腦科學(xué)與認(rèn)知科學(xué)呈現(xiàn)出蓬勃發(fā)展的態(tài)勢(shì)，數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域的腦科學(xué)研究也取得了較為豐碩的研究成果，那么認(rèn)知科學(xué)、腦科學(xué)研究對(duì)理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)以及數(shù)學(xué)教育實(shí)踐有什么啟示，如何看待華人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)教育？為此，北京師范大學(xué)腦與數(shù)學(xué)認(rèn)知研究中心周新林教授、華南師范大學(xué)何小亞教授、北京師范大學(xué)張春莉教授、北京師范大學(xué)綦春霞教授、國(guó)立臺(tái)灣嘉義大學(xué)楊德清教授、東北師范大學(xué)孔凡哲教授、杭州師范大學(xué)鞏子坤教授等和來自各個(gè)學(xué)校的其他教師一道對(duì)這一問題進(jìn)行了深入研討。

一、腦、認(rèn)知科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

1.腦認(rèn)知與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

認(rèn)知科學(xué)作為一門新興的科學(xué)，主要是研究人腦或心智活動(dòng)機(jī)制的一門學(xué)科，得到世界科學(xué)家的普遍重視。國(guó)立臺(tái)中教育大學(xué)楊志堅(jiān)教授從國(guó)際數(shù)學(xué)成就在語(yǔ)法、語(yǔ)意及認(rèn)知神經(jīng)的意義方面展開論述。北京師范大學(xué)也設(shè)有腦與數(shù)學(xué)認(rèn)知研究中心，該中心的周新林教授以“腦認(rèn)知與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”為題在此次大會(huì)中作了主題報(bào)告。在作報(bào)告之前，周教授先給出了一個(gè)畫面，畫面上給出一些數(shù)字，有動(dòng)物在屏幕上點(diǎn)擊這些數(shù)字，然后詢問所有的參與人員，“大家記住這個(gè)順序了嗎，有動(dòng)物的速度快嗎？”其實(shí)，他是在告訴我們這就是動(dòng)物的數(shù)學(xué)大腦，由此引出此次報(bào)告所要講述的主要內(nèi)容，即數(shù)學(xué)潛能是比較大的，人也應(yīng)該具有這個(gè)能力，只是目前還沒有被開發(fā)，需要依靠數(shù)學(xué)教育。

同時(shí)，周教授指出研究腦科學(xué)就是希望用腦科學(xué)的方式來研究數(shù)學(xué)認(rèn)知與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而服務(wù)于中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育與教育實(shí)踐，并指出現(xiàn)在全球范圍內(nèi)有30多個(gè)腦科學(xué)與數(shù)學(xué)教育研究的實(shí)驗(yàn)室。那么，什么是腦科學(xué)方法？周教授認(rèn)為，簡(jiǎn)略地說就是用于心理與教育的腦科學(xué)方法，如腦成像、神經(jīng)心理學(xué)等，并從數(shù)目加工、數(shù)學(xué)腦、數(shù)學(xué)加工的語(yǔ)言作用、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、腦科學(xué)診斷與干預(yù)等方面來闡述腦、認(rèn)知科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系。

作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的數(shù)目加工，周教授指出，對(duì)數(shù)量進(jìn)行比較是動(dòng)物與人共有的能力。一些神經(jīng)元可以對(duì)點(diǎn)數(shù)進(jìn)行編元，這是數(shù)學(xué)起源與基礎(chǔ)的地方。從數(shù)目加工與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系來說，數(shù)感能力（數(shù)目加工）越好，數(shù)學(xué)成績(jī)就越好，數(shù)學(xué)能力就越強(qiáng)。因此，他認(rèn)為提高數(shù)目加工能力是干預(yù)計(jì)算障礙的基本方法。

何謂數(shù)學(xué)腦？周教授指出，數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵腦區(qū)是頂葉，但并不是說這個(gè)區(qū)域僅僅為數(shù)學(xué)服務(wù)，這是相對(duì)的，而是在將語(yǔ)言加工與數(shù)學(xué)加工進(jìn)行對(duì)比時(shí)，這個(gè)區(qū)域的數(shù)學(xué)加工比較發(fā)達(dá)，即為數(shù)學(xué)腦，這對(duì)數(shù)學(xué)教育來講至關(guān)重要。如果數(shù)學(xué)腦頂葉出現(xiàn)問題、大腦頂葉內(nèi)溝區(qū)域損傷后就會(huì)出現(xiàn)數(shù)字加工障礙，因此，他認(rèn)為存在數(shù)學(xué)腦意味著數(shù)學(xué)教育具有特殊性，不等同于語(yǔ)言教育，不能是一般教育規(guī)律的簡(jiǎn)單推廣，要根據(jù)數(shù)學(xué)腦的特征進(jìn)行數(shù)學(xué)的促進(jìn)與干預(yù)。

針對(duì)數(shù)學(xué)加工的語(yǔ)言作用，周教授認(rèn)為當(dāng)前雖然存在一定的爭(zhēng)論，但語(yǔ)言在數(shù)學(xué)中是可以發(fā)揮作用的。腦科學(xué)的研究有一定的意義，如在乘法大于加法、精算大于估算、計(jì)算大于推理、概念大于計(jì)算等領(lǐng)域，按照傳統(tǒng)行為進(jìn)行研究很難，但腦科學(xué)可以揭示為什么女生的計(jì)算能力要好于男生，指出數(shù)學(xué)存在穩(wěn)定的性別差異，并運(yùn)用偏相關(guān)的方法以8～9歲農(nóng)村與城市的學(xué)生進(jìn)行研究與驗(yàn)證。假設(shè)這些學(xué)生的語(yǔ)言能力相同，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們的計(jì)算能力彼此之間沒有差別，但如果假設(shè)這些學(xué)生除語(yǔ)言能力外其他的能力相等的話，男女生的計(jì)算能力差異依舊會(huì)存在，從而表明語(yǔ)言中存在一個(gè)認(rèn)知機(jī)制，會(huì)對(duì)數(shù)字、數(shù)感與數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)腦中的活躍區(qū)域發(fā)生影響，認(rèn)為語(yǔ)言參與數(shù)學(xué)的程度依賴數(shù)學(xué)的能力類型、數(shù)字與數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，基礎(chǔ)教育是可以為教育實(shí)踐提供參考的。

關(guān)于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與大腦的關(guān)系，周教授認(rèn)為學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)會(huì)塑造大腦的數(shù)學(xué)功能，不同的學(xué)習(xí)策略導(dǎo)致大腦的計(jì)算功能分離，如乘法口訣的背誦，指出乘法在語(yǔ)言區(qū)域的激活更強(qiáng)，加減法在視空間加工皮層的激活更強(qiáng)。同時(shí)，他也指出，方法不同，大腦功能就會(huì)不同；不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容會(huì)導(dǎo)致不同的數(shù)學(xué)知識(shí)長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)的形成，認(rèn)為從腦科學(xué)的角度而言，早期學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)塑造的大腦數(shù)學(xué)認(rèn)知功能具有即時(shí)性與穩(wěn)定性的特征，小學(xué)教師的責(zé)任比較重大，可以影響人的一生，進(jìn)而得出大腦數(shù)學(xué)功能具有可塑性與持久性的結(jié)論。

