嚴(yán)國平

(中冶南方工程技術(shù)有限公司技術(shù)研究院 湖北武漢430223)

·設(shè)計(jì)與研究·

基于有限差分法的工作輥彎輥撓曲計(jì)算

嚴(yán)國平

(中冶南方工程技術(shù)有限公司技術(shù)研究院 湖北武漢430223)

以彎曲變形的微分方程為理論基礎(chǔ)，運(yùn)用有限差分法相關(guān)原理對這些微分方程進(jìn)行了相關(guān)推導(dǎo)，得出了一定彎輥力作用下工作輥撓曲變形計(jì)算的線性方程組表達(dá)式。通過給定的計(jì)算實(shí)例，編制了相關(guān)計(jì)算程序，完成了一定彎輥力作用下某工作輥的撓曲變形計(jì)算。結(jié)果表明：在較大彎輥力作用下，工作輥沿x軸正向各截面的撓曲呈非線性變大趨勢，且在彎輥軸承中心作用點(diǎn)處達(dá)到最大。此外，有限差分法不失為一種快速有效地求解工作輥多點(diǎn)撓度的計(jì)算方法。

有限差分法 工作輥 撓曲變形 程序求解

1 引言

工作輥是軋機(jī)輥系裝配中的重要組成部分，它直接與帶鋼接觸并在一定的軋制力下完成對帶鋼的軋制，工作時(shí)其通過一定的彎輥?zhàn)饔脤堉瓢逍芜M(jìn)行調(diào)節(jié)。因此，工作輥的強(qiáng)度與剛度的大小將直接對軋機(jī)的板形控制能力產(chǎn)生影響。故在進(jìn)行軋機(jī)工作輥設(shè)計(jì)時(shí)，需對其工作時(shí)的撓度進(jìn)行計(jì)算。

文獻(xiàn)[1]結(jié)合Singularity函數(shù)與Laplace變換給合的方法給出了階梯梁彎曲變形的表達(dá)式，文獻(xiàn)[2]采用階躍函數(shù)與拉氏變換對階梯梁彎曲變形的表達(dá)式進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)，并結(jié)合書寫規(guī)則給出了主體計(jì)算代碼。文獻(xiàn)[3]利用奇異函數(shù)對階梯軸的彎曲變形進(jìn)行了求解，并給出了求解示例。文獻(xiàn)[4]應(yīng)用固定端法結(jié)合某一實(shí)例對階梯軸的變形進(jìn)行了計(jì)算演繹。但是這些方法都較為復(fù)雜，對不同安裝方式都需要進(jìn)行重新推導(dǎo)，不利于標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)，且推導(dǎo)都具有一定的難度，不利于實(shí)際工程設(shè)計(jì)應(yīng)用。

采用有限差分法對工作輥撓度進(jìn)行了計(jì)算。該法是一種數(shù)值分析方法，它將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程組的問題，通過定義的邊界即可以迅速完成特定軸系的求解，具有較強(qiáng)的可操作性。

2 工作輥撓度計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)軋機(jī)工作機(jī)制及工作輥受力特點(diǎn)，建立工作輥撓度計(jì)算的力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 工作輥撓度計(jì)算的力學(xué)模型

圖1中，以工作輥中心截面為固定支撐面，以軸承中心D點(diǎn)為彎輥力所在位置。OA段為工作輥實(shí)際工作段直徑d1，對應(yīng)長度為l1，AB段為軸承座密封段直徑d2，對應(yīng)長度為l2，BC段為過渡軸段直徑d3，對應(yīng)長度為l3，CD段為工作輥軸承座對應(yīng)安裝軸承段直徑d4，對應(yīng)長度為l4。建立如圖1所示坐標(biāo)系xoy，將工作輥軸向劃分成n等分，并給每個(gè)節(jié)點(diǎn)(每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)截面)分別進(jìn)行編號，從左至右為1，2，3，…，n。每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的間隔均為h，以向右方向?yàn)閤軸正向。

對于任意截面，該截面的彎矩、轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系可以用以下微分方程[5]表示：

(1)

式中yi—截面xi對應(yīng)的軸心的撓度值；M(xi)—截面xi對應(yīng)的彎矩值；E—工作輥材料的彈性模量；I(xi)—截面xi對應(yīng)的截面慣性矩，與截面的軸徑有關(guān)；

