● (菱湖中學(xué) 浙江湖州 313018) ● (杭州第四中學(xué) 浙江杭州 310018)

1 問(wèn)題的提出

隨著新一輪課程改革的深入，“不是教教材，而是用教材教”的教材使用觀越來(lái)越得到廣大一線教師的認(rèn)同和研究．但是在實(shí)際的課堂教學(xué)中，也有部分教師沒(méi)有真正理解“不是教教材，而是用教材教”的內(nèi)涵，從而出現(xiàn)了片面脫離教材進(jìn)行課堂教學(xué)的情形，甚至在部分教師的課堂上，學(xué)生從頭至尾都沒(méi)有翻閱教材．

筆者近日聽(tīng)了幾堂橢圓概念的新授課，也看了幾篇“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”同課異構(gòu)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，都給人一種意猶未盡之感．

遺憾1由于時(shí)間太倉(cāng)促，一節(jié)完整的橢圓概念課，被分成了2天2節(jié)課來(lái)實(shí)施教學(xué)，知識(shí)點(diǎn)之間失去了連貫性．大部分任課教師為了一節(jié)課的完整性，都掐掉了從圓到橢圓的演變過(guò)程，沒(méi)有考慮學(xué)生對(duì)橢圓第一認(rèn)識(shí)的感官知覺(jué)，對(duì)課前的引入素材沒(méi)有作事后的論證．

遺憾2沒(méi)有很好地使用課本提供的素材，比如本節(jié)開(kāi)頭提供的動(dòng)手操作探究部分；更沒(méi)有對(duì)課本素材進(jìn)行深挖掘，比如課本提供的例2；課后的探究與發(fā)現(xiàn)部分，也沒(méi)有為后續(xù)知識(shí)的教學(xué)提供相適應(yīng)的鋪墊．

由于以上原因，筆者做了一次嘗試，通過(guò)換課，一天內(nèi)2節(jié)課連上，使課堂有了充足的時(shí)間保證，并對(duì)“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”作了再設(shè)計(jì)，將其定義為“橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程”．

2 教學(xué)再設(shè)計(jì)

2.1 情景引入

師(拿起預(yù)先準(zhǔn)備的圓柱形玻璃水杯)：同學(xué)們，請(qǐng)看杯子里的水面是什么形狀的？

生(眾)：圓形．

教師把杯子稍作傾斜，再次問(wèn)：現(xiàn)在的水面又是什么形狀呢？

生(眾)：橢圓．

師：很好！的確是一個(gè)橢圓．是否可以說(shuō)圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓呢？橢圓和圓之間又有什么聯(lián)系呢？

生1(稍作思考后)：圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓，而且，由剛才玻璃杯水面形狀的變化特點(diǎn)，我認(rèn)為橢圓可以由圓經(jīng)過(guò)拉伸或壓縮而得到．

2.2 概念的形成與概括

(以下是對(duì)教材探究部分的教學(xué).)

師：不錯(cuò)，橢圓的確可以由圓經(jīng)過(guò)不同程度的拉伸或壓縮而得到．那么，什么是橢圓呢？總要給橢圓一個(gè)屬于自己的定義，并給出橢圓的方程形式．這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)“橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程”．

師：下面請(qǐng)同學(xué)們拿出昨天要大家準(zhǔn)備的細(xì)繩、厚一點(diǎn)的硬紙板、2顆圖釘，將細(xì)繩的2端用1個(gè)圖釘固定在紙板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出的軌跡是什么？

生(一齊)：是一個(gè)圓．

師：能解釋一下以上作圖中的幾何原理嗎？

生：平面上到一個(gè)定點(diǎn)(圖釘)的距離等于定長(zhǎng)(繩子折疊后的長(zhǎng))的點(diǎn)(筆尖)的軌跡為圓．

師：下面，我們?cè)佼?huà)一次，將細(xì)繩的2端拉開(kāi)一段距離，分別用圖釘固定在紙板的2個(gè)點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫(huà)出的軌跡又是什么曲線？