借助腦科學(xué)中的一個(gè)試驗(yàn)，即產(chǎn)生任務(wù)與閱讀任務(wù)的對(duì)比，周教授闡述了基于腦科學(xué)診斷與干預(yù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的內(nèi)容，主要是對(duì)學(xué)生、學(xué)業(yè)認(rèn)知、認(rèn)知與腦等進(jìn)行診斷，對(duì)腦、認(rèn)知、學(xué)業(yè)認(rèn)知與學(xué)業(yè)進(jìn)行干預(yù)，認(rèn)為產(chǎn)生任務(wù)多的話，大腦就會(huì)比較活躍，激發(fā)的越多，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果就會(huì)比較好，進(jìn)一步指出計(jì)算障礙的孩子，他們的大腦發(fā)育存在一定的問題，這一比例大概是3%～5%，并指出從心理學(xué)的角度來說，產(chǎn)生任務(wù)本質(zhì)上是一個(gè)做題的過程，這也從側(cè)面說明了做題的價(jià)值，認(rèn)為題海戰(zhàn)術(shù)有一定的道理。

2.腦與認(rèn)知科學(xué)方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中的運(yùn)用

腦與認(rèn)知科學(xué)作為一門新興的交叉學(xué)科，涉及傳統(tǒng)的心理學(xué)、教育學(xué)、生物學(xué)、信息科學(xué)、計(jì)算科學(xué)等學(xué)科，如何將它運(yùn)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，北京師范大學(xué)博士生張晗介紹了腦與認(rèn)知科學(xué)方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中的運(yùn)用，介紹了腦與認(rèn)知科學(xué)采用的一些方法，如腦成像，指出腦成像是采用現(xiàn)代物理學(xué)與生物化學(xué)原理呈現(xiàn)大腦結(jié)構(gòu)和功能活動(dòng)的技術(shù)手段，如磁共振成像、腦電圖、腦磁圖、光學(xué)成像等，其運(yùn)作機(jī)理是信息源，即參與活動(dòng)的被試在活動(dòng)中加工一些數(shù)學(xué)題目或者其他內(nèi)容，在這個(gè)過程中運(yùn)用腦成像的一些儀器對(duì)被試的大腦活動(dòng)進(jìn)行掃描與記錄，并對(duì)這些信息進(jìn)行整合、分析，最后得到他們進(jìn)行這些特殊加工時(shí)的大腦活動(dòng)情況，如大腦激活、神經(jīng)纖維束。在這里，張晗指出腦成像技術(shù)是一種無(wú)損傷的技術(shù)，可以直接觀察大腦的活動(dòng)，進(jìn)行數(shù)學(xué)加工與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但也會(huì)受到時(shí)間、空間分辨率的約束。

有關(guān)磁共振成像的原理，張晗指出它主要是利用電磁場(chǎng)去興奮大腦中的原子，這一過程所導(dǎo)致的磁場(chǎng)變化會(huì)被一臺(tái)環(huán)繞被試的外磁體所檢測(cè)，進(jìn)而由一臺(tái)計(jì)算機(jī)處理成三維大腦圖像。結(jié)合具體的研究——如何在具體的實(shí)踐中運(yùn)用磁共振成像的方法，她介紹了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，即被試是12名數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童和12名正常對(duì)照組兒童，對(duì)參與研究?jī)和?D大腦T2結(jié)構(gòu)像進(jìn)行掃描，借助工具包VBM與SPM進(jìn)行結(jié)構(gòu)像分離和灰質(zhì)密度對(duì)比分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)大腦左側(cè)頂內(nèi)溝區(qū)域，正常對(duì)照組的灰質(zhì)密度要大于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難組，也說明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的兒童不是他們不想學(xué)，不好好學(xué)，而是他們的大腦發(fā)育沒有給他們提供可以順利學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的生物學(xué)基礎(chǔ)。

對(duì)如何提高頂內(nèi)溝區(qū)域神經(jīng)元的興奮性，張晗認(rèn)為經(jīng)顱電刺激技術(shù)的應(yīng)用使其成為可能。經(jīng)顱電刺激技術(shù)是一種無(wú)創(chuàng)的神經(jīng)電生理技術(shù)，使用電脈沖刺激大腦特定區(qū)域的神經(jīng)元，暫時(shí)地興奮或抑制這一部位的神經(jīng)活動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)頂葉進(jìn)行經(jīng)顱電刺激能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這對(duì)我們今后改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童有很大的幫助。

此外，張晗還對(duì)心理學(xué)的實(shí)證研究方法進(jìn)行了介紹，指出借助專業(yè)的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，嚴(yán)格控制刺激的呈現(xiàn)，準(zhǔn)確地記錄被試的反應(yīng)時(shí)間和正確率，有助于發(fā)現(xiàn)彼此之間的因果聯(lián)系，并具體地闡述了他們運(yùn)用這一方法對(duì)中國(guó)幼兒園兒童在數(shù)字的心理數(shù)軸表征和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)方面的相關(guān)認(rèn)知機(jī)制進(jìn)行研究，指出中國(guó)幼兒園兒童具有較為顯著的數(shù)字—空間聯(lián)合編碼效應(yīng)（SNARC效應(yīng)），也就是說他們對(duì)小數(shù)字的反應(yīng)時(shí)間要短于大數(shù)字的反應(yīng)時(shí)間，即在兒童的頭腦中已經(jīng)存在一個(gè)心理數(shù)軸，具備數(shù)字空間的表征能力，即小數(shù)字在左邊、大數(shù)字在右邊。即使不通過課本進(jìn)行知識(shí)傳授，數(shù)軸在兒童的大腦中已經(jīng)自動(dòng)化地出現(xiàn)，從小數(shù)到大數(shù)，自左向右排列。

同時(shí)，在考查與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)密切相關(guān)的認(rèn)知機(jī)制時(shí)，她指出Numerosity與兒童數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)高相關(guān)，在考查兒童的數(shù)量或者數(shù)目能力時(shí)，收集學(xué)生早期數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)與WJ計(jì)算分測(cè)驗(yàn)，并將其和Numerosity成績(jī)進(jìn)行相關(guān)分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)Numerosity越高，其數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)與WJ計(jì)算分測(cè)驗(yàn)的成績(jī)就越高。此外，Numerosity與成人數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)高相關(guān)， Numerosity的強(qiáng)弱與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)的高低顯著相關(guān)。這也給我們一個(gè)啟示，那就是Numerosity是與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)相關(guān)的一個(gè)很重要的因素。此外，她指出通過對(duì)北京師范大學(xué)的一些研究生進(jìn)行高等數(shù)學(xué)能力與空間能力、語(yǔ)言思維能力等方面的相關(guān)測(cè)試，可以發(fā)現(xiàn)空間能力與高等數(shù)學(xué)成績(jī)高相關(guān)。

最后，張晗認(rèn)為在大數(shù)據(jù)時(shí)代如何開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究，利用信息科學(xué)技術(shù)快速收集、遠(yuǎn)程收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)成為可能，也使得基于大數(shù)據(jù)的分析成為可能，這有利于更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究。

