作者簡(jiǎn)介：周杏杏（1989-），女，漢族， 山東濟(jì)南人，在讀研究生，浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)，研究方向: 變點(diǎn)問題、生存分析。摘要：變點(diǎn)問題在醫(yī)學(xué)研究、保險(xiǎn)精算以及可靠性控制中有著及其重要的應(yīng)用，而這類數(shù)據(jù)的研究問題都屬于生存數(shù)據(jù)的研究范疇。本文根據(jù)變點(diǎn)模型的研究現(xiàn)狀，分別討論了單發(fā)事件和復(fù)發(fā)事件的變點(diǎn)問題，并對(duì)復(fù)發(fā)事件分別關(guān)于實(shí)際事件數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)這兩類數(shù)據(jù)進(jìn)行綜述。由于復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的存在更具廣泛性，且對(duì)復(fù)發(fā)事件變點(diǎn)問題的建模和參數(shù)估計(jì)研究涉及到的文獻(xiàn)非常少，本文對(duì)兩類復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的綜述又分為有變點(diǎn)和無(wú)變點(diǎn)的情形。最后得出結(jié)論，給出可做的后續(xù)工作。

關(guān)鍵詞：變點(diǎn);復(fù)發(fā)事件;協(xié)變量;刪失;最大似然估計(jì)

引言

變點(diǎn)問題（change point problem）一直是統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常熱門的研究方向，變點(diǎn)反映事物的某種質(zhì)的變化，在各種領(lǐng)域常見且具有重要性。變點(diǎn)問題的研究是分析突發(fā)事件對(duì)模型影響的關(guān)鍵之一，可作為研究氣候突變、災(zāi)異事件、股市波動(dòng)預(yù)測(cè)、改革之成效以及新型藥物、治療方案的療效等的重要工具。進(jìn)一步，變點(diǎn)問題在醫(yī)學(xué)研究、保險(xiǎn)精算以及可靠性控制中有著及其重要的應(yīng)用，而這類數(shù)據(jù)的研究問題都屬于生存數(shù)據(jù)的研究范疇。

生存分析（survival analysis）是研究既有事件的發(fā)生時(shí)間又有事件結(jié)局資料的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，與一般統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不同的是，它強(qiáng)調(diào)所研究問題的結(jié)果變量是某一事件發(fā)生的時(shí)間，通常用來(lái)分析生存時(shí)間和事件與眾多影響因素之間的關(guān)系及其程度大小。

隨著生存分析的方法被廣泛應(yīng)用到醫(yī)學(xué)研究領(lǐng)域，如現(xiàn)場(chǎng)追蹤研究、臨床療效試驗(yàn)、疾病預(yù)后分析等，生存時(shí)間（survival time）的涵義也隨之?dāng)U展到更廣義的范圍。由最初事件的失效時(shí)間（failure time）（屬單發(fā)事件數(shù)據(jù)）推廣到事件發(fā)生多次的時(shí)間（屬?gòu)?fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)）。而復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)廣泛地出現(xiàn)在諸如生物、醫(yī)學(xué)試驗(yàn)和公共健康的數(shù)據(jù)分析，工業(yè)和商業(yè)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)分析，可靠性、社會(huì)科學(xué)和保險(xiǎn)精算等的研究中，最近二十年，對(duì)復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的研究受到了廣泛的重視，也得到了很快的發(fā)展。所謂復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)（recurrent event data）是指對(duì)一些個(gè)體進(jìn)行觀察，某些我們感興趣的事件重復(fù)發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)、時(shí)間間隔、累積次數(shù)等所組成的數(shù)據(jù)，如觀測(cè)一些人群在某一段時(shí)間內(nèi)住院的次數(shù)以及相應(yīng)的醫(yī)療費(fèi)用，艾滋病毒感染者的疾病復(fù)發(fā)次數(shù)，在保險(xiǎn)精算中的個(gè)體事故理賠次數(shù)以及相應(yīng)的理賠額度等。這類數(shù)據(jù)不同于單發(fā)時(shí)間數(shù)據(jù)，因?yàn)槭录貜?fù)發(fā)生的時(shí)間是有順序的，并且具有相依性，同時(shí)由于刪失時(shí)間的存在，以及刪失時(shí)間可能與事件發(fā)生的累積次數(shù)具有相依性，使得對(duì)復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的分析、建模及統(tǒng)計(jì)推斷具有更大的挑戰(zhàn)性。

