陸棟寧 劉一武

1. 北京控制工程研究所，北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190

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帶旋轉(zhuǎn)撓性太陽帆板衛(wèi)星自適應(yīng)控制

陸棟寧1,2劉一武1

1. 北京控制工程研究所，北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190

為了應(yīng)對(duì)航天器質(zhì)量分布變化對(duì)姿態(tài)控制系統(tǒng)性能產(chǎn)生的影響，本文研究了帶旋轉(zhuǎn)撓性太陽帆板衛(wèi)星的自適應(yīng)姿態(tài)控制問題，其中對(duì)衛(wèi)星本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣設(shè)計(jì)了參數(shù)自適應(yīng)律，而慣量參數(shù)的不確定性是通過線性參數(shù)化方法表達(dá)的?；陬怢yapunov分析方法，這一時(shí)變系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性和估計(jì)誤差的有界性得到了證明。與PD控制的仿真對(duì)比表明，自適應(yīng)控制對(duì)于衛(wèi)星姿態(tài)和帆板驅(qū)動(dòng)具有更好的性能。

對(duì)日定向太陽帆板；模態(tài)恒等式；自適應(yīng)控制；參數(shù)估計(jì)

航天器的質(zhì)量分布可能因?yàn)榉N種因素而發(fā)生很大變化，如燃料的消耗或意外泄漏，附件或內(nèi)部元件的運(yùn)動(dòng)等等，這些因素將對(duì)姿控性能產(chǎn)生不利影響，而如果質(zhì)量參數(shù)的變化過于激烈，甚至可能使系統(tǒng)失穩(wěn)。為了應(yīng)對(duì)這種情況，魯棒控制和自適應(yīng)控制是兩類主要的解決方案。相比試圖尋找不變的控制器以應(yīng)對(duì)各種變化狀況的魯棒控制策略，自適應(yīng)控制的基本思想是通過調(diào)節(jié)控制器來適應(yīng)對(duì)象模型的變化，以較小的代價(jià)達(dá)到較高的系統(tǒng)性能。在航天器姿態(tài)自適應(yīng)控制中，J. Ahmed 等人給出了適用于剛性航天器的自適應(yīng)姿態(tài)跟蹤控制律，其關(guān)鍵技巧是對(duì)星體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)化以設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律。通過周期指令對(duì)系統(tǒng)的激勵(lì)，Ahmed 給出的自適應(yīng)控制系統(tǒng)還能夠辨識(shí)星體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[1]。此后，自適應(yīng)控制技術(shù)被推廣到了帶有固定撓性附件的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，并與其它一些先進(jìn)控制策略巧妙地結(jié)合起來[2-3]，以獲得更為優(yōu)異的系統(tǒng)性能。

相比于具有固定撓性太陽帆板的衛(wèi)星系統(tǒng)，本文研究了具有撓性旋轉(zhuǎn)太陽帆板的衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤問題，其中太陽帆板在驅(qū)動(dòng)裝置的作用下實(shí)現(xiàn)對(duì)日定向，使得電能獲取效率最大化。由于太陽帆板的運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)變得更復(fù)雜，此時(shí)航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以及航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與附件撓性振動(dòng)之間的耦合系數(shù)陣都是連續(xù)時(shí)變的。一個(gè)早期的控制方案是針對(duì)某個(gè)特定太陽帆板位置，如45°下的衛(wèi)星系統(tǒng)構(gòu)型，設(shè)計(jì)魯棒H∞控制器[4]。另外一些方法則是將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程從本體坐標(biāo)系投影到太陽帆板局部坐標(biāo)系下，以實(shí)現(xiàn)多輸入多輸出耦合系統(tǒng)解耦為3個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上再設(shè)計(jì)LQG或H∞控制器[5]。直到近年來，伴隨星載計(jì)算技術(shù)的進(jìn)步，增益調(diào)度等自適應(yīng)控制算法開始應(yīng)用到這類復(fù)雜衛(wèi)星之中[6]。

本文的主要目標(biāo)是將自適應(yīng)控制策略從附件固定的衛(wèi)星系統(tǒng)推廣到附件運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)中。與以往的結(jié)果不同的是，并不致力于針對(duì)由于太陽帆板轉(zhuǎn)動(dòng)引起的系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣變化設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制系統(tǒng)，因?yàn)橥ㄟ^對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究可以發(fā)現(xiàn)，太陽帆板旋轉(zhuǎn)引起的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化是能夠比較精確地計(jì)算出來的。而另一方面，如果考慮整個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)變化問題，那么不可避免地要對(duì)撓性耦合系數(shù)陣的時(shí)變特性一起考慮，而撓性耦合系數(shù)陣規(guī)模巨大，這在目前的條件下設(shè)計(jì)自適應(yīng)算法仍然存在困難。因此,轉(zhuǎn)而致力于考慮航天器中心體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣的不確定性，利用線性參數(shù)化技術(shù)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)姿態(tài)跟蹤控制算法。利用類Lyapunov函數(shù)證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并討論了慣量矩陣的估計(jì)誤差。最后通過數(shù)值仿真，將本文的理論結(jié)果與經(jīng)典PD控制進(jìn)行對(duì)比，證實(shí)本文設(shè)計(jì)的控制器具有更好的性能。