3.概念圖在評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)概念性理解中的應(yīng)用

從認(rèn)知心理學(xué)，如知識(shí)表征、腦科學(xué)等視角，概念圖在理論層面與學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)存形式存在一定的共性；從數(shù)學(xué)概念本身的學(xué)習(xí)來說，數(shù)學(xué)概念之間也存在一定的關(guān)系；從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度而言，概念圖可以反映學(xué)生概念性理解中的知識(shí)缺失和理解性缺失，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。為此，南京師范大學(xué)講師金海月針對(duì)“概念圖在評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)概念性理解中的應(yīng)用”發(fā)言，指出通常意義下的概念理解是對(duì)單個(gè)概念從內(nèi)涵到外延的全面性把握，會(huì)涉及這個(gè)概念與其他概念的關(guān)系，但她主要強(qiáng)調(diào)的是對(duì)單個(gè)概念的理解。

概念性理解是對(duì)關(guān)系的把握。她認(rèn)為概念性理解可以劃分為三種層次，首先是單個(gè)概念，如定義、例和反例，以及不同的表征形式，對(duì)單個(gè)概念理解后才能建立概念之間的聯(lián)系；其次是概念間的相互聯(lián)系，如等值抽象、弱抽象、廣義抽象等；再次是應(yīng)用，不涉及操作層面的程序性知識(shí)，主要指的是對(duì)概念及其關(guān)系應(yīng)用的原理性認(rèn)識(shí)，指出概念性理解的重要性是學(xué)生靈活地運(yùn)用及在不同背景條件下恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用知識(shí)的前提條件。

此外，她還提出了一個(gè)跨領(lǐng)域的學(xué)習(xí)方法，即社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析法，將一些關(guān)系以社會(huì)網(wǎng)絡(luò)圖的形式刻畫出來，中間的結(jié)點(diǎn)表示個(gè)體，借助出度與入度，在一定程度上反映數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的社會(huì)地位與角色，同時(shí)它還有一條連線，表示距離與緊密程度，體現(xiàn)緊密度、交流度與可達(dá)性。此外，也會(huì)存在一定的從屬結(jié)構(gòu)、連通性與子群（小群體）。

在此次報(bào)告中，她指出她曾借助社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析法對(duì)江蘇省某初中二年級(jí)的48名學(xué)生就他們對(duì)有關(guān)方程、函數(shù)相關(guān)概念的概念性理解現(xiàn)狀進(jìn)行了試驗(yàn)分析，采用概念定義測(cè)試卷、概念構(gòu)圖測(cè)試卷與傳統(tǒng)題卷作為研究工具，結(jié)果發(fā)現(xiàn)概念定義測(cè)試、概念構(gòu)圖測(cè)試與傳統(tǒng)題三類試題在評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)概念性理解上都有一定的優(yōu)勢(shì)。但在概念圖中，學(xué)生很少提及相關(guān)概念的例或反例，這能夠反映出學(xué)生對(duì)概念的一些錯(cuò)誤理解與概念的組織結(jié)構(gòu)，能促進(jìn)他們今后的學(xué)習(xí)。同時(shí)，她也指出，前期對(duì)概念圖進(jìn)行培訓(xùn)與分析比較費(fèi)時(shí)，而且學(xué)生會(huì)遺漏或者回避一些聯(lián)系，假如這些聯(lián)系比較重要，而在學(xué)生的頭腦中這種聯(lián)系缺失的話，教師就要在教學(xué)過程中刻意地幫助學(xué)生建立這樣的聯(lián)系。

二、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究

1.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探索與鉆研

數(shù)學(xué)作為一門重要學(xué)科，教師怎樣“教”與學(xué)生怎樣“學(xué)”應(yīng)是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，那么如何改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，多年來眾多數(shù)學(xué)教育工作者與一線教師都進(jìn)行了不懈的探索與鉆研。美國(guó)特拉華大學(xué)蔡金法教授用做活動(dòng)的形式開始了他的講座內(nèi)容。這個(gè)活動(dòng)是在白紙上呈現(xiàn)一系列的詞語(yǔ)，這些詞語(yǔ)之間沒有聯(lián)系，但在這些詞中有一些是標(biāo)志詞，如A（北京 抄寫 北京）、B（北京 聯(lián)想 藍(lán)天）、C（北京 抄寫 北京 聯(lián)想 美麗），即A的標(biāo)志詞是“抄寫”，B的標(biāo)志詞是“聯(lián)想”、C的標(biāo)志詞是“抄寫”與“聯(lián)想”，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)“抄寫”或“聯(lián)想”，再將所給的詞語(yǔ)盡可能多地默寫出來，檢查默寫A、B、C類的數(shù)量，查看這些數(shù)量之間的差異。這個(gè)活動(dòng)結(jié)束后，蔡教授將他在其他地方做的相同活動(dòng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果給予簡(jiǎn)單的回顧，指出不管人數(shù)多少、地點(diǎn)在哪，結(jié)果是沒有什么差別的，認(rèn)為一旦抄寫與聯(lián)想同時(shí)存在的話，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果就會(huì)好一些，并用卡方檢驗(yàn)給予簡(jiǎn)單的描述性統(tǒng)計(jì)。

同時(shí)，蔡教授還講述了他做的另一項(xiàng)研究，即考查1 316名高中生是怎樣思考與感知數(shù)學(xué)的，他會(huì)詢問學(xué)生“如果數(shù)學(xué)是一種食物、顏色、動(dòng)物，它可能是什么，為什么？”讓學(xué)生來思考，并寫出自己的真實(shí)感受。有的學(xué)生會(huì)寫“數(shù)學(xué)像牛排，因?yàn)閿?shù)學(xué)是一個(gè)面很廣的學(xué)科。然而，牛排有的部分很硬很難啃。雖然整頓飯的最后還是滿意的，但吃的過程是挺費(fèi)力的”；也有的學(xué)生會(huì)寫“數(shù)學(xué)像蚊子，因?yàn)闊o(wú)論你試圖做什么躲避它，它總會(huì)回來的，讓我討厭的是每年都要上數(shù)學(xué)課，無(wú)論你試圖做什么以逃避數(shù)學(xué)課，你總不會(huì)得逞的”。通過這些語(yǔ)言，蔡教授認(rèn)為，可以看到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛與興趣的程度，并針對(duì)學(xué)生的回答分成5個(gè)等級(jí)（1—5分）進(jìn)行定量分析或者定性分析，揭示學(xué)生所使用的比喻類型以及原因，研究興趣對(duì)學(xué)習(xí)的影響。

此外，蔡教授指出他對(duì)美國(guó)聯(lián)邦政府支持的改革型課程與傳統(tǒng)型的課程進(jìn)行了長(zhǎng)期的跟蹤研究，研究對(duì)象是從六年級(jí)升到八年級(jí)的1 300名學(xué)生與升入高中后的1 000名學(xué)生，結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生從六年級(jí)升到八年級(jí)時(shí)，如果之前實(shí)施的是改革型課程，學(xué)生對(duì)問題理解的增長(zhǎng)情況要比傳統(tǒng)型課程來得好；在計(jì)算問題上，學(xué)習(xí)兩種課程的學(xué)生差不多，高中（9—12年級(jí)）學(xué)習(xí)兩種課程的學(xué)生在高中課程完全一樣的情況下，學(xué)習(xí)改革型課程的學(xué)生在數(shù)學(xué)態(tài)度與數(shù)學(xué)成績(jī)上都要高于學(xué)習(xí)傳統(tǒng)型課程的學(xué)生，這說明以問題解決為主的課程與教學(xué)有比較正面的影響。

