李志勇

(深圳中廣核工程設計有限公司 上海分公司，上海 200030)

基于中子擴散橫向積分技術的節(jié)塊法經(jīng)幾十年的發(fā)展，演化出很多不同方法[1-2]，如節(jié)塊展開法(NEM)、解析節(jié)塊法(ANM)、半解析節(jié)塊法(SANM)。一般而言，基于橫向積分方程的節(jié)塊法其理論模型有一基本假設——節(jié)塊內中子截面參數(shù)為常數(shù)。由于節(jié)塊一般不大，這種假設在大多數(shù)情況下是有效的。但在某些情況下，如計算控制棒微分價值及控制棒相關動力學問題模擬等這類節(jié)塊內截面隨節(jié)塊空間劇烈變化的問題，為滿足上述基本假定一般采用體積權重均勻化，會出現(xiàn)數(shù)值結果明顯發(fā)生偏差的情況，即鋸齒效應[3]。

為緩解鋸齒效應對節(jié)塊法計算結果的影響，本文通過在橫向積分方程中顯式引入節(jié)塊內隨高度變化截面的方式，研究一種節(jié)塊法顯式表示法。

1 理論模型

1.1 中子截面分析

控制棒作為強吸收體，對燃料節(jié)塊的分群中子宏觀截面造成很大影響。一般而言，控制棒主要對吸收截面(特別是熱群截面)有顯著影響。表1列出典型PWR燃料組件中控制棒對中子截面的影響。由表1可見，控制棒插入對吸收截面的影響較大，對其他中子截面影響較小，如能譜的變化對裂變截面產(chǎn)生輕微的影響。

考慮到后續(xù)提出的方法模型要求，并基于控制棒對中子截面的影響，對擴散系數(shù)可不進行顯式處理，即采用傳統(tǒng)的體積權重(或體積通量權重)。因此，在顯式模型中不對控制棒部分插入引起的對擴散系數(shù)的影響進行處理，這種處理方式也能使本文提出的顯式表示方法在理論模型上避免過于繁雜。

表1 控制棒對中子截面的影響

注：上述數(shù)值為典型值，具體數(shù)值與燃料組件類型有關

1.2 基本方程

基本中子擴散方程的積分形式為：

(1)

那么，中子擴散方程在u坐標方向上的橫向積分方程為：

(2)

其中：Dg為中子擴散系數(shù)；φg為橫向積分中子通量；Qg為橫向積分中子源項；Lgu為中子橫向泄漏。

由式(2)可看出，基于對中子截面的分析，在中子擴散方程橫向積分方程的推導中，可顯式地將控制棒部分插入引起的截面變化進行考慮，這將導致橫向積分方程較一般情況下略復雜一些。

1.3 部分插棒截面表達

在節(jié)塊法中部分插棒對節(jié)塊中子截面產(chǎn)生影響(節(jié)塊軸向影響)是一階躍變化函數(shù)，且經(jīng)處理后可進一步簡化為階躍函數(shù)?？紤]到控制棒對中子擴散系數(shù)的影響非常小(實際上對除吸收截面外的其他截面影響均很小)，因此可不考慮擴散系數(shù)的影響，且對其他截面的影響均移至方程右端(這可作為一額外源項附加到原一般源項上)。

因此，本文主要考慮部分插棒在軸向對節(jié)塊吸收、散射和裂變中子截面的影響，具體部分插棒節(jié)塊軸向中子截面階躍函數(shù)的形式示于圖1。圖1中：p為控制棒歸一化插入點，p=2u/Δu，p∈[-1，1]；ΔΣ為由于控制棒插入導致的截面階躍，即ΔΣ=Σrod-Σunrod，Σrod和Σunrod分別為插棒和不插棒部分中子截面相對于節(jié)塊平均截面的差值。

圖1 部分插棒節(jié)塊軸向中子截面表示

節(jié)塊在軸向的截面可將部分插棒導致的與節(jié)塊平均截面的差值分為兩個部分：Bias項，該項即為不插棒部分截面相對體積(通量)權重平均截面的偏差，此項與軸向位置無關；Delta項，該項即為與軸向位置相關的截面隨高度的變化(同時考慮減去Bias項后的截面)，可認為是一個階躍函數(shù)。

