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數(shù)學(xué)中的執(zhí)因索果與執(zhí)果索因

2014-08-12 22:08張興萍
考試周刊 2014年44期
關(guān)鍵詞:綜合法證法比值

張興萍

在數(shù)學(xué)問題的分析和解答中,人們往往愛用執(zhí)因索果或者執(zhí)果索因的思維方法.前者是從條件出發(fā),逐步推導(dǎo)出所需的結(jié)論,反映在解法上往往為綜合法;后者則是從結(jié)論出發(fā),逐步地追溯使結(jié)論成立的條件,反映在解法上就是分析法,也稱之為逆推法.綜合法的特點是從已知看可知逐步推向未知;而分析法的特點則是從未知看需知逐步靠攏已知.在實際解決問題的過程中往往是用執(zhí)果索因的思維方法分析尋找解題思路,而用綜合法表達解證過程.

例1:已知a、b是互不相等的正數(shù)且a+b=1,試證 + >4.

證法一:(執(zhí)果索因思維方法)要證明 + >4,因為a>0、b>0,所以只要證明a+b>4ab.由于a+b=1,因此只要證明1>4a(1-a),就是要證明4a -4a+1>0即(2a-1) >0,也就是要證明a≠ .條件a>0,b>0,a≠b,a+b=1,易得a≠ 成立.

證法二:(執(zhí)因索果思維方法)∵a>0,b>0,a≠b,a+b=1,∴ + = + =2+( + )≥2+2 =4,當(dāng)且僅當(dāng) = 即a=b時等號成立.∵a≠b,∴ + >4.

證法三:∵a>0,b>0,a≠b,a+b=1

∴可設(shè)a=cos α則b=sin α(0<α< 且α≠ ),

∴ + = + =sec α+csec α=(1+tan α)+(1+ctan α)=2+(tan α+ctan α)>=2+2 =4.

例2:已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x +x+m=0的兩個根x 、x 滿足|x -x |=3,求實數(shù)m的值.

分析:本題中方程x +x+m=0的兩個根x 、x 到底是實數(shù)還是虛數(shù)并沒有明確,但是x 、x ∈C則沒有任何疑問.為此,如何運用條件|x -x |=3則是解本題的關(guān)鍵.x 、x ∈C且|x -x |=3,則9=|x -x | =|(x -x ) |=|(x +x ) -4x x |=|(-1) -4m|,

∴m=-2或m= .

例3:設(shè)s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項和,并且 = ,求f(n)= .

分析:本題的關(guān)鍵是必須把 逐步轉(zhuǎn)化為 的某種關(guān)系.若注意到{a }、{b }均為等差數(shù)列,則可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化.比如:{a }是非常數(shù)等差數(shù)列?圳s =an +bn(ab≠0).

解法一:∵{a }、{b }均為等差數(shù)列(記φ(n)= )

∴ = = = = =

∴f(n)= = =φ(2n-1)= = 即為所求.

解法二:∵ = = (a≠0)并且s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項和,

∴s =7an +an,t =4an +27an(a≠0為一個常數(shù))

∴a =s =8a,b =t =31a得f(1)= .

當(dāng)n≥2時,a =s -s =7a[n -(n-1) ]+a[n-(n-1)]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -(n-1) ]+27a[n-(n-1)]=8na+23a

∴當(dāng)n≥2時,f(n)= = =

(顯然上式對n=1得比值為f(1)= ),∴f(n)= 即為所求.

備注:若兩個等差數(shù)列{a }、{b }的前n項之和s 、t 的比值記為φ(n)= ,而記 =f(n),則f(n)=φ(2n-1).

例4:已知x>1、y>1、z>1,a>0且a≠1,若 = = ,則x y =y z =z x .

分析:本題的條件式 = = ,和結(jié)論式x y =y z =z x 都是關(guān)于x、y、z的輪換對稱式子,因此要證x y =y z =z x 成立,只要證明x y =y z 或y z =z x 之一成立,另一則同理可證.由于條件式 = = ,是一個比值式(該比值非0,否則x(y+z-x)=y(z+x-y)=z(x+y-z)=0得x+y+z=0與x>1、y>1、z>1矛盾),其分母均含有對數(shù),不妨設(shè)這個比值為 即 = = = 得log x=kx(y+z-x),log y=ky(z+x-y),log z=kz(x+y-z).于是,只要我們能夠把結(jié)論式x y =y z 或y z =z x 都化為對數(shù)的形式問題就可能有解決的辦法.

證明:要證明x y =y z 成立,只要證明log x y =log y z 成立,只要證明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令條件比值式= 則log x=kx(y+z-x),log y=ky(z+x-y),log z=kz(x+y-z).

而ylog x+xlog y=y kx(y+z-x)+x ky(z+x-y)=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky(z+x-y)+y kz(x+y-z)=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以證明y z =z x 成立.