2.理論研究與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

任何領(lǐng)域的研究都離不開理論的支撐，數(shù)學(xué)領(lǐng)域也不例外。來自東北師范大學(xué)的郭民副教授與史寧中教授從數(shù)感的發(fā)展規(guī)律與特征入手，具體介紹了其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的實(shí)證研究。他們認(rèn)為數(shù)感是人們對(duì)數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種感悟，以及運(yùn)用數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式進(jìn)行推理與解決問題的能力，但這一定義有待商榷，同時(shí)也指出綜合已有文獻(xiàn)與《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，數(shù)感的構(gòu)成要素包括數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)的關(guān)系、數(shù)的運(yùn)算、數(shù)的估算、數(shù)的問題解決，并對(duì)小學(xué)生數(shù)感發(fā)展階段做了一個(gè)假設(shè)性劃分，即數(shù)覺階段，在還未建立數(shù)概念符號(hào)時(shí)對(duì)數(shù)的大小與多少形成的直觀感受；符號(hào)階段，基于數(shù)覺，依靠知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)技能發(fā)展起來的建立在概念符號(hào)基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)和數(shù)字關(guān)系的感悟能力；模型階段，或者問題解決階段，建立在模型基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的感悟，以及運(yùn)用數(shù)字進(jìn)行推理與解決問題的能力。

此外，他們還對(duì)小學(xué)教師進(jìn)行了問卷調(diào)查與訪談，研究發(fā)現(xiàn)90%的教師知道課程標(biāo)準(zhǔn)中有數(shù)感概念，但不知道數(shù)感是什么；80%的教師認(rèn)為數(shù)感比較重要，但不知道怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。通過測(cè)試與分析，郭教授認(rèn)為，總體而言，小學(xué)生的數(shù)感發(fā)展水平隨著年級(jí)的升高逐漸提高，二年級(jí)與三年級(jí)學(xué)生的數(shù)感發(fā)展水平存在顯著差異，三年級(jí)與四年級(jí)、四年級(jí)與五年級(jí)學(xué)生的數(shù)感發(fā)展水平并不存在顯著差異，五年級(jí)與六年級(jí)學(xué)生的數(shù)感發(fā)展水平則存在顯著性的差異；對(duì)各個(gè)分測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析，可以得知二年級(jí)的學(xué)生處于第一個(gè)發(fā)展階段，三至五年級(jí)的學(xué)生處于第二發(fā)展階段，六年級(jí)的學(xué)生處于第三發(fā)展階段?；诖?，他們認(rèn)為教師可以對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程進(jìn)行內(nèi)容設(shè)計(jì)，在一二年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中設(shè)計(jì)數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)的關(guān)系與數(shù)的運(yùn)算的部分內(nèi)容；在三至五年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中設(shè)計(jì)數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)的關(guān)系、數(shù)的運(yùn)算的全部?jī)?nèi)容和數(shù)的估算、數(shù)的問題解決的部分內(nèi)容；六年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可以設(shè)計(jì)數(shù)的估算、數(shù)的問題解決的其他內(nèi)容。

在數(shù)學(xué)理論研究層面，人們不僅對(duì)數(shù)感內(nèi)容進(jìn)行了研究，還以基膜導(dǎo)向數(shù)學(xué)理論為理論基礎(chǔ)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行了研究。來自國(guó)立臺(tái)中教育大學(xué)的陳嘉皇教授指出，2014年8月臺(tái)灣地區(qū)開始實(shí)施“十二年國(guó)民基本教育”，主要是想培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算與理解的能力、抽象化的能力與在日常生活中運(yùn)用與推理的能力。他認(rèn)為基膜是一種認(rèn)知機(jī)制，可存儲(chǔ)、綜合、歸納及提取經(jīng)驗(yàn)，讓個(gè)體組織相似的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而協(xié)助辨別額外的經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)單地說就是學(xué)生正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念與技巧，而教師的任務(wù)就是怎樣發(fā)現(xiàn)、激活學(xué)生大腦中已有的基膜與能力。因此，陳教授認(rèn)為基膜導(dǎo)向解題教學(xué)的操作歷程是辨識(shí)問題情境中運(yùn)用的基膜關(guān)聯(lián)知識(shí)，將問題或問題類型里重要的元素予以配對(duì)及呈現(xiàn)其關(guān)系，計(jì)劃和選擇所核實(shí)的數(shù)學(xué)等式進(jìn)行運(yùn)算及執(zhí)行此計(jì)劃。同時(shí)，他以某公立小學(xué)一年級(jí)升入二年級(jí)的26名學(xué)生進(jìn)行前測(cè)后選擇12名學(xué)生，按照高低分分成兩組進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，主要測(cè)試的題型包括數(shù)學(xué)算式對(duì)錯(cuò)判斷問題、數(shù)字填充問題和相等概念配合題，一個(gè)月后進(jìn)行后測(cè)。通過研究，陳教授指出，經(jīng)過基膜導(dǎo)向解題教學(xué)實(shí)驗(yàn)后，學(xué)生能夠獲得等號(hào)反身性、單邊運(yùn)算與雙邊運(yùn)算相等關(guān)系的概念，學(xué)生學(xué)習(xí)等號(hào)概念的路徑從單邊運(yùn)算、反身性、雙邊運(yùn)算的教學(xué)效果最佳；其次是反身運(yùn)算、單邊運(yùn)算、雙邊運(yùn)算；依據(jù)學(xué)生認(rèn)知能力差異，等號(hào)概念之間的轉(zhuǎn)化與連接有不同的表現(xiàn)。而且，陳教授還對(duì)臺(tái)灣南部某公立小學(xué)六年級(jí)33名學(xué)生運(yùn)用一般化基膜進(jìn)行圖形規(guī)律問題研究，針對(duì)學(xué)生發(fā)想、鏈接與歸納三個(gè)階段對(duì)他們的解題過程進(jìn)行分析，他指出，從發(fā)想階段來看，學(xué)生會(huì)運(yùn)用兩種模式進(jìn)行發(fā)想，一是整體圖形關(guān)系、部分結(jié)構(gòu)要素，二是乘法、加法、乘法與加法的結(jié)合；在鏈接與歸納階段，學(xué)生也會(huì)有自己的想法。

因此，陳教授指出，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)一定要有一定的基本能力。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上，基膜已成為代數(shù)知識(shí)研究與模式化知識(shí)過程的一個(gè)重要的理論工具。在組織與拓展代數(shù)知識(shí)上，學(xué)生若能成功地發(fā)展變數(shù)的基膜，就可以拓展到等式、函數(shù)的概念，有助于提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成績(jī)。

