張 勇，尹社會(huì)，張光云，張付臣，袁 紅

(1.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 南陽 473009；2.西南石油大學(xué)外國(guó)語學(xué)院，四川 成都 610500；3.重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067；4.臨沂大學(xué)理學(xué)院，山東 臨沂 276005)

新混沌系統(tǒng)的有界性及其界估計(jì)

張 勇1，尹社會(huì)1，張光云2，張付臣3，袁 紅4

(1.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 南陽 473009；2.西南石油大學(xué)外國(guó)語學(xué)院，四川 成都 610500；3.重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067；4.臨沂大學(xué)理學(xué)院，山東 臨沂 276005)

借助一簇適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)和一元函數(shù)極值理論，研究了在a>k>0，b>0，c>0均為正參數(shù)情況下的一類金融混沌系統(tǒng)的有界性.結(jié)果表明，數(shù)值模擬與理論計(jì)算的結(jié)果相吻合.

金融混沌系統(tǒng)；有界性；數(shù)值仿真

一個(gè)混沌系統(tǒng)有界是指該系統(tǒng)的軌線在相空間中有界.如果可以證明一個(gè)自治混沌系統(tǒng)存在全局指數(shù)吸引集，那么我們可以斷定在這個(gè)全局指數(shù)吸引集之外不存在該混沌系統(tǒng)的平衡位置、 周期解、 概周期解、 游蕩回復(fù)解和其他任何混沌吸引子.俄羅斯著名學(xué)者G.A.Leonov和廖曉昕等分別研究了著名Lorenz系統(tǒng)的最終界和全局指數(shù)吸引集[1-2].隨后，一些學(xué)者研究了其他混沌系統(tǒng)的有界性[3-10].我們將研究一個(gè)新金融混沌系統(tǒng)解的最終界，以便為該混沌系統(tǒng)的控制、同步提供理論依據(jù)[11].

1 數(shù)學(xué)模型

蔡國(guó)梁等[12]研究了一個(gè)改進(jìn)的金融混沌系統(tǒng)：

(1)

其中：a>k>0，b，c為系統(tǒng)的正參數(shù).當(dāng)a=0.6，b=0.2，c=0.9，k=0.5，系統(tǒng)初值選擇為(x(0)，y(0)，z(0))=(1，3，4)時(shí)，系統(tǒng)軌線的相圖見圖1. 取時(shí)間t=1 000 s，系統(tǒng)的各個(gè)變量隨時(shí)間演化的波形圖見圖2.

有關(guān)系統(tǒng)(1)的一些動(dòng)力學(xué)行為研究如控制和同步在文獻(xiàn)[12]中已有報(bào)道，但是還有一些動(dòng)力學(xué)行為沒有涉及.我們將研究當(dāng)a>k>0，b，c均為正參數(shù)時(shí)，這類系統(tǒng)(1)解的有界性.

2 系統(tǒng)解的有界性

定理1 存在正數(shù)β>0，使集合Ψ={(x，y，z)|x2+y2+(z-λ)2≤β，λ≥0}是系統(tǒng)(1)的最終有界和正向不變集.

證明 做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)

V(X)=V(x，y，z)=x2+y2+(z-λ)2，λ≥0.

圖1 系統(tǒng)在各個(gè)三維空間上軌線相圖

圖2 各個(gè)變量隨時(shí)間演化的波形圖

沿著系統(tǒng)(1)的正半軌線計(jì)算V(x，y，z)的導(dǎo)數(shù)，有

定理1雖然指出了系統(tǒng)(1)的正半軌線最終進(jìn)入一個(gè)有界區(qū)域，即系統(tǒng)(1)的正半軌線是最終有界的，但是沒有指出該有界區(qū)域的大小和軌線從吸引集外進(jìn)入吸引集的速率估計(jì)，對(duì)于軌線從吸引集外進(jìn)入吸引集的速率估計(jì)，我們有下面的定理.

定理2 令

V(X)=V(x，y，z)=x2+y2+(z-λ)2，λ≥0.

則當(dāng)V(X(t))≥L0，V(X0)>L0(t≥t0)時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)(1)的正半軌線，我們有指數(shù)估計(jì)式

[V(X(t))-L0]≤[V(X0)-L0]e-η(t-t0).

(2)

特別的，集合Ω={(x，y，z)|x2+y2+(z-λ)2≤L0}，為系統(tǒng)(1)的一個(gè)全局指數(shù)吸引集.其中：

證明 做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)

V(X)=V(x，y，z)=x2+y2+(z-λ)2，λ≥0.

令

f(X)=-(a-k)x2+2λx，h(y)=-by2+2y，

(3)

當(dāng)a>k>0，b>0，c>0時(shí)，經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算有

沿著系統(tǒng)(1)的正半軌線計(jì)算V(x，y，z)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)V(X(t))≥L0，V(X0)>L0時(shí)，有

即有

(4)

根據(jù)微分方程比較定理，當(dāng)V(X(t))≥L0，V(X0)>L0(t≥t0)時(shí)，對(duì)(4)式兩邊積分有

V(X(t))-L0≤[V(X0)-L0]e-η(t-t0).

