金 艷, 賈 曼

(1.寧波教育學(xué)院,浙江 寧波 315010;2.寧波大學(xué) 理學(xué)院，浙江 寧波 315211)

0 引 論

在非線性科學(xué)領(lǐng)域，1+1維的Burgers方程

ut=2uux+uxx

(1)

是最重要的數(shù)學(xué)物理模型之一,它被廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)和其他自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，如流體力學(xué)、大氣動(dòng)力學(xué)和交通流,等等[1].Burgers方程(1)的各種性質(zhì)及其嚴(yán)格解已經(jīng)被許多學(xué)者研究.如文獻(xiàn)[2]利用重復(fù)對稱性約化的方法給出了式(1)的無窮多的嚴(yán)格解；文獻(xiàn)[3]發(fā)展了一個(gè)一般的tanh函數(shù)展開法求解Burgers方程(1)，得到了大量的新的嚴(yán)格解；文獻(xiàn)[4]利用非局域?qū)ΨQ相關(guān)的對稱性約化得到了很多具有實(shí)際意義的嚴(yán)格解.

本文中,筆者研究方程(1)的3+1維的推廣形式[5]:

ut=2uux+2vvx+2wwx+uxx+vxy+wxz;

(2)

uy=vx;

(3)

uz=wx.

(4)

和1+1維的Burgers方程(1)一樣，3+1維Burgers方程(2)～方程(4)在物理學(xué)中同樣具有非常重要的地位.如作變換

u=φx,v=φy,w=φz

(5)

后，式(2)成為著名的沒有白噪聲項(xiàng)的KPZ(Kardar-Parisi-Zhang) 方程[6-8 ]

φt=(φ)

(6)

KPZ方程可以很好地描述各種界面的生長[6].具有隨機(jī)項(xiàng)的KPZ方程也可以從粒子系統(tǒng)中導(dǎo)出[7].

奇性分析方法是研究非線性方程的最有效方法之一.在研究非線性方程奇性的同時(shí)，可以得到很多其他有意義的重要結(jié)果，如B?cklund變換和嚴(yán)格解等.

本文運(yùn)用奇性方法研究(3+1)維Burgers方程的Painlevé性質(zhì);運(yùn)用截?cái)郟ainlevé展開給出3+1維的Burgers方程的B?cklund變換；運(yùn)用B?cklund變換來給出一些嚴(yán)格解.

1 3+1維Burgers方程的Painlevé性質(zhì)

一個(gè)非線性方程的Painlevé性質(zhì)被定義為：若一個(gè)非線性方程的所有解的所有奇性都是極點(diǎn)型的，則稱該方程具有Painlevé性質(zhì).

對于3+1維的Burgers方程(2)～方程(4),若它具有Painlevé性質(zhì)，則有下述表達(dá)式：

為了保證所有的奇性，展開式(7)中的f～0必須為任意函數(shù)；由于方程(2)～方程(4)是2階微分方程，式(5)和式(6)是一階微分方程，因此,為保證解是所有解，式(7)中必須包含4個(gè)任意函數(shù)，除了f外，展開系數(shù)中還必須包含3個(gè)任意函數(shù).展開式中求和從零開始，排除了本性奇點(diǎn)的存在，為保證沒有奇點(diǎn)的存在，式(7)中的α1,α2和α3必須為整數(shù).

驗(yàn)證模型的Painlevé性質(zhì),標(biāo)準(zhǔn)的步驟分3步：領(lǐng)頭項(xiàng)分析、確定共振點(diǎn)和驗(yàn)證共振條件.領(lǐng)頭項(xiàng)分析驗(yàn)證α1,α2和α3是否為整數(shù)，確定共振點(diǎn)和驗(yàn)證共振條件以保證有足夠多的任意函數(shù).

1)領(lǐng)頭項(xiàng)分析:將式(7)的領(lǐng)頭項(xiàng)

(8)

代入3+1維Burgers方程(2)～方程(4)得

(9)

由式(9)可得

(10)

2)共振點(diǎn)確定.為了確定共振點(diǎn)，即可能的任意函數(shù)對應(yīng)的展開指標(biāo)，筆者將

(11)

代入3+1維Burgers方程(2)～方程(4)可得

(12)

式(12)的右邊僅僅依賴于u0,u1,…,uj-1.由式(12)的uj,vj,wj的系數(shù)行列式

(13)

為零可知，共振點(diǎn)為

j=-1,1,1,2.

(14)

若在這些共振點(diǎn)的共振條件自動(dòng)滿足，則uj,vj,wj可由式(12)遞推算出.

3)共振條件驗(yàn)證.j=-1的共振點(diǎn)意味著奇性流形f的任意性.對于j=0，式(12)等價(jià)于式(10).對于j=1,式(12)等價(jià)于

ft=2u1fx+2v1fy+2w1fz+Δf;

(15)

u0y=v0x;

(16)

u0z=w0x.