評(píng)注從2個(gè)點(diǎn)重合到2個(gè)點(diǎn)分開(kāi)，在實(shí)際操作中，體驗(yàn)從圓到橢圓的演變過(guò)程．

學(xué)生(一齊)：是一(半)個(gè)橢圓．

師：的確是一個(gè)橢圓，得到半個(gè)橢圓的同學(xué)是少畫(huà)了2個(gè)圖釘?shù)南路讲糠只蛏戏讲糠郑敲?，誰(shuí)能說(shuō)出，在這次畫(huà)圖過(guò)程中，移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))所滿足的幾何條件？

生2(稍作思考)：由于在筆尖移動(dòng)的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度保持不變，2個(gè)圖釘可以看成2個(gè)定點(diǎn)，因此筆尖滿足的幾何條件是：筆尖(動(dòng)點(diǎn))到2個(gè)定點(diǎn)(圖釘)的距離等于定長(zhǎng)(繩子的長(zhǎng)度)，另外，由于繩子在2個(gè)圖釘間的部分是寬松的，因此，這個(gè)定長(zhǎng)大于2個(gè)定點(diǎn)之間的距離．

師：非常好，生2其實(shí)已經(jīng)道出了橢圓的定義：我們把平面內(nèi)與2個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這2個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，2個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．

圖1

師：請(qǐng)同學(xué)們參看圖1，并結(jié)合橢圓定義，對(duì)照橢圓定義的文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，試著將其轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言．

生3：設(shè)M是橢圓上的任意一點(diǎn)，則橢圓可以表示成以下點(diǎn)的集合：

{M||MF1|+|MF2|=2a，2a為大于|F1F2|的常數(shù)}．

師：非常不錯(cuò)，現(xiàn)在我們有了橢圓的文字定義、圖形與符號(hào)定義，有了這些，我們就可以解決為什么圓柱的斜截面是橢圓的問(wèn)題.下面，請(qǐng)同學(xué)們翻到課本第42頁(yè)，仔細(xì)閱讀“探究與發(fā)現(xiàn)——為什么截口曲線是橢圓”，并試著解決“為什么圓柱的斜截面是橢圓的問(wèn)題”．

很快，不少學(xué)生仿照證明圓錐的斜截面是橢圓的方法證明了“圓柱的斜截面是橢圓”．

評(píng)注與課堂引入相呼應(yīng)，解決了茶杯傾斜后的水平面是橢圓的問(wèn)題，并加深了學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解．

2.3 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

通過(guò)研究曲線的圖形和方程可以得到它的各種性質(zhì)，也就是所謂的“數(shù)形結(jié)合”．下面，我們根據(jù)橢圓定義的文字表示和符號(hào)表示，并結(jié)合圖形特點(diǎn)，來(lái)推導(dǎo)它的方程．

評(píng)注這一過(guò)程與大多數(shù)任課教師的設(shè)計(jì)相差不大，筆者不再贅述．

2.4 例題設(shè)計(jì)，深化概念

通過(guò)例題設(shè)計(jì)，加深學(xué)生對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的把握和橢圓定義的理解．

例1判斷下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)：

例2分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)a=4，b=3；

(2)焦點(diǎn)F1(0,-3),F2(0,3)，a=5；

(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-7,0),B(0,4)．

評(píng)注通過(guò)例1及例2，特別是例2的第(1)小題，使學(xué)生能正確區(qū)分或考慮焦點(diǎn)在x軸或y軸上2種情形，并解決a2,b2與a,b容易相混淆的問(wèn)題；通過(guò)例2第(3)小題的2種解法，向?qū)W生滲透待定系數(shù)法(解方程思想)與定義思想的運(yùn)用；通過(guò)例2第(4)小題的教學(xué)，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想與待定系數(shù)法(解方程思想)．

2.5 與引入呼應(yīng)，再次探究

例3如圖2，在圓x2+y2=a2(a>0)上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD中點(diǎn)M的軌跡方程是什么？