本文結(jié)構(gòu)如下：第二部分對(duì)單發(fā)事件的變點(diǎn)估計(jì)問題進(jìn)行綜述；第三部分對(duì)復(fù)發(fā)事件的相關(guān)研究進(jìn)行綜述；第四部分得出結(jié)論，分析后續(xù)工作。

1. 單發(fā)事件的變點(diǎn)估計(jì)

關(guān)于生存數(shù)據(jù)的變點(diǎn)問題建模國(guó)內(nèi)外的研究起步較晚，文獻(xiàn)也不多。Matthews和Farewell［1］建立了最基礎(chǔ)的生存數(shù)據(jù)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)分段常數(shù)單變點(diǎn)模型：，檢驗(yàn)了內(nèi)科醫(yī)生為緩解白血病人的癥狀而使用一種新的治療方案之后，能否改變白血病的復(fù)發(fā)時(shí)間這一問題。這一假設(shè)檢驗(yàn)問題實(shí)際上就轉(zhuǎn)變?yōu)闄z驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)是否存在變化的問題。這篇關(guān)于生存數(shù)據(jù)變點(diǎn)的文章，引發(fā)了人們對(duì)這類問題的研究興趣，發(fā)現(xiàn)了研究變點(diǎn)問題對(duì)于生存分析的重大意義。它與傳統(tǒng)的變點(diǎn)問題有相似之處，但又有很大的區(qū)別，有其特殊的理論和實(shí)際意義。

Chang，Chen和 Hsiung［2］提出了首先采用Nelson-Aalen非參數(shù)估計(jì)來(lái)估計(jì)變點(diǎn)，然后再使用極大似然函數(shù)來(lái)估計(jì)參數(shù)，并考慮了生存數(shù)據(jù)的刪失性，結(jié)合非參數(shù)和參數(shù)方法來(lái)提高變點(diǎn)和參數(shù)估計(jì)的精度。

Dupuy［3,4］將常數(shù)單變點(diǎn)模型進(jìn)行了推廣，加入了協(xié)變量對(duì)生存數(shù)據(jù)的影響，同時(shí)考慮了數(shù)據(jù)的刪失，提出了變點(diǎn)和參數(shù)的極大似然估計(jì)，并進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)。

Zhao，Wu和Zhou［5］首先考慮了含有持久生存數(shù)據(jù)的單變點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)模型，采用Kaplan-Meier估計(jì)，結(jié)合Chang，Chen和 Hsiung［2］的Nelson-Aalen非參數(shù)估計(jì)和極大似然參數(shù)估計(jì)來(lái)給出變點(diǎn)和參數(shù)估計(jì)，并證明了估計(jì)的相合性。以上這些研究都只是圍繞風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的單變點(diǎn)模型進(jìn)行討論，對(duì)多變點(diǎn)模型的分析非常少。

2. 復(fù)發(fā)事件的變點(diǎn)問題

以上研究主要集中于生存分析中單發(fā)事件數(shù)據(jù)的變點(diǎn)問題建模及分析，由于復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的存在更具廣泛性，最近二十年，對(duì)復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的研究受到了廣泛的重視，也得到了很快的發(fā)展。復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)可以分為兩類，一類是實(shí)際事件數(shù)據(jù)，需要已知每次事件的具體時(shí)間；第二類是面板計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)，只需已知事件時(shí)間所在區(qū)間即可。下面將針對(duì)這兩類數(shù)據(jù)分別進(jìn)行相關(guān)文獻(xiàn)綜述。