(17)

顯然，由于式(10)，共振條件(15)和(17)是自動(dòng)滿足的,所以，對于j=2,式(12)可以簡化為:

(ft-2u1fx-2v1fy-2w1fz-Δf)x=0;

(18)

u2fy-v2fx-v1x+u1y=0;

(19)

u2fz-w2fx-w1x+u1z=0.

(20)

顯然，由于式(15)，共振條件(18)自動(dòng)滿足，故所有共振條件驗(yàn)證完畢，所以，(3+1)維Burgers方程(2)～(4)具有Painlevé性質(zhì),是Painlevé可積的.

2 3+1維Burgers方程的B?cklund變換

B?cklund變換是非線性系統(tǒng)研究中的又一重要研究課題.利用Painlevé分析可以很方便地得到非線性系統(tǒng)的B?cklund變換.對于3+1維Burgers方程,其截?cái)嗾归_為

(21)

式(21)中，u1,v1,w1和f滿足的方程為：

u1t=2u1u1x+2v1v1x+2w1w1x+u1xx+v1xy+w1xz;

(22)

u1y=v1x;

(23)

u1z=w1x;

(24)

ft=2u1fx+2v1fy+2w1fz+Δf.

(25)

由方程(22)～方程(24)可知,截?cái)郟ainlevé展開給出了下述3+1維Burgers方程(2)～(4)的B?cklund變換定理.

定理1 若u1,v1,w1是3+1維Burgers方程(2)～(4)的一個(gè)解，f滿足式(25)，則由式(21)給定的u,v,w也是3+1維Burgers方程(2)～(4)的解.

利用B?cklund變換(定理1)及任意給定的種子解u1,v1,w1，只需要求解線性方程(25),即可求得Burgers方程(2)～(4)的無窮多新解.下面就一個(gè)特定的種子解，利用B?cklund變換來尋求新的解.

3 3+1維Burgers方程的嚴(yán)格解

顯然,式(23)和式(24)有下述嚴(yán)格解:

(26)

式(26)中：p=p(x,t),q=q(y,z,t),r=r(y,z,t)都是所示變量的函數(shù).將式(26)代入式(22)可得，p=p(x,t)滿足1+1維的Burgers方程

pt=2ppx+pxx.

(27)

將式(26)和式(27)代入式(25)得

ft=2pfx+2qfy+2rfz+Δf.

(28)

式(28)可以用分離變量法求解

(29)

式(29)中，變量分離解Pi=Pi(x,t)和Qi=Qi(y,z,t)滿足的方程為：

Pit=2pPix+Pixx;

(30)

Qit=2qQiy+2rQiz+Δ2Qi,Δ2≡?yy+?zz.

(31)

由于p滿足1+1維Burgers方程(27),式(30)可以進(jìn)一步用分離變量法求解

(32)

而Pik=Pik(x)和Tik(t)由下式給定:

(33)

顯然,式(33)的解可以表述為

(34)

對于Qi,可把方程(31)分3種情況求解.

情況1M=1.對于M=1,方程(31)可以很方便地求解，只要把Q1=Q當(dāng)作任意函數(shù)，求出r為

(35)

情況2M=2.對于M=2,方程(31)也可以很方便地求解，只要把Q1和Q2當(dāng)作任意函數(shù)，求出q和r為

(36)

情況3M>2.對于M>2，q和r 滿足

qt=2qqy+qyy;

(37)

rt=2rry+ryy.

(38)

在這種情況下，式(31)可分解為

(39)

式(39)的解可以表示為

(40)

式(40)中：Cik,θik,kik是z的任意函數(shù);Dij,φij,κij是y的任意函數(shù).由于大量的任意函數(shù)的進(jìn)入，3+1維Burgers方程的解具有非常豐富的結(jié)構(gòu).

4 結(jié) 論

利用奇性分析證明了3+1維Burgers方程具有Painlevé性質(zhì).利用截?cái)郟ainlevé展開可得到3+1維Burgers方程的B?cklund變換.利用3+1維Burgers方程的任意一個(gè)已知特解，可以得到無窮多的新的嚴(yán)格解.本文從一個(gè)1+1維的Burgers方程的特解出發(fā)，得到了具有大量任意函數(shù)的相當(dāng)一般的解，充分揭示了3+1維Burgers方程解的豐富的結(jié)構(gòu).

利用Painlevé分析方法還可以得到大量的其他有意義的信息，如非局域?qū)ΨQ等[9].限于篇幅，本文不再繼續(xù)深入.

致謝:作者感謝樓森岳教授的有益指導(dǎo)、討論及鼓勵(lì).

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