注記

(1) 取參數(shù)a=0.6，b=0.2，c=0.9，k=0.5，λ=0[12]，這時(shí)我們有

取參數(shù)a=0.6，b=0.2，c=0.9，k=0.5，λ=1[12]，這時(shí)有

由定理2，系統(tǒng)(1)的正半軌線包含在Ω2={(x，y，z)|x2+y2+(z-1)2≤159=(12.61)2}之中，如圖4所示.

圖3 系統(tǒng)的正半軌線包含在三維橢球Ω1內(nèi)

圖4 系統(tǒng)的正半軌線包含在三維橢球Ω2內(nèi)

(3) 我們可以斷定在全局指數(shù)吸引集Ω之外不存在金融混沌系統(tǒng)(1)的的平衡位置、 周期解、 概周期解、 游蕩回復(fù)解和其他任何混沌吸引子.

3 結(jié)論

通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)簇，研究了在a>k>0，b>0，c>0均為正參數(shù)的情況下一類非線性金融系統(tǒng)(1)的有界性，得到了該類系統(tǒng)的最終界估計(jì)表達(dá)式，并且得到了軌線從吸引集外進(jìn)入吸引集的速率估計(jì)式.數(shù)值模擬表明了方案的可行性.

[1] LEONOV G，BUNIN A，KOKSCH N. Attractor localization of the Lorenz system[J]. Zeitschrift Für Angewandte Mathematik Und Mechanik，1987，67：649-656.

[2] LIAO XIAOXIN. On the global basin of attraction and positively invariant set for the Lorenz chaotic system and its application in chaos control and synchronization[J]. Science in China Series E，2004，34(12)：1404-1419.

[3] LI DAMEI，LU JUN AN，WU XIAOQUN. Estimating the ultimate bound and positively invariant set for the hyperchaotic Lorenz-Haken system[J]. Chaos，Solitons & Fractals，2009，39：1290 -1296.

[4] ZHANG FUCHEN，SHU YONGLU，YANG HONGLIANG. Bounds for a new chaotic system and its application in chaos synchronization[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2011，16(3)：1501-1508.

[5] ZHANG FUCHEN，MU CHUNLAI，LI XIAOWU. On the boundness of some solutions of Lü system[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2012，22 (1)：1250015.

[6] ZHANG FUCHEN，LI YUHUAN，MU CHUNLAI. Bounds of solutions of a kind of hyper-chaotic systems and application[J]. Journal of Mathematical Research with Applications，2013，33 (3)：345-352.

[7] ZHANG FUCHEN，SHU YONGLU，YANG HONGLIANG，et al. Estimating the ultimate bound and positively invariant set for a synchronous motor and its application in chaos synchronization[J]. Chaos，Solitons & Fractals，2011，44(1)：137-144.

[8] ZHANG FUCHEN，MU CHUNLAI，ZHENG PAN，et al. The dynamical analysis of a new chaotic systemand simulation[J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences，2014，37：1838-1846.

[9] WU ZHINAN，ZHANG FUCHEN，LI XIAOWU. Localization of compact invariant sets of a 4D system and its application in chaos[J]. International Journal of Research and Reviews in Applied Sciences，2012，12 (1)：1-9.

[10] 張付臣，舒永錄，姚憲忠. 磁盤發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究及其在混沌同步中的應(yīng)用[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，36(2)：193-203.

[11] 陳關(guān)榮，呂金虎. Lorenz系統(tǒng)簇的動(dòng)力學(xué)分析、控制和同步[M]. 北京：科學(xué)出版社，2001：160-270.

[12] CAI GUOLIANG，YANG MINGZHENG. Globally exponentially attractive set and synchronization of a novel three-dimensional chaoticnance system[C]. Wuxi：Proc 3rd Int Conf Inform Comp，2010：70-73.

(責(zé)任編輯：石紹慶)

Boundedness of solutions of a novel system and simulation

ZHANG Yong1，YIN She-hui1，ZHANG Guang-yun2，ZHANG Fu-chen3，Yuan Hong4

(1.Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473009，China；2.School of Foreign Languages，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China；3.School of Mathemaitics and Statistics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China；4. School of Science，Linyi University，Linyi 276005，China)

The boundedness of a class of finance chaotic systems was studied via constructing a Lyapunov function and the function extreme value theory for all positive parametersa>k>0，b>0，c>0 in this paper. Numerical simulations are presented to show the effectiveness of the proposed scheme. Numerical simulation is consistent with the results of theoretical calculation.

finance chaotic system；the boundedness；numerical simulations

1000-1832(2014)04-0081-04

10.11672/dbsdzk2014-04-015

2013-08-19

重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2009BB3185)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)(CDJXS 10 10 00 29；CDJXS 11 10 00 26)；南陽市科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2013GG048)；重慶市前沿與應(yīng)用基礎(chǔ)研究一般項(xiàng)目(cstc2014jcyjA00040).

張勇 (1981—)，男，講師，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究；張付臣(1983—)，男，博士，講師，主要從事常微分方程穩(wěn)定性與分岔研究.

O 415.5 [學(xué)科代碼] 110·54

A