圖2

解設(shè)點(diǎn)M(x,y)，點(diǎn)P(x0,y0)，則

因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=a2上，所以

x2+4y2=a2，

即

因此點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓．

評(píng)注此例題以教材中的例2為藍(lán)本進(jìn)行改編，增強(qiáng)了知識(shí)的一般性與探究的連續(xù)性．

師：通過(guò)這道例題，我們是否能從點(diǎn)的角度，并以代數(shù)為媒介，剖析圓與橢圓的關(guān)系？

師：非常不錯(cuò)！生4向我們解釋了從圓到橢圓的演變過(guò)程．誰(shuí)能結(jié)合例3的方法再次解釋一下為什么“茶杯傾斜后的水平面是橢圓”的問(wèn)題．

圖3

師：很好！生5從代數(shù)方程的角度說(shuō)明了為什么茶杯傾斜后的水平面是橢圓．

2.6 設(shè)計(jì)操作串，構(gòu)建圓到橢圓的演變鏈

師：前面我們知道了什么是橢圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓與圓的關(guān)系．下面請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅蝿?dòng)手，拿出細(xì)繩、厚一點(diǎn)的硬紙板、2顆圖釘，將細(xì)繩的2個(gè)端分別用一個(gè)圖釘固定在紙板的2個(gè)點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫(huà)出橢圓；接下去，再將2顆圖釘沿著2顆圖釘確定的直線向外平移相同的距離，再次畫(huà)出橢圓；如此多重復(fù)幾次，觀察隨著圖釘?shù)耐庖?，橢圓發(fā)生了什么變化．

生：橢圓越來(lái)越扁．

師：我們用離心率e來(lái)表示橢圓的寬扁程度，既然稱為離心“率”，那肯定是一個(gè)比值．從剛才2顆圖釘從重合到分離，到距離越來(lái)越大，導(dǎo)致圖形由圓變化到橢圓，再慢慢變扁的過(guò)程，我們可以用哪2個(gè)量的比值來(lái)表示離心“率”呢？

評(píng)析將此部分內(nèi)容提前，建立從圓到橢圓變化的完整知識(shí)體系．

3 結(jié)語(yǔ)

調(diào)研表明，出現(xiàn)脫離課本進(jìn)行教學(xué)的原因主要有以下幾個(gè)方面：

第一，許多教師認(rèn)為教材內(nèi)容太“簡(jiǎn)單”，不足以應(yīng)付高考．誠(chéng)然，教材的“基礎(chǔ)性”與高考的“選拔性”的確有一定的目標(biāo)差異，但學(xué)好教材一定是高考取得好成績(jī)的前提，教師的主要精力應(yīng)當(dāng)放在幫助學(xué)生熟練掌握教材內(nèi)容上．

第二，由于目前現(xiàn)成的教輔資料、學(xué)案、課件、教案比比皆是，教學(xué)中拿來(lái)主義的現(xiàn)象比較嚴(yán)重，導(dǎo)致許多教師不善于或不愿意花大力氣研究教材．

第三，誤解課改提倡的“不是教教材，而是用教材教”，要“創(chuàng)造性地使用教材”的真正意圖．我們要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，但創(chuàng)造性地使用教材不是脫離教材．畢竟教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是專(zhuān)家反復(fù)考量的，語(yǔ)言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的．因此，在教學(xué)中，要仔細(xì)分析教材的編寫(xiě)意圖，將教材的編寫(xiě)思想滲入我們的課堂教學(xué)中．在處理教材時(shí)，內(nèi)容的調(diào)整、順序的調(diào)整要十分小心(否則容易導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)的偏離)，要根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知而行，案例和例題可以根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)和當(dāng)?shù)亟虒W(xué)環(huán)境替換，但所換的案例和例題要反映教科書(shū)的編寫(xiě)意圖，要能承載教材中案例和例題的教學(xué)任務(wù)．

教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”．在課堂教學(xué)中，我們要不斷地研究教材，研究教材的編寫(xiě)意圖，創(chuàng)造性地使用教材，才能很好地把握教材使用的“度”．