3.教學(xué)實(shí)踐與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》頒布以來，有關(guān)立體幾何部分課程結(jié)構(gòu)和教學(xué)要求的調(diào)整引起了人們的許多爭(zhēng)論，為此，來自常熟理工學(xué)院的黃興豐、裔晶晶與楊丹丹指出，根據(jù)范希爾理論，學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)分為5個(gè)水平，即視覺、描述/分析、抽象/關(guān)系、形式演繹、嚴(yán)謹(jǐn)/元數(shù)學(xué)等，但范希爾理論存在一個(gè)問題，即它認(rèn)為學(xué)生幾何思維的發(fā)展有先后順序，只有達(dá)到前一個(gè)水平后，才有可能跳躍到后一個(gè)水平。在現(xiàn)實(shí)生活中，很多學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律和范希爾理論是不一致的，且學(xué)生的思維水平一般達(dá)不到元數(shù)學(xué)的水平。因而，他們指出，1999年意大利學(xué)者Gutiérrez斷言，人的幾何思維發(fā)展可能是連續(xù)的，可能各個(gè)水平的發(fā)展會(huì)同時(shí)發(fā)生，并非單一的，所以，他們引入四維向量對(duì)范希爾理論的5個(gè)水平給予表示，說明其四個(gè)方向上都可以發(fā)展，并將每個(gè)水平分成5個(gè)連續(xù)的發(fā)展階段，即未獲得（水平1）、低水平獲得（水平2）、中等水平獲得（水平3）、高水平獲得（水平4）、完全獲得（水平5），運(yùn)用定量的數(shù)值區(qū)間（0～100）刻畫學(xué)生在各個(gè)水平上的發(fā)展?fàn)顩r。為了驗(yàn)證這一理論的科學(xué)性，他們對(duì)蘇南某縣的7所普通高中內(nèi)最好、最差與排名中間的學(xué)校的高三學(xué)生進(jìn)行具體分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，高三學(xué)生在水平1、水平2上沒有什么問題，如果說在水平3上還可以的話，那么學(xué)生在水平4上則表現(xiàn)得很低，處于未獲得、低水平獲得階段，從而他們指出大部分學(xué)生的思維發(fā)展屬于水平2到水平4，并在前兩個(gè)水平上得到了充分發(fā)展，在后兩個(gè)水平上有待提升，尚處于數(shù)學(xué)推理階段。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開樣例（教材中的例題）的學(xué)習(xí)。通過樣例學(xué)習(xí)，掌握一定的知識(shí)與技能，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。那么怎樣才能了解學(xué)生能否通過數(shù)學(xué)運(yùn)算的樣例學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟、歸納運(yùn)算規(guī)則呢？為此，來自遼寧師范大學(xué)的張奇教授針對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)進(jìn)行了研究。他主要做了三個(gè)實(shí)驗(yàn)，第一個(gè)實(shí)驗(yàn)是對(duì)二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行“四則混合運(yùn)算”的樣例研究，考查他們能否通過運(yùn)算樣例學(xué)會(huì)四則混合運(yùn)算，把某個(gè)運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行分解，如無(wú)括號(hào)、小括號(hào)、中括號(hào)，他指出多數(shù)被試可以通過樣例學(xué)會(huì)小括號(hào)與中括號(hào)的運(yùn)算規(guī)則，但他們很難學(xué)會(huì)無(wú)括號(hào)的四則混合運(yùn)算法則。第二個(gè)實(shí)驗(yàn)是選擇小學(xué)三至五年級(jí)的學(xué)生作為被試，以“有理數(shù)去括號(hào)”的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行樣例學(xué)習(xí)，每個(gè)運(yùn)算規(guī)則設(shè)計(jì)2個(gè)運(yùn)算樣例，在樣例學(xué)習(xí)階段增加樣例歸類作業(yè)，最后他指出3個(gè)年級(jí)的學(xué)生可以不同程度地學(xué)會(huì)去括號(hào)的運(yùn)算規(guī)則，前2個(gè)子規(guī)則的樣例成績(jī)要顯著好于后2個(gè)子規(guī)則，而且年級(jí)越高，成績(jī)?cè)胶?，存在一定的年?jí)差異。第三個(gè)實(shí)驗(yàn)是代數(shù)運(yùn)算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)，對(duì)“完全平方和”與“平方差”進(jìn)行樣例學(xué)習(xí)，考查六年級(jí)學(xué)生能否通過運(yùn)算樣例學(xué)會(huì)代數(shù)規(guī)則。研究表明多數(shù)被試很難學(xué)會(huì)“平方差”的運(yùn)算規(guī)則，少數(shù)被試可以學(xué)會(huì)“完全平方和”的運(yùn)算規(guī)則。那為什么代數(shù)運(yùn)算規(guī)則比較難呢？為此，張教授進(jìn)行了深入的探索，認(rèn)為代數(shù)運(yùn)算符號(hào)存在一定的變化，學(xué)生可能不理解代數(shù)運(yùn)算符號(hào)，在符號(hào)代替數(shù)字方面存在一定的難度?；诖?，張教授指出，教師可以用已經(jīng)學(xué)過的運(yùn)算符號(hào)與運(yùn)算規(guī)則來解釋新的運(yùn)算符號(hào)，可以用解釋法設(shè)計(jì)樣例，如5×3=5+5+5，此外，還可以運(yùn)用解釋—標(biāo)記法，用虛線進(jìn)行標(biāo)記，并針對(duì)此內(nèi)容進(jìn)行了對(duì)照實(shí)驗(yàn)。他指出，研究發(fā)現(xiàn)有轉(zhuǎn)換標(biāo)記組的樣例學(xué)習(xí)遷移成績(jī)明顯優(yōu)于對(duì)照組，而且解釋法的樣例設(shè)計(jì)在“對(duì)數(shù)運(yùn)算”的樣例學(xué)習(xí)中發(fā)揮著有效的促進(jìn)作用。最后，張教授指出，樣例學(xué)習(xí)是自主學(xué)習(xí)，但要從教學(xué)效果上進(jìn)行樣例設(shè)計(jì)，符合不同個(gè)體的需求，對(duì)優(yōu)秀學(xué)生，樣例要有一定的難度，解釋與標(biāo)記少一點(diǎn)；對(duì)學(xué)困生，要增加一些標(biāo)記，使其學(xué)習(xí)更容易些，增強(qiáng)他們自主學(xué)習(xí)的成就感。但同時(shí)，張教授也指出樣例學(xué)習(xí)并不是主流方式，只是起輔助作用，是提供學(xué)生自主學(xué)習(xí)的方法。