θ(xi)—截面xi對應(yīng)的轉(zhuǎn)角。

根據(jù)差分原則：

(2)

轉(zhuǎn)化后即有：

(3)

則有方程組：

(4)

由邊界條件知：

(5)

則解得：

(6)

組成AX=b的非線性齊次方程組即可有相應(yīng)的矩陣表達(dá)式，如式(7)所示：

(7)

式(7)為一個(gè)三對角線性方程組，將系數(shù)矩陣求逆矩陣后，與右側(cè)的矩陣進(jìn)行相乘，然后通過編制相應(yīng)的計(jì)算求解程序，即可求得相應(yīng)的工作輥撓度曲線。

3 具體計(jì)算實(shí)例

某工作輥撓度計(jì)算所需參數(shù)如表1所示。

表1 某工作輥參數(shù)表

結(jié)合圖1所示的計(jì)算力學(xué)模型，并代入表1中相關(guān)參數(shù)至(1)～(7)中，建立計(jì)算矩陣方程有：

(8)

根據(jù)式(8)編制相關(guān)的有限差分法計(jì)算程序，計(jì)算結(jié)果如下。

表2 截面計(jì)算撓度

從計(jì)算結(jié)果可以看到：沿著坐標(biāo)x正向方向，各截面撓曲逐漸變大，這種變化趨勢呈非線性變化，在最外側(cè)在彎輥軸承中心作用點(diǎn)處撓曲值達(dá)到最大，最大值為0.474mm。這說明，在較大彎輥力作用下，工作輥軸承段的變形較大，在進(jìn)行實(shí)際設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)該將工作輥的變形計(jì)算考慮至板形控制系統(tǒng)中，從而使軋機(jī)板形控制能力達(dá)到合理范圍。

圖2 工作輥彎輥的撓度曲線

4 結(jié)論

通過以上分析，可以得到如下結(jié)論：

1)在較大彎輥力作用下，工作輥沿x軸正向各截面的撓曲呈非線性變大趨勢，且在彎輥軸承中心作用點(diǎn)處達(dá)到最大。實(shí)際設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)考慮與軋機(jī)的板形控制相結(jié)合，以期能使彎輥效果達(dá)到理想狀態(tài)。

2)有限差分法是一種數(shù)值分析方法，通過差分方式可以快速有效地求得工作輥多點(diǎn)的撓度，這個(gè)能全面地反映工作輥沿x正向的彎曲變形情況，這對于類似的設(shè)計(jì)都具有沿用與借鑒意義，也為高度的程序化設(shè)計(jì)與計(jì)算提供了便利。

[1]陳連,王元文.階梯梁彎曲變形的普遍表達(dá)式及其應(yīng)用[J].機(jī)械強(qiáng)度,2000,Vol.22(2):153-155.

[2]劉傳芬.階梯軸彎曲變形的通解及其應(yīng)用[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,1993(3):37-39.

[3]王燮山.利用奇異函數(shù)求解階梯軸的彎曲變形[J].機(jī)械強(qiáng)度,1983(3):80-85.

[4]林成厚，郭華北.應(yīng)用固定端法計(jì)算階梯軸(梁)的變形[J].山東科學(xué),1996,Vol.9(4):26-29.

[5]劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2000.

Calculation of Bending Rigidity for the Working Roll Based on Finite Difference Method

Yang Guoping

(WISDRI Engineering & Research Incorporation Limited, Wuhan 430223)

Based on the differential equations of bending deformation, the linear equations for the working roll deformation with the effect of a certain bending force was expressed by means of finite difference method. Through one given example, the corresponding calculation program was carried out for the working roll deformation. The results show that each section deflection along the positive x axis has the nonlinear changing trend with the effect of larger bending force. The deformation maximum exits on the loaded bearing center point. In addition, finite difference method is also rapid and effective for some similar solving problems.

Finite difference method Working roll Bending rigidity Programmed solution

嚴(yán)國平，1978年出生，畢業(yè)于武漢理工大學(xué)，工學(xué)博士，主要從事冶金設(shè)備的研發(fā)、機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)與數(shù)值仿真研究

TG333.17

A

10.3969/j.issn.1001-1269.2014.04.001

2014-03-18)