控制棒部分插入節(jié)塊的中子截面可由式(3)表示：

ΔΣx=Σx-Σx,avg=

(3)

其中：Σx,avg為節(jié)塊平均截面，下標x表示吸收、散射或裂變中子截面；h為節(jié)塊軸向歸一化高度；Σx,rod、Σx,unrod分別為含控制棒節(jié)塊部分和不含控制棒節(jié)塊部分的中子截面。

1.4 節(jié)塊法模型

由于將部分插棒節(jié)塊內中子截面表示為與平均中子截面的差值形式，因此原模型中包括的橫向積分通量和基本公式還是適用的，這里僅需考慮部分插棒對橫向積分方程的影響?？紤]階躍變化函數(shù)后，原通量展開函數(shù)失去正交性(但Bias項還具有正交關系)，需較為繁瑣的推導。

對于軸向，考慮具有非均勻截面后，節(jié)塊內分群中子擴散方程可寫為：

-DgΔφg+ΣR,g(h)φg=Qg

(4)

其中，φg、φg′為中子通量。

可發(fā)現(xiàn)，式(4)與一般節(jié)塊法方程類似，因而一般方程的中子平衡方程和橫向積分方程均可沿用，只是中子截面是與軸向位置有關的函數(shù)，因此在積分過程中復雜一些。這里考慮與位置有關的中子截面，并作為額外的源附加到橫向積分方程的右端，稱該源項為非均勻截面源，其具體形式為：

(5)

其中：φg為橫向積分(展開)中子通量；QXS為非均勻截面源。

顯然，由于考慮階躍函數(shù)后權重函數(shù)不再正交，那么在原方程基礎上將產(chǎn)生附加項(包括0～2次矩方程)，這就需顯式的求解。這里按一般勒讓德多項式節(jié)塊展開法為例給出各階對區(qū)間[p,1]的積分結果，以便為后續(xù)橫向積分方程附加非均勻截面源。需說明的是，符號“〈 〉”表示在區(qū)間上的積分。

0次矩為：

1次矩為：

2次矩為：

其中，W為展開函數(shù)。

由于與Bias項相關的源項與一般節(jié)塊法的源項無區(qū)別，因此這里重點考查Delta項引起的源項(非均勻截面源)。基于上述權重函數(shù)在區(qū)間[p,1]積分結果給出該項的表示形式，可發(fā)現(xiàn)僅需要將附加的非均勻截面源附加到原各階源項上即可，具體形式示于式(6)：

(6)

需要說明的是，上述的理論推導不限于特定節(jié)塊法橫向積分中子通量展開形式，具有一定的通用性，即同樣適用于半解析節(jié)塊法。

1.5 動力學模型

基于文獻[4]的剛性限制方法，研究顯式表示方法在動力學中的應用。基本的三維動力學擴散方程為：

(7)

其中：vg為中子速率；β為緩發(fā)中子份額；χp，g為瞬發(fā)中子裂變譜；i為緩發(fā)中子群；Ci為緩發(fā)中子先驅核；λi為衰變常量。

假定：

則動力學方程可轉化為如下形式：

其中：

其中，DG為緩發(fā)中子的群。

可看出，本文提出的控制棒部分插入顯式表示方法由于未破壞原有的堆芯三維節(jié)塊幾何劃分，動態(tài)頻率還可依照原方法進行計算，因而上述剛性限制法還是適用的。采用剛性限制法結合控制棒部分插入顯式表示方法，進行基準問題的數(shù)值計算并驗證本文提出方法的有效性。

2 數(shù)值結果

2.1 IAEA 3D基準問題

IAEA 3D基準問題[3]是一廣泛用于驗證堆芯擴散問題的基準問題，它是一典型PWR問題，堆芯內成分復雜，包括調節(jié)控制棒和停堆控制棒。軸向和徑向含有水反射層，外邊界條件為真空邊界。由于堆芯含有控制棒，可采用該基準問題計算控制棒微分價值并進行驗證。