任何一個(gè)運(yùn)算都要了解運(yùn)算的意義、算理與法則，小數(shù)乘法的意義也不例外。然而，教師不應(yīng)該用整數(shù)乘法的意義來代表小數(shù)乘法的意義，為此，來自杭州師范大學(xué)的鞏子坤教授通過對(duì)小數(shù)乘法意義的調(diào)查研究來分析學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)意義的理解水平。他主要對(duì)兩所城市學(xué)校的2個(gè)班級(jí)（五、六年級(jí)）的學(xué)生進(jìn)行研究，采用質(zhì)與量的問卷調(diào)查法了解學(xué)生理解水平的縱向變化，對(duì)符號(hào)到語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化、從現(xiàn)實(shí)情境到語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化、從語(yǔ)言到符號(hào)的轉(zhuǎn)化、從符號(hào)到現(xiàn)實(shí)的轉(zhuǎn)化、用圖示直觀表征等5類問題進(jìn)行分析。根據(jù)研究結(jié)果，鞏教授認(rèn)為對(duì)小數(shù)乘法意義的正確理解主要有：第一，從書面符號(hào)表征到口頭語(yǔ)言表征的轉(zhuǎn)化，如8.2×10的意義是什么？第二，從口頭語(yǔ)言表征到書面符號(hào)表征的轉(zhuǎn)化，6個(gè)2.05的和是多少？第三，直接敘述小學(xué)乘法的意義，如一個(gè)數(shù)乘小數(shù)的意義是什么？第四，從現(xiàn)實(shí)情境表征到書面符號(hào)表征的轉(zhuǎn)化，如小明有7.5千克蘋果，小華的蘋果是小明的32%，小明有多少千克蘋果？給出現(xiàn)實(shí)背景，列出式子。第五，從書面符號(hào)表征到現(xiàn)實(shí)情境的表征。同時(shí)，他也指出了對(duì)小數(shù)乘法意義的錯(cuò)誤理解有：第一，整數(shù)運(yùn)算的負(fù)遷移，如加與和、用幾個(gè)幾的和來表征；第二，關(guān)鍵字策略，如出現(xiàn)“和”字、“取走”與“用”字；第三，分?jǐn)?shù)知識(shí)欠缺、錯(cuò)誤的分?jǐn)?shù)表征、混淆分?jǐn)?shù)的絕對(duì)性與相對(duì)性、肢解分?jǐn)?shù)的意義……最后，鞏教授認(rèn)為由于小數(shù)乘法具有層次性與有限性，學(xué)生的分?jǐn)?shù)知識(shí)有限且教材內(nèi)容的設(shè)計(jì)使學(xué)生對(duì)小數(shù)乘法意義的理解有限，在今后的教學(xué)中教師應(yīng)加強(qiáng)分?jǐn)?shù)教學(xué)，豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)也要改變教科書的呈現(xiàn)順序，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并注重直觀教學(xué)。

幼兒園的孩子對(duì)某些問題會(huì)解決得很好，但進(jìn)入小學(xué)之后會(huì)出現(xiàn)一些不能理解的錯(cuò)誤，那我國(guó)是不是也存在這樣的問題，為此，北京石景山區(qū)蘋果園第二小學(xué)教師張嶺通過對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)理解加減法運(yùn)算意義中所形成的“情境原型”的研究試圖對(duì)這一問題進(jìn)行回答。張嶺指出，“情境原型”指的是與加減乘除這四種一步運(yùn)算相對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)情境，加減的“現(xiàn)實(shí)情境”原型有聚合、比較、增加性變化與減少性變化。通過對(duì)北京郊區(qū)縣一至三年級(jí)的500名學(xué)生進(jìn)行抽樣測(cè)試、追蹤訪談和比較研究，深入了解了學(xué)生用加減法原型解決問題中會(huì)遇到的主要困難，也探查了影響學(xué)生解決問題的可能影響因素。在他的研究中可以看到，學(xué)生會(huì)遇到的主要困難是見“多”就加、見“少”就減、看見“還?！本蜏p、見“飛”就減、看見“一共”就加等。因此，他認(rèn)為學(xué)生對(duì)加法的聚合、增加變化與減法的減少變化理解得比較多，但對(duì)比較原型的掌握比較困難，指出從中找到一些可以應(yīng)用的步驟對(duì)其給予正確理解、與正確計(jì)算方法對(duì)接、避免一些錯(cuò)誤定勢(shì)，這對(duì)問題的理解與表征比較重要。教師在教學(xué)過程中要注意利用好直觀的教具與學(xué)具，做好直觀學(xué)具與抽象算式之間的溝通。

評(píng)價(jià)=事實(shí)描述+價(jià)值判斷+增值探索。北京教育學(xué)院張丹教授認(rèn)為對(duì)評(píng)價(jià)的認(rèn)識(shí)不僅需要進(jìn)行測(cè)量，還要有事實(shí)的描述，進(jìn)行一定的價(jià)值判斷。她講述了她們?cè)?013年對(duì)東、中、西部地區(qū)的三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行的“數(shù)的運(yùn)算”掌握情況的調(diào)查，重點(diǎn)對(duì)東部某省的情況進(jìn)行了分析。根據(jù)課標(biāo)的要求，張教授將能力維度分為了解、理解、掌握與運(yùn)用，將內(nèi)容維度分為數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率，并圍繞“數(shù)的運(yùn)算”設(shè)計(jì)了一定的題目。她指出，測(cè)試結(jié)果表明學(xué)生在如何理解這一定義上遇到了較大的問題，在“計(jì)算與算理”方面的正答率較高，但在“估算”作答方面，學(xué)生在判斷是否符合題目要求時(shí)發(fā)生了錯(cuò)誤。因此，張教授認(rèn)為，在運(yùn)算意義方面，三年級(jí)學(xué)生在熟悉的實(shí)際情境到符號(hào)的轉(zhuǎn)化、符號(hào)到圖形表征的轉(zhuǎn)化方面表現(xiàn)得不錯(cuò)，同時(shí)指出他們還會(huì)進(jìn)一步對(duì)現(xiàn)實(shí)情境、圖形表征、文字表征、符號(hào)表征的其他轉(zhuǎn)化方面開展測(cè)試；在計(jì)算和算理方面，需要進(jìn)一步研究學(xué)生能完成什么樣的任務(wù)才能說明其在算理理解上達(dá)到合格水平；在估算方面，主要集中在四舍五入與余數(shù)計(jì)算上，不少學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)不能很好地捕捉到復(fù)雜情境中的信息。為此，她認(rèn)為教師要重視教材和具體情境，鼓勵(lì)學(xué)生列式，重視對(duì)算式的理解與解釋，避免將估算當(dāng)作近似計(jì)算、四舍五入等進(jìn)行教學(xué)，使得學(xué)生不會(huì)根據(jù)實(shí)際情境進(jìn)行大估。

4. 中考數(shù)學(xué)改革趨勢(shì)分析

評(píng)價(jià)改革是制約教育改革的瓶頸，“你考什么我就教什么”的傳統(tǒng)習(xí)慣一直是我國(guó)中小學(xué)校遵循的潛規(guī)則，更被社會(huì)廣泛認(rèn)同。如何切實(shí)發(fā)揮中考的“指揮棒”作用，讓中考切實(shí)引領(lǐng)初中數(shù)學(xué)日常教學(xué)走向科學(xué)、規(guī)范之路，成為中考改革的關(guān)鍵，中考命題與評(píng)價(jià)的研究也成為促進(jìn)教育改革的關(guān)鍵點(diǎn)。吉林市第二十九中學(xué)教師朱航與吉林省教育學(xué)院副教授孟祥靜基于全國(guó)中考數(shù)學(xué)的命題趨勢(shì)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的改革趨勢(shì)進(jìn)行了分析，指出今后中考數(shù)學(xué)命題會(huì)突出“四基”與“四能”的考查，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，主要表現(xiàn)在繼續(xù)強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的考查、注重?cái)?shù)學(xué)基本思想與數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，以期以探究的形式有效地引導(dǎo)學(xué)生提出有價(jià)值的問題。此外，他們認(rèn)為中考試題要體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，豐富他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，有效地評(píng)價(jià)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況。