2.1 實(shí)際事件數(shù)據(jù)

2.1.1 無(wú)變點(diǎn)的實(shí)際事件數(shù)據(jù)

Prentice，Williams 和 Peterson［6］提出了兩類關(guān)于復(fù)發(fā)事件強(qiáng)度率函數(shù)的模型。第一類是的分層模型，第二類是來(lái)對(duì)事件之間的時(shí)間建模。他們用部分似然方法來(lái)估計(jì)參數(shù)，用統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)回歸系數(shù)是否為零。

2.1.2有變點(diǎn)的實(shí)際時(shí)間數(shù)據(jù)

以上文獻(xiàn)都是關(guān)于復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的建模方法和統(tǒng)計(jì)推斷，對(duì)復(fù)發(fā)事件變點(diǎn)問題的建模和參數(shù)估計(jì)研究涉及到的文獻(xiàn)非常少，目前有Akman 和 Raftery［7］考慮了強(qiáng)度函數(shù)的分段常數(shù)單變點(diǎn)模型中變點(diǎn)與其上界的比值為常數(shù)的一般情況及極限形式的情況，得到了變點(diǎn)估計(jì)值及漸進(jìn)正態(tài)分布，并且對(duì)變點(diǎn)的存在性進(jìn)行了檢驗(yàn)。

Scariano和Watkins［8］針對(duì)強(qiáng)度函數(shù)的分段常數(shù)單變點(diǎn)模型的變點(diǎn)估計(jì)問題，提出了三種非參數(shù)估計(jì)方法，通過(guò)模擬對(duì)這三種方法進(jìn)行比較，得到變點(diǎn)估計(jì)的一致性，但是沒有給出漸進(jìn)分布。

Loader［9］考慮了強(qiáng)度函數(shù)的對(duì)數(shù)線性模型，用最大似然估計(jì)來(lái)估計(jì)參數(shù)，用剖面似然函數(shù)來(lái)估計(jì)變點(diǎn)，并且得到了參數(shù)的置信域。

Frobish和 Ebrahimi［10］考慮了含有兩個(gè)變點(diǎn)的分段常數(shù)強(qiáng)度率模型，分別采用最大似然法和非參數(shù)的Nelson-Aalen方法來(lái)估計(jì)變點(diǎn)及參數(shù)，并分別得到了變點(diǎn)估計(jì)值的一致性。

Oueslati 和 Lopez［11］考慮了計(jì)數(shù)過(guò)程在比例危險(xiǎn)結(jié)構(gòu)的假設(shè)下一種新的回歸模型。計(jì)數(shù)過(guò)程的危險(xiǎn)率模型為，其中表示處于危險(xiǎn)的過(guò)程，是基礎(chǔ)危險(xiǎn)函數(shù)，是時(shí)間相依協(xié)變量。同時(shí)他們假設(shè)基礎(chǔ)危險(xiǎn)函數(shù)是分段常數(shù)形式，有未知的時(shí)間跳躍點(diǎn)，即變點(diǎn)。由于未知參數(shù)眾多，對(duì)數(shù)似然計(jì)算起來(lái)比較復(fù)雜，因此他們提出了用迭代算法來(lái)對(duì)待估參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)。對(duì)于變點(diǎn)的存在性問題，通過(guò)似然比法進(jìn)行檢驗(yàn)，并且用自助法計(jì)算臨界值通過(guò)模擬和實(shí)際數(shù)據(jù)的分析，證明了他們所提的模型可以看做Cox回歸模型的一個(gè)有效的替代，特別是在事件發(fā)生時(shí)間出現(xiàn)打結(jié)的情況下。

2.2 面板計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)

在實(shí)際的生存分析中，病人只會(huì)對(duì)調(diào)查者報(bào)告到上一次就醫(yī)為止疾病復(fù)發(fā)的次數(shù)，這些數(shù)據(jù)即為面板計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)。由于缺少信息量，面板計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的估計(jì)值有效性要比實(shí)際事件數(shù)據(jù)差。