1 數(shù)學(xué)模型

不失一般性，考慮如圖1所示的具有單翼旋轉(zhuǎn)撓性太陽帆板衛(wèi)星模型。設(shè)ω= [ωxωyωz]T為衛(wèi)星三軸姿態(tài)角速度，Ω為帆板轉(zhuǎn)速，η=[η1η2…ηN]T為N階撓性模態(tài)坐標(biāo)，那么帶有可控旋轉(zhuǎn)撓性太陽帆板衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型為[7]

(1)

(2)

(3)

Cbs是向量從帆板固連坐標(biāo)系到本體坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：

(4)

其中,α∈[0, 2π)是帆板沿俯仰軸的轉(zhuǎn)角。Jbs是帆板轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的剛性耦合系數(shù)陣，其表達(dá)式為

(5)

圖1 帶旋轉(zhuǎn)撓性帆板衛(wèi)星模型

與之相對(duì)，Hs和Hbs是撓性耦合系數(shù)陣，其中Hs是帆板振動(dòng)對(duì)其自身轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合系數(shù)陣，Hbs是帆板振動(dòng)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的耦合系數(shù)陣，且

(6)

式中,Ps是帆板振動(dòng)對(duì)其自身平動(dòng)的耦合系數(shù)陣。顯然，Hs和Ps是恒值矩陣，而Hbs和Jbs是周期時(shí)變矩陣，它們?nèi)Q于帆板轉(zhuǎn)角位置。這些矩陣具有如下一些重要性質(zhì)，即

(7)

這些關(guān)系式稱為模態(tài)恒等式[8-9]，它們?cè)诤罄m(xù)章節(jié)的控制器設(shè)計(jì)中具有重要作用。

具有受控帆板衛(wèi)星的一個(gè)基本控制問題是衛(wèi)星本體姿態(tài)對(duì)地定向，而帆板對(duì)日定向。定義本體姿態(tài)相對(duì)軌道坐標(biāo)系的3個(gè)歐拉角為滾動(dòng)角(ψ)，俯仰角(θ)，偏航角(φ)，那么在小角度假設(shè)下的姿態(tài)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以表達(dá)為

(8)

其中Θ=[ψθφ]T,而

(9)

ωd=[0 -ωo0]T是期望的姿態(tài)角速度，而ωo是衛(wèi)星軌道角速度。另一方面，帆板需對(duì)日定向，其跟蹤誤差方程為

(10)

式中，Δα=α-Ωdt且Ωd=ωo。因此，控制問題可以歸結(jié)為:根據(jù)可測(cè)量輸出Θ,ω,α和Ω設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器T和τ使得

(11)

2 自適應(yīng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

為了設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，設(shè)k1>0,k2>0并定義下述新變量

(12)

(13)

(14)

注意到J=Jb+Js，而Js和Jbs可由式(2)和(5)精確計(jì)算得到。假設(shè)本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣由于燃料消耗存在不確定性。為了對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，取

(15)

式中χ=[JbxxJbyyJbzzJbxyJbxzJbyz]T是本轉(zhuǎn)動(dòng)陣Jb的各分量，而算子

(16)

(17)

類似地，對(duì)于式(1)的第2個(gè)方程，有

TIs
τ-TIs

(18)

對(duì)于第3個(gè)方程，注意到式(13)可得

(19)

取k3>0，k4>0，考慮自適應(yīng)控制器

(20)

其參數(shù)自適應(yīng)律為

(21)

定理1 設(shè)中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣緩慢變化或兩次質(zhì)量分布發(fā)生變化之間保持恒定。存在充分大ki>0 (i=1, … , 4)，自適應(yīng)控制器(20)和(21)作用下的系統(tǒng)(1)、(8)和(10)是漸近穩(wěn)定的，而對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣Jb的估計(jì)誤差有界。

證明 考慮如下類 Lyapunov 函數(shù)

(22)

(23)

式中1是N×N單位陣。顯然V的正定性取決于矩陣M。利用模態(tài)恒等式

(24)

其中,所有零矩陣都有適當(dāng)?shù)木S數(shù)。那么，矩陣M的特征值就是本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣的特征值以及0, 1, …, 1, 且均為非負(fù)數(shù)。因此V≥ 0，即V有下確界。

