靜水壓力軸上)，且仍然以粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ作為材料參數(shù)，實(shí)驗(yàn)確定簡單。但屈服準(zhǔn)則中未包含洛德角參數(shù)(相關(guān)于應(yīng)力偏量第三不變量J3)。而大量的巖土材料試驗(yàn)結(jié)果表明其極限面在π平面上屈服軌跡并不是一個(gè)圓形，這就說明德魯克—普拉格準(zhǔn)則不能考慮到應(yīng)力角效應(yīng)，而廣義的屈雷斯卡準(zhǔn)則能夠反映出π平面上應(yīng)力洛德角在－30°≤θσ≤30°范圍內(nèi)的屈服軌跡的變化。

松岡元和中井照夫(1981)等人引入了空間滑動(dòng)面的概念(SMP)，并充分考慮到了主應(yīng)力空間下三個(gè)摩爾應(yīng)力圓對土的強(qiáng)度影響(如圖3所示)，建立其包含三個(gè)剪切角的屈服準(zhǔn)則，其主應(yīng)力表述形式為:

其中，kf為材料常數(shù)，可以通過單軸測試獲得。當(dāng)σ2=σ3時(shí)，空間滑動(dòng)面的傾斜角為，函數(shù)退化成摩爾—庫侖準(zhǔn)則。松岡元—中井照夫準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間下為一正三角形棱柱，其在π平面上的軌跡與萊特—鄧肯準(zhǔn)則相似，其極限軌跡(破壞面)對應(yīng)kf=∞。

圖3 考慮三個(gè)應(yīng)力摩爾圓對強(qiáng)度的影響

2．4 其他強(qiáng)度理論

萊特和鄧肯(1975)采用不相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，提出了一個(gè)適用于無粘性砂土的彈塑性本構(gòu)模型，其中塑性位勢函數(shù)、初始屈服函數(shù)、破壞函數(shù)(極限屈服函數(shù))一致，其應(yīng)力不變量表述形式為:

經(jīng)過大量砂土的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證表明，萊特和鄧肯屈服準(zhǔn)則能較好的預(yù)計(jì)無粘性土的初始屈服面及其破壞面。為了進(jìn)一步考慮圍壓對初始屈服軌跡的影響，萊特修正了原模型。修正型萊特—鄧肯屈服準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間下是一個(gè)以彎曲子午線為邊界的棱錐體表面。對于正常固結(jié)粘土和砂土，修正的萊特—鄧肯屈服準(zhǔn)則應(yīng)用較廣，其實(shí)驗(yàn)參數(shù)少，表達(dá)式簡單，并充分全面考慮了復(fù)雜應(yīng)力路徑下影響土體強(qiáng)度的主要因素。

3 結(jié)語

材料和結(jié)構(gòu)在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度是一個(gè)普遍問題。而在自然界和工程環(huán)境中巖土材料廣泛存在于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，其強(qiáng)度理論是巖土工程設(shè)計(jì)、施工、運(yùn)營、維護(hù)的重要基礎(chǔ)。在20世紀(jì)針對巖土材料已提出了上百個(gè)強(qiáng)度理論模型，包括從單參數(shù)模型到多參數(shù)模型。這些模型可以歸類為三大系列巖土材料強(qiáng)度理論:單、雙、三剪切參數(shù)強(qiáng)度理論系列。在基礎(chǔ)研究和工程設(shè)計(jì)中針對具體巖土材料正確、合理地選擇強(qiáng)度理論是至關(guān)重要的。正如西安交通大學(xué)俞茂宏教授所指出的:強(qiáng)度理論的正確選擇遠(yuǎn)比計(jì)算更重要。巖土工程中地基和構(gòu)筑物的實(shí)際承載力、數(shù)值模擬計(jì)算的變形尺度、塑性區(qū)尺寸、剪切帶方向以及塑性流動(dòng)局部化均受強(qiáng)度理論選擇的影響。在未來巖土工程的研究和應(yīng)用中，需要有更多的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下巖土材料的強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及合理的強(qiáng)度理論選擇。

［1］Yu Mao-Hong．Advances in strength theories for materials under complex stress state in the 20th Century［J］．Applied Mechanics Reviews，ASME，2002，55(3):169-218．

［2］鄭穎人，沈珠江，龔曉南．巖土塑性力學(xué)原理［M］．北京:中國建筑工業(yè)出版社，2002．

［3］俞茂宏．工程強(qiáng)度理論［M］．北京:高等教育出版社，1999．

［4］俞茂宏．強(qiáng)度理論新體系［M］．西安:西安交通大學(xué)出版社，1992．

［5］俞茂宏．雙剪理論及其應(yīng)用［M］．北京:科學(xué)出版社，1998．

［6］沈珠江．理論土力學(xué)［M］．北京:中國水利水電出版社，2000．

［7］張學(xué)言．巖土塑性力學(xué)［M］．北京:人民交通出版社，1993．

［8］高 紅，鄭穎人，馮夏庭．材料屈服與破壞的探索［J］．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2006，25(12):2514-2522．