Thall［12］利用混合Poisson回歸模型來(lái)對(duì)事件發(fā)生次數(shù)的期望建模，用似然法來(lái)對(duì)混合模型進(jìn)行估計(jì)，通過(guò)求區(qū)間中點(diǎn)處強(qiáng)度率的值與區(qū)間長(zhǎng)度的乘積來(lái)近似事件發(fā)生次數(shù)的期望。

Thall 和 Lachin［13］為了檢驗(yàn)兩個(gè)治療組的強(qiáng)度率是否相等提出了非參數(shù)的方法，通過(guò)對(duì)每個(gè)區(qū)間的事件發(fā)生的次數(shù)與區(qū)間長(zhǎng)度的比值求和來(lái)對(duì)估計(jì)每個(gè)個(gè)體的強(qiáng)度率，他們假設(shè)兩個(gè)組的隨機(jī)觀測(cè)時(shí)間是同分布的，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是近似正態(tài)的，協(xié)方差陣的一致估計(jì)。

Staniswalis，Thall和 Salch［14］對(duì)Thall［12］的參數(shù)模型進(jìn)行了改進(jìn)，利用非參數(shù)的基準(zhǔn)強(qiáng)度函數(shù)構(gòu)造半?yún)?shù)模型，用廣義剖面似然法來(lái)估計(jì)協(xié)變量系數(shù)，用核光滑估計(jì)來(lái)估計(jì)基準(zhǔn)強(qiáng)度函數(shù)，得到估計(jì)值的一致性和漸進(jìn)正態(tài)分布。

Lawless 和 Zhan［15］假設(shè)基準(zhǔn)函數(shù)是分段常數(shù)形式且變點(diǎn)已知，用似然法進(jìn)行估計(jì)，基于似然比或Wald統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，并且討論了用估計(jì)方程的方法來(lái)避免Poisson假設(shè)，得到了估計(jì)值的一致性和漸進(jìn)正態(tài)分布。

Sun 和 Fang［16］在不考慮任何協(xié)變量的條件下，通過(guò)保序回歸估計(jì)檢驗(yàn)了k個(gè)治療組的累積強(qiáng)度函數(shù)是否相等，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以寫成各組均值與整體均值差的加權(quán)和，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)正態(tài)分布，并且得到了方差估計(jì)量的一致性。

3. 結(jié)論

通過(guò)上述綜述可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于復(fù)發(fā)事件的變點(diǎn)模型研究較少，而且在這些研究中的數(shù)據(jù)主要是實(shí)際事件數(shù)據(jù)，對(duì)于在實(shí)際情況中更常見的面板計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)基本沒有相關(guān)文獻(xiàn)。復(fù)發(fā)事件的變點(diǎn)模型主要集中于分段常數(shù)的強(qiáng)度率函數(shù)模型，對(duì)于連續(xù)變點(diǎn)的復(fù)發(fā)事件模型基本沒有相關(guān)研究。并且在生存分析中，由于醫(yī)療技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在治愈病人越來(lái)越多，因此只是單純的考慮刪失，對(duì)于研究藥物療效是不完善的，需要引入長(zhǎng)期生存者，考慮含有治愈部分的復(fù)發(fā)事件變點(diǎn)模型。因此，關(guān)于復(fù)發(fā)事件的變點(diǎn)模型可做的后續(xù)工作有：

⑴將復(fù)發(fā)事件變點(diǎn)模型應(yīng)用于面板計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)，進(jìn)行相應(yīng)的變點(diǎn)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)推斷。

⑵研究連續(xù)變點(diǎn)的復(fù)發(fā)事件模型，進(jìn)行相應(yīng)的變點(diǎn)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)推斷。

⑶對(duì)復(fù)發(fā)事件建立既含有協(xié)變量又含有長(zhǎng)期生存者的突變點(diǎn)模型，并進(jìn)行相關(guān)統(tǒng)計(jì)推斷。

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