考慮閉環(huán)系統(tǒng)(17)、(18)和(19)，對(duì)函數(shù)V求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得

(25)

(26)

其中,λm是阻尼陣D的最小特征值。存在如下不等式

(27)

其中ε>0,有

(28)

式中

(29)

(30)

(31)

其中‖‖2是L2范數(shù)。因?yàn)閂(t)≥0，進(jìn)一步可以得到

(32)

(33)

(34)

因此，由動(dòng)力學(xué)關(guān)系可知，系統(tǒng)(1),(8)和(10)在自適應(yīng)控制律(20)和(21)是漸近穩(wěn)定的。但是，根據(jù)參數(shù)自適應(yīng)律(21)，對(duì)本轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣Jb的估計(jì)伴隨狀態(tài)的收斂而收斂，但不一定是真值。因此其估計(jì)誤差是有界的。證畢。

3 仿真研究

利用美國(guó) GOES-8號(hào)氣象衛(wèi)星參數(shù)[7]，對(duì)自適應(yīng)控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，并與PD控制作對(duì)比?？刂破髟鲆嬖O(shè)為k1=2，k2=0.5，k3=100，k4=80，參數(shù)估計(jì)增益矩陣為 Г = 5 × 105× 16×6，衛(wèi)星姿態(tài)歐拉角以及帆板轉(zhuǎn)角初值設(shè)為0。模態(tài)坐標(biāo)初值設(shè)為 0.005×[1 1 1 1 1]T，而慣量估計(jì)初值為[1000 1000 1000 -10 -10 -20]Tkg·m2。其余狀態(tài)變量初始值均為0。設(shè)本體主慣量在10s時(shí)發(fā)生大約20%的變化。

在上述條件下對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制和 PD 控制利用 ode23 解算器進(jìn)行了 25s仿真，其輸入及輸出響應(yīng)如圖2～7所示。仿真結(jié)果表明，兩類控制器均達(dá)到了控制目標(biāo)，且控制力矩都在合理范圍內(nèi)。由圖6可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的自適應(yīng)辨識(shí)在系統(tǒng)穩(wěn)定后即停止，由于缺乏持續(xù)激勵(lì)條件，并沒有收斂到真值。但是相比 PD 控制，自適應(yīng)控制下的狀態(tài)變量經(jīng)歷更短的動(dòng)態(tài)過程，姿態(tài)跟蹤誤差和振動(dòng)抑制效果更好。

圖2 衛(wèi)星姿態(tài)歐拉角

圖3 衛(wèi)星姿態(tài)角速度

圖4 帆板撓性振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)

圖5 帆板轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)角

圖6 衛(wèi)星本體慣量參數(shù)估計(jì)

圖7 姿態(tài)控制力矩和帆板轉(zhuǎn)矩

4 結(jié)論

本文考慮了本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣在參數(shù)發(fā)生變化時(shí)的自適應(yīng)控制問題，將線性參數(shù)化方法推廣到了帶有旋轉(zhuǎn)撓性太陽帆板衛(wèi)星的姿態(tài)控制中，基于 Lyapunov 理論對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行了數(shù)學(xué)證明，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了控制器的性能。但是，如果將這類參數(shù)化方法進(jìn)一步推廣到對(duì)整星質(zhì)量參數(shù)作自適應(yīng)控制時(shí)，由于需要辨識(shí)的參數(shù)過多，仍然存在很大困難，值得進(jìn)一步研究。

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Adaptive Control of the Spacecraft with a Rotating Flexible Solar Array

LU Dongning1,2LIU Yiwu1

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Inordertoattenuatetheinfluencecausedbythevariationofthemassdistributionofsatellitestotheattitudecontrolsystem,thispaperisconcernedwiththeadaptiveattitudecontrolproblemofasatellitewitharotatingflexiblesolararray.Anadaptivecontrolschemeisdesignedtoadjustthevariationsofthemassdistributionsofthespacecraftcentralbody.Theuncertaininertiaparametersareisolatedbylinearparameterizationmethod.BasedontheLyapunov-likeanalysis,closed-loopstabilityandboundednessofidentificationerrorsofthistime-varyingsystemareensured.NumericalsimulationscomparedwithPDcontrolareperformedtoshowthattheadaptivecontrolforthespacecraftandthesolararrayhasbetterperformances.

Sun-trackingsolararray;Modalidentity;Adaptivecontrol；Parameterestimation

2013-03-12

陸棟寧(1982-),男，廣東人，博士研究生，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制；劉一武(1968-)，男，湖南人，研究員，主要從事航天器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制研究。

TP316.2

A

1006-3242(2014)01-0049-06