鄭偉強(qiáng),周小燕,胡萍,彭建奎

(蘭州文理學(xué)院 師范學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

非線性現(xiàn)象廣泛存在于物理、生物、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科領(lǐng)域，研究某些非線性現(xiàn)象時通常將其轉(zhuǎn)化為非線性偏微分方程來進(jìn)行描述，從而通過對偏微分方程的計算或數(shù)值模擬來了解和解釋這些現(xiàn)象.目前已經(jīng)有很多求解偏微分方程的方法，如齊次平衡法[1]、雙曲正切函數(shù)展開法[2]、試探函數(shù)法[3]、Sine-Gonsine法[4]、輔疊加法[5]、輔助常微分方程法[6]和雙函數(shù)法[7]等.由于偏微分方程的復(fù)雜性，目前對于求解偏微分方程的精確解依然沒有統(tǒng)一的方法，因此，尋求新而有效的求解偏微分方程的方法依然是求解非線性方程的重要研究課題之一.本文依照試探函數(shù)法解出了一類反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解的通解，分析了不同參數(shù)情況下解的形式，且對參數(shù)m=1時的結(jié)果進(jìn)行了驗證.

1 反應(yīng)擴(kuò)散方程及行波變換

研究反應(yīng)擴(kuò)散方程

(1)

u=u(ξ)，ξ=x-ct,

(2)

其中c為波速.將行波解(2)帶入方程(1)有

(3)

(4)

2 系統(tǒng)的平衡點

非線性方程解的形式或性質(zhì)與其定態(tài)解的穩(wěn)定性密切相關(guān)，所以研究其定態(tài)解的穩(wěn)定性是非常必要的，而描述系統(tǒng)運動方程的解是否穩(wěn)定，主要取決于系統(tǒng)在擾動下偏離此解所表征的狀態(tài)能否回到此狀態(tài).為此，李雅普諾夫提出了判斷動力系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種方法:李雅普諾夫直接法和李雅普諾夫間接法.本文依照后者對系統(tǒng)的平衡點進(jìn)行分析.

1)當(dāng)m=1時，方程(1)可視為Fisher方程的推廣，因此方程(4)可寫為

(5)

顯然，方程(5)有3個平衡位置：(u*,P*)=(0,0)，(u*,P*)=(1，0)，(u*,P*)=(α,0)，相應(yīng)的特征方程和特征根為：

其中平衡位置(u*,P*)=(0,0)和(u*,P*)=(1,0)都是鞍點，而(u*,P*)=(α,0)在c2>4kνα(1-α)時為結(jié)點，在c2<4kνα(1-α)時為焦點.

2)當(dāng)m=2時，方程(4)可寫為

(6)

3 連接不同平衡點的異宿軌道

1)當(dāng)m=1時，根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知：

① 連接鞍點(u*,P*)=(0,0)和鞍點(u*,P*)=(1,0)的異宿軌道為

(7)

② 連接鞍點(u*,P*)=(0,0)和鞍點(u*,P*)=(α,0)的異宿軌道為

(8)

(9)

令z=u-m，則(9)式可寫為

(10)

將(9)式兩端乘以-m，得

(11)

(12)

(13)

當(dāng)m=1時,(13)式為連接鞍點(0，0)和(1，0)的異宿軌道，其結(jié)果和文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果一致.

(14)

(15)

(16)

當(dāng)m=1時，(16)式和(8)式完全一致，即為連接鞍點(0,0)和結(jié)點(α,0)的異宿軌道.

4 結(jié)論

本文利用試探函數(shù)法求出了當(dāng)m≥2時，方程(1)的平衡位置，得出了鞍點和鞍點、鞍點和結(jié)點之間的異宿軌道，并且驗證了當(dāng)m=1時其結(jié)果和文獻(xiàn)中的結(jié)果相一致;由此得出了一類囊括了許多著名的物理方程(如Fisher方程、Fitzhugh-Napumo方程、Huxley方程[9]等)的行波解的通解.

參考文獻(xiàn)：

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