此外，在“四基”的考查方式方面，如何避免機(jī)械記憶、重復(fù)訓(xùn)練，如何改變簡(jiǎn)單地、機(jī)械化地解答數(shù)學(xué)題的模式，也是他們要重點(diǎn)探索的問題。他們同時(shí)也希望對(duì)“四基”的考查能關(guān)注對(duì)初中階段核心知識(shí)、核心思想的真正理解和靈活運(yùn)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)未來公民素養(yǎng)培養(yǎng)的普及性與基礎(chǔ)性。在“四能”的考查方面，他們認(rèn)為在如何分析與解決問題的基礎(chǔ)上要為學(xué)生留有發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的空間，給予合理的評(píng)價(jià)，關(guān)注學(xué)生應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新思維的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展性。

三、有關(guān)數(shù)學(xué)教育與教學(xué)評(píng)價(jià)的研究

我國(guó)基礎(chǔ)教育課程改革已進(jìn)行多年，如何更好地觀察基礎(chǔ)教育課程改革下的課程教學(xué)實(shí)踐的變化，對(duì)課程教師教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，來自深圳大學(xué)的講師李小青與來自香港中文大學(xué)的倪玉菁教授具體講述了課堂教師教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)工具的編制過程，采用自我報(bào)告法與觀察法對(duì)課程改革背景下的教師教學(xué)情況進(jìn)行了評(píng)價(jià)，通過編制本土化的教師課堂教學(xué)質(zhì)量觀測(cè)工具，關(guān)注數(shù)學(xué)課堂師生對(duì)話的狀況，從對(duì)話內(nèi)容中對(duì)教師課堂質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估。她指出，她們主要是從解釋性的教學(xué)行為進(jìn)行評(píng)估的，認(rèn)為教學(xué)性解釋是課堂中教師和學(xué)生共同建構(gòu)的、服務(wù)于教學(xué)的、用以回答學(xué)科的各種疑問，指出評(píng)價(jià)工具的編制視角有科學(xué)哲學(xué)、傳播學(xué)、教學(xué)，工具編制的主要維度是準(zhǔn)確性、豐富性與連貫性。同時(shí)，她指出準(zhǔn)確性指的是教師在解釋中能夠提供準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是準(zhǔn)確無(wú)誤的；豐富性指的是教師能夠?yàn)閷W(xué)生呈現(xiàn)豐富的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，能夠使用一題多解的方式，能夠聯(lián)系核心數(shù)學(xué)概念及法則；連貫性指的是解釋圍繞一個(gè)內(nèi)容展開，教師能夠積極地回應(yīng)學(xué)生作答。同時(shí)，她還對(duì)河南鄭州20個(gè)學(xué)校58名五年級(jí)教師連續(xù)3節(jié)課的錄像進(jìn)行分析，對(duì)教師的解釋與延伸性對(duì)話等教學(xué)片斷進(jìn)行評(píng)估。通過檢測(cè)，她指出這個(gè)工具具有穩(wěn)定性，信度也比較好，在內(nèi)容效度、準(zhǔn)則關(guān)聯(lián)效度方面的效果較佳，但結(jié)構(gòu)效度有待提高，認(rèn)為這一研究工具能夠運(yùn)用在指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐上，幫助教師了解和反思個(gè)人教學(xué)，為評(píng)價(jià)新課程改革下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教師教學(xué)狀況，尤其是課堂師生對(duì)話的狀況提供一定的參考。

區(qū)域教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)主要是為了測(cè)評(píng)、改進(jìn)與提升教育質(zhì)量，以能力為導(dǎo)向、以常模參照為標(biāo)準(zhǔn)、以診斷改進(jìn)為功能。來自北京師范大學(xué)的張新顏、王祎及淮北師范學(xué)院副教授李孝誠(chéng)針對(duì)初中八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本情況進(jìn)行了匯報(bào)，認(rèn)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人的潛在能力，要將素養(yǎng)聚焦在能力上，并指出數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)存在三個(gè)視角，即價(jià)值取向、要素取向和能力取向，同時(shí)也指出在這個(gè)研究中主要采用要素取向，認(rèn)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)的核心領(lǐng)域?yàn)楦拍罾斫狻⑦\(yùn)算、推理、幾何直觀。他們主要針對(duì)639所中學(xué)初中九年級(jí)83 792人（內(nèi)容是八年級(jí)的）進(jìn)行學(xué)業(yè)的紙筆測(cè)驗(yàn)，主要測(cè)試內(nèi)容是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率。為了保證數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)驗(yàn)的信度與效度，采用專家評(píng)定法與加權(quán)平均的方式確定測(cè)評(píng)題目。在概念理解與推理問題上，學(xué)生的不合格率是5%，且概念理解的優(yōu)秀率要明顯高于推理，而且成績(jī)較好的學(xué)生在概念理解與推理上的能力更強(qiáng)。不同性別的學(xué)生差異不明顯，差異關(guān)鍵體現(xiàn)在地區(qū)性質(zhì)、教學(xué)資源的分配上。因此，他們認(rèn)為應(yīng)建立“以能力為導(dǎo)向、以標(biāo)準(zhǔn)為參照、以診斷與改進(jìn)為主要功能”的學(xué)業(yè)測(cè)評(píng)標(biāo)準(zhǔn)，在教學(xué)過程中關(guān)注差異，尤其是學(xué)校之間的差異。

教學(xué)是一種特殊的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，是學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的以師生之間溝通活動(dòng)為主的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)?；诰G色理念的數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)要有四個(gè)基本原則，即評(píng)價(jià)指標(biāo)要兼顧科學(xué)性與可操作性、內(nèi)容要兼顧教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”、方法要兼顧定量與定性方法的結(jié)合、評(píng)價(jià)功能重在診斷與改進(jìn)。北京師范大學(xué)教授綦春霞、淮北師范大學(xué)副教授李孝誠(chéng)和北京石景山區(qū)基礎(chǔ)教育研究中心教師李文從促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的視角闡述了初中數(shù)學(xué)綠色課堂教學(xué)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的科學(xué)性、學(xué)生參與的主動(dòng)性、學(xué)生個(gè)人和教師共同體關(guān)系的處理及活動(dòng)規(guī)則創(chuàng)設(shè)的方式與有效分工，分為4個(gè)維度，即教學(xué)內(nèi)容的處理、教學(xué)組織形式的選擇、對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)注、師生情感交流場(chǎng)的建立，共27項(xiàng)內(nèi)容。此外，他們還進(jìn)行了一定的統(tǒng)計(jì)分析，從中發(fā)現(xiàn)教師的6個(gè)專業(yè)素養(yǎng)，即對(duì)學(xué)生的關(guān)注、教學(xué)方法、教學(xué)效果、師生的可持續(xù)發(fā)展、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)本質(zhì)的關(guān)注，并對(duì)其進(jìn)行分解組合，從而形成數(shù)學(xué)綠色課堂教學(xué)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。為了進(jìn)一步檢驗(yàn)初中數(shù)學(xué)綠色課堂教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的科學(xué)性與操作性，他們?cè)谑吧絽^(qū)的3個(gè)學(xué)校進(jìn)行了一個(gè)學(xué)期的試用，并對(duì)指標(biāo)體系進(jìn)行研討與優(yōu)化，指出評(píng)價(jià)指標(biāo)維度要精簡(jiǎn)，指標(biāo)內(nèi)容要精確化，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)綠色課堂的基本特征，最好實(shí)行等級(jí)評(píng)分制；要內(nèi)化綠色課堂的基本理念，構(gòu)建和諧的課堂文化；符合初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展；凸顯初中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的理解；引領(lǐng)教師反思，促進(jìn)教師專業(yè)化發(fā)展。