采用1/4堆芯位于(3，3)組件位置的一束控制棒(整個堆芯共計4束)計算控制棒微分價值隨堆芯高度的變化，具體數(shù)值結果示于圖2。其中：參考解結果為采用軸向節(jié)塊寬度為1 cm進行的計算；體積權重法結果為采用一般體積權重法計算含有部分插入控制棒的節(jié)塊平均截面并進行節(jié)塊計算，且軸向節(jié)塊寬度為20 cm；顯式表示法的軸向節(jié)塊寬度仍為20 cm。

圖2 IAEA 3D基準問題控制棒微分價值

從圖2可見，顯式表示法大幅緩解了鋸齒效應帶來的對于控制棒微分價值的影響(即體積權重法相對于參考解的偏差)，基本達到工程應用的要求。

2.2 LMW三維瞬態(tài)基準問題

LMW三維瞬態(tài)基準問題[3]是一高度簡化的壓水堆瞬態(tài)問題，堆芯內共有77個燃料組件，組件尺寸為20 cm×20 cm，活性區(qū)高度為160 cm，徑向和軸向含有厚度為20 cm的水反射層，且堆芯內的控制棒在瞬態(tài)過程以相同的速度分別提出和插入堆芯。

采用控制棒部分插入顯式表示法及體積權重法，對LMW三維瞬態(tài)基準問題進行數(shù)值計算，計算結果示于圖3。

圖3 LMW基準問題數(shù)值結果

從圖3可看出，采用一般的體積權重法進行計算會引入較大偏差(即鋸齒效應)，功率的最大相對偏差可達4%左右，且在瞬態(tài)功率峰值附近。采用顯式表示法后，這種偏差基本上完全消除，因而本方法在動力學計算中取得了非常好的效果。需要說明的是，文獻[5]通過更復雜的模型取得了類似的結果。

3 結論和建議

針對鋸齒效應，本文提出了一種在節(jié)塊法中對部分插入控制棒節(jié)塊的顯式表示方法，即在對節(jié)塊法橫向積分方程的推導中顯式考慮軸向含部分插入控制棒節(jié)塊的非控制棒區(qū)截面和控制棒區(qū)截面(即中子截面階躍函數(shù))。通過穩(wěn)態(tài)控制棒微分價值計算和瞬態(tài)動力學數(shù)值計算，表明本文提出的方法大幅緩解了鋸齒效應，特別是在瞬態(tài)動力學問題中基本上完全消除了該效應帶來的偏差，取得了很好的效果。

此外，本文提出的顯式表示方法不僅可用于考慮部分插入控制棒這種節(jié)塊內截面不均勻的問題，同樣也可考慮如燃料組件格架(甚至多個格架)引起的節(jié)塊內截面不均勻問題，這有待進一步進行研究。

感謝趙榮安教授在本文研究中給予的幫助和有益討論。

參考文獻：

[1]CHO N. Fundamentals and recent developments of reactor physics methods[J]. Nuclear Engineering and Technology, 2005, 37(1): 25-78.

[2]ZIMIN V G, NINOKATA H, POGOSBEKYAN L R. Polynomial and semi-analytic nodal methods for nonlinear iteration procedure[C]∥PHYSOR-98. Long Island: [s. n.], 1998: 994-1 002.

[3]SMITH K S. An analytic nodal method for solving the two-group, multidimensional, static and transient neutron diffusion equations[D]. USA: Massachusetts Institute of Technology, 1979.

[4]CHAO Y A, HUANG P. Theory and performance of the fast-running multidimensional pressurized water reactor kinetics code, SPNOVA-K[J]. Nucl Sci Eng, 1989, 103: 415-419.

[5]de LIMA Z R, MARTINEZ A S, da SILVA F C, et al. Correcting the cusping problem in three-dimensional transients through NEM modification[J]. Nucl Sci Eng, 2012, 170: 66-74.