朱陽帆

在第六章《平面圖形的認(rèn)識（一）》的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)到了很多簡單的幾何知識，這些知識源自人類歷史上的光輝巨著《幾何原本》，作者為歐幾里得，是一位古希臘偉大的數(shù)學(xué)家. 我們所學(xué)的幾何通常稱為“歐幾里得幾何”或“歐氏幾何”，就是以他的名字來命名的. 《幾何原本》這本書上一共有五條公設(shè)，大家都知道公設(shè)又叫“公理”，是不需要證明直接用的. 其中最后一條公設(shè)是這樣表述的：“若一直線與兩直線相交，且同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角之和，則兩直線延長后必相交于該側(cè)一點. ”關(guān)于這條公設(shè)背后有著很多有趣的故事.

在寫《幾何原本》的時候，歐幾里得總是對這最后一條公設(shè)感到不大滿意，為什么呢？由于它的敘述不像其他四條公設(shè)那樣簡潔明了，所以當(dāng)時就有人懷疑它不像一個公設(shè)而更像一個定理，并由此產(chǎn)生了從其他公設(shè)和定理推出這條公設(shè)的想法.

從此，也就是從古希臘時代開始，數(shù)學(xué)家們就沒有放棄對第五公設(shè)消除疑問的努力：他們或?qū)で笠砸粋€比較容易接受且更加自然的等價公設(shè)來代替它；或試圖把它當(dāng)做一條定理由其他公設(shè)、公理推導(dǎo)出來. 在眾多的替代公設(shè)中，今天最常用的就是我們第六章學(xué)的《平面圖形的認(rèn)識（一）》中一條公理：“過一點外有且只有一條直線與這條直線平行. ”一般將這一結(jié)論替代公設(shè)的創(chuàng)意歸功于蘇格蘭數(shù)學(xué)家普萊菲爾，然而問題是：所有這些替代公設(shè)并不比原來的第五公設(shè)更好接受，更加自然.

文藝復(fù)興時期對希臘學(xué)術(shù)興趣的恢復(fù)使歐洲數(shù)學(xué)家重新關(guān)注起第五公設(shè). 然而，每一種“證明”要么隱含了另一個與第五公設(shè)等價的假定，要么存在著其他形式的推理錯誤. 而且，這類工作中大多數(shù)對數(shù)學(xué)的進展沒多大現(xiàn)實意義. 因此，在18世界中葉，達(dá)朗貝爾把第五公設(shè)的證明問題稱為“幾何原理”中的家丑.

“數(shù)學(xué)王子”高斯在15歲的時候，也曾經(jīng)試圖證明過第五公設(shè)，并且他在證明其過程中有了新的發(fā)現(xiàn). 與此同時，高斯大學(xué)時代的同學(xué)——W.波爾約，雖然也曾經(jīng)從事第五公設(shè)的證明，但是沒有突出的成就. 在大學(xué)時代，老師認(rèn)為高斯和W.波爾約將是會在數(shù)學(xué)上有杰出成就的人，然而，最后揚名的只有高斯一人，原因可能是W.波爾約錯誤地把第五公設(shè)當(dāng)做了自己的研究對象，對此沒有突出的成就. 然而，W.波爾約的兒子約翰·波爾約在研究第五公設(shè)的問題時有了新的發(fā)現(xiàn). 21歲的約翰·波爾約在寫給父親的信中說：“我已從烏有中創(chuàng)造了整個世界.” 1823年，父親把兒子的成果《一個關(guān)于與歐幾里得平行公設(shè)無關(guān)的空間的絕對真實性學(xué)說》附在自己幾何著作之末，并把該書寄給高斯. 然而高斯回信說：“稱贊他就等于稱贊我自己，整篇文章的內(nèi)容，您兒子所采取的思路和獲得的結(jié)果，與我在30至35年前的思考不謀而合. ”回信使年輕的約翰·波爾約倍感失望，他認(rèn)為高斯剽竊了自己的成果，于是拋棄了心愛的數(shù)學(xué)，而去研究神學(xué)了. 但是為什么高斯在30年前發(fā)現(xiàn)的成果卻一直沒有發(fā)表呢？主要是因為他感到自己的發(fā)現(xiàn)與當(dāng)時流行的康德空間哲學(xué)相抵觸，擔(dān)心世俗的攻擊. 高斯雖有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，但對于此，卻怯于與傳統(tǒng)公開挑戰(zhàn). 其實在高斯的遺稿中可以了解到：第五公設(shè)不能從其他歐幾里得公理中推理出來，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何，他先稱之為《反歐幾里得幾何》，最后改成為《非歐幾何》. 而《非歐幾何》的誕生則是數(shù)學(xué)史上的一件大事，它開辟了幾何新領(lǐng)域.

那么，在高斯對自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣，約翰·波爾約又去研究神學(xué)之后，誰最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果呢？答案是羅巴切夫斯基，一個最堅定地宣傳和捍衛(wèi)了自己的新思想的偉大數(shù)學(xué)家. 他用與第五公設(shè)相反的斷言：通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線，作為替代公設(shè)，并由此出發(fā)進行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理，形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，這就是高斯遺稿中所命名的《非歐幾何》.

從第五公設(shè)的故事中可以看出數(shù)學(xué)家們對待數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性. 在我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，也應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)他們的這種懷疑一切的精神. 但是我們不能像約翰·波爾約一樣，因為別人比自己先出了成果，就認(rèn)為別人剽竊了自己的成果，最后自暴自棄，去研究神學(xué)；也不能像高斯一樣，為了自己“數(shù)學(xué)王子”的美譽，怯于與傳統(tǒng)挑戰(zhàn). 因此，我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候，更多的是要有對數(shù)學(xué)的好奇心和勇敢嘗試的心，要勇于嘗試一些新東西，也許可能只是一條題目的另一種證明，也許可能只是一條定理的另一種表述，但我相信這種探索和質(zhì)疑的態(tài)度，會讓我們更加熱愛數(shù)學(xué)，更加有熱情投入到數(shù)學(xué)的研究中去.

（作者單位：揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）