現(xiàn)代教育評(píng)價(jià)強(qiáng)調(diào)建立一個(gè)評(píng)價(jià)目標(biāo)多元、評(píng)價(jià)方法多樣的發(fā)展性評(píng)價(jià)體系，強(qiáng)調(diào)發(fā)展性與過程性評(píng)價(jià)。為此，北京師范大學(xué)張春莉教授從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展性評(píng)價(jià)入手進(jìn)行了理論與實(shí)踐的探究，認(rèn)為新課程改革之后，學(xué)校教育發(fā)生了很大的變化，教師不再僅僅以成績(jī)來評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，把學(xué)生的學(xué)習(xí)能力體現(xiàn)在他們的各種學(xué)習(xí)活動(dòng)實(shí)踐中，在能力上相互促進(jìn)與影響。同時(shí)，她指出了七種多樣化的評(píng)價(jià)方法，如日常觀察、紙筆測(cè)試、表現(xiàn)性任務(wù)、成長(zhǎng)記錄袋、二次評(píng)價(jià)、評(píng)語(yǔ)、家校合作，并進(jìn)行具體的闡述，認(rèn)為日常觀察主要是對(duì)學(xué)生的學(xué)校表現(xiàn)、綜合素質(zhì)進(jìn)行關(guān)注，認(rèn)為激勵(lì)不等于一味地表?yè)P(yáng)，正確地指導(dǎo)與批評(píng)也是必須的；在進(jìn)行紙筆測(cè)驗(yàn)時(shí)，不但要重視結(jié)果，更要重視過程，要淡化橫向比較，加強(qiáng)縱向比較，并且要對(duì)高低年級(jí)的學(xué)生體現(xiàn)出不同的人文關(guān)懷；表現(xiàn)性任務(wù)是要挖掘兒童熟悉的情景，進(jìn)行動(dòng)手操作，要有民主和諧的課堂氛圍，在教材中加強(qiáng)嵌入式的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)；成長(zhǎng)記錄袋要體現(xiàn)評(píng)價(jià)的激勵(lì)、學(xué)習(xí)、教育等功能，具有鮮明的學(xué)科性與可操作性，重視發(fā)展學(xué)生的個(gè)性，進(jìn)行多元性評(píng)價(jià)，但要體現(xiàn)出年級(jí)之間的差異；二次評(píng)價(jià)，是“要我改”變?yōu)椤拔乙摹保菇逃龔某晒ψ呦颉俺晒Α?，采用重考與免考制度；評(píng)語(yǔ)要在平時(shí)收集，有感而發(fā)，進(jìn)行較正規(guī)的階段性總結(jié)，以論點(diǎn)與論據(jù)結(jié)合的方式呈現(xiàn)；家校合作的聯(lián)系方式有卡片、網(wǎng)絡(luò)、信息等，將學(xué)生的表現(xiàn)呈現(xiàn)給家長(zhǎng)，但要防止完全依賴家?；ヂ?lián)平臺(tái)而忽視與學(xué)生面對(duì)面地交流與對(duì)話，還要考慮如何尊重學(xué)生的隱私權(quán)。最后，她指出，數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)未來的研究方向是如何將評(píng)價(jià)更好地融入到教學(xué)中，為教學(xué)服務(wù)；如何使評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)做到公平、公正與公開；如何在實(shí)踐中使各種評(píng)價(jià)工具協(xié)調(diào)一致地發(fā)揮作用。

不管是基礎(chǔ)教育課程改革提倡的發(fā)展性評(píng)價(jià)，抑或是當(dāng)前我國(guó)提倡的綠色評(píng)價(jià)，其根本宗旨就是促進(jìn)學(xué)生終身的可持續(xù)發(fā)展，因此，東北師范大學(xué)南湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校的孔凡哲等認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)要關(guān)注過程與結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生的潛質(zhì)，要基于可持續(xù)發(fā)展的視角進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的評(píng)價(jià)研究，指出評(píng)價(jià)的內(nèi)容應(yīng)有濃厚的學(xué)習(xí)興趣、良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、科學(xué)的學(xué)習(xí)方法、健全的身心、初步的社會(huì)責(zé)任感、向上的精神與創(chuàng)造的激情。同時(shí)，他們認(rèn)為要有將激勵(lì)、診斷與改進(jìn)等多種功能融為一體引導(dǎo)學(xué)生開竅的課堂即時(shí)性評(píng)價(jià)，有聚焦理解性掌握、關(guān)注測(cè)評(píng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)新知的自我建構(gòu)過程的數(shù)學(xué)口試，有關(guān)注興趣、方法、應(yīng)用意識(shí)等的綜合性專題活動(dòng)評(píng)價(jià)，從而激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛質(zhì)，有效地發(fā)揮評(píng)價(jià)的多元功能。同時(shí)，該校教師還講述了他們運(yùn)用電腦語(yǔ)言輔助評(píng)價(jià)對(duì)課堂評(píng)價(jià)的一些案例，認(rèn)為在課內(nèi)外評(píng)價(jià)方面，要采用“課內(nèi)鋪墊+課外評(píng)價(jià)拓展+多角度評(píng)價(jià)卡”相結(jié)合的方式進(jìn)行整合性評(píng)價(jià)。最后，他們認(rèn)為學(xué)校教育需要潛移默化，從自然的人到社會(huì)的人，而數(shù)學(xué)教育的作用在于幫助學(xué)生開啟一扇思維之窗、啟迪學(xué)生終身受用的智慧。評(píng)價(jià)不僅在于甄別、檢測(cè)，更在于激勵(lì)、改進(jìn)，學(xué)生學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的根本在于促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

大腦作為人們認(rèn)知學(xué)習(xí)的重要物質(zhì)載體，腦科學(xué)與認(rèn)知科學(xué)的發(fā)展推動(dòng)著人們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)評(píng)價(jià)進(jìn)行更為深入的研究，它們之間存在著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)教育問題是復(fù)雜的，如何在這一復(fù)雜的體系中較為清晰地發(fā)現(xiàn)某種脈絡(luò)進(jìn)行學(xué)習(xí)與教學(xué)，這是所有數(shù)學(xué)工作者與一線數(shù)學(xué)教師不斷追求的夢(mèng)想，他們也正在這條道路上前行著。

（責(zé)任編輯：孫建輝）