∴若 = = ,則x y =y z =z x .

備注:一般地,若條件式是一個比值式,通常可以設(shè)這個比值式的比值為一個常數(shù)k或 ,由此可以把條件簡化為關(guān)于常數(shù)k的代數(shù)式便于應(yīng)用條件.endprint

在數(shù)學(xué)問題的分析和解答中,人們往往愛用執(zhí)因索果或者執(zhí)果索因的思維方法.前者是從條件出發(fā),逐步推導(dǎo)出所需的結(jié)論,反映在解法上往往為綜合法;后者則是從結(jié)論出發(fā),逐步地追溯使結(jié)論成立的條件,反映在解法上就是分析法,也稱之為逆推法.綜合法的特點是從已知看可知逐步推向未知;而分析法的特點則是從未知看需知逐步靠攏已知.在實際解決問題的過程中往往是用執(zhí)果索因的思維方法分析尋找解題思路,而用綜合法表達解證過程.

例1:已知a、b是互不相等的正數(shù)且a+b=1,試證 + >4.

證法一:(執(zhí)果索因思維方法)要證明 + >4,因為a>0、b>0,所以只要證明a+b>4ab.由于a+b=1,因此只要證明1>4a(1-a),就是要證明4a -4a+1>0即(2a-1) >0,也就是要證明a≠ .條件a>0,b>0,a≠b,a+b=1,易得a≠ 成立.

證法二:(執(zhí)因索果思維方法)∵a>0,b>0,a≠b,a+b=1,∴ + = + =2+( + )≥2+2 =4,當(dāng)且僅當(dāng) = 即a=b時等號成立.∵a≠b,∴ + >4.

證法三:∵a>0,b>0,a≠b,a+b=1

∴可設(shè)a=cos α則b=sin α(0<α< 且α≠ ),

∴ + = + =sec α+csec α=(1+tan α)+(1+ctan α)=2+(tan α+ctan α)>=2+2 =4.

例2:已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x +x+m=0的兩個根x 、x 滿足|x -x |=3,求實數(shù)m的值.

分析:本題中方程x +x+m=0的兩個根x 、x 到底是實數(shù)還是虛數(shù)并沒有明確,但是x 、x ∈C則沒有任何疑問.為此,如何運用條件|x -x |=3則是解本題的關(guān)鍵.x 、x ∈C且|x -x |=3,則9=|x -x | =|(x -x ) |=|(x +x ) -4x x |=|(-1) -4m|,

∴m=-2或m= .

例3:設(shè)s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項和,并且 = ,求f(n)= .

分析:本題的關(guān)鍵是必須把 逐步轉(zhuǎn)化為 的某種關(guān)系.若注意到{a }、{b }均為等差數(shù)列,則可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化.比如:{a }是非常數(shù)等差數(shù)列?圳s =an +bn(ab≠0).

解法一:∵{a }、{b }均為等差數(shù)列(記φ(n)= )

∴ = = = = =

∴f(n)= = =φ(2n-1)= = 即為所求.

解法二:∵ = = (a≠0)并且s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項和,

∴s =7an +an,t =4an +27an(a≠0為一個常數(shù))

∴a =s =8a,b =t =31a得f(1)= .

當(dāng)n≥2時,a =s -s =7a[n -(n-1) ]+a[n-(n-1)]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -(n-1) ]+27a[n-(n-1)]=8na+23a

∴當(dāng)n≥2時,f(n)= = =

(顯然上式對n=1得比值為f(1)= ),∴f(n)= 即為所求.

備注:若兩個等差數(shù)列{a }、{b }的前n項之和s 、t 的比值記為φ(n)= ,而記 =f(n),則f(n)=φ(2n-1).

例4:已知x>1、y>1、z>1,a>0且a≠1,若 = = ,則x y =y z =z x .

分析:本題的條件式 = = ,和結(jié)論式x y =y z =z x 都是關(guān)于x、y、z的輪換對稱式子,因此要證x y =y z =z x 成立,只要證明x y =y z 或y z =z x 之一成立,另一則同理可證.由于條件式 = = ,是一個比值式(該比值非0,否則x(y+z-x)=y(z+x-y)=z(x+y-z)=0得x+y+z=0與x>1、y>1、z>1矛盾),其分母均含有對數(shù),不妨設(shè)這個比值為 即 = = = 得log x=kx(y+z-x),log y=ky(z+x-y),log z=kz(x+y-z).于是,只要我們能夠把結(jié)論式x y =y z 或y z =z x 都化為對數(shù)的形式問題就可能有解決的辦法.

證明:要證明x y =y z 成立,只要證明log x y =log y z 成立,只要證明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令條件比值式= 則log x=kx(y+z-x),log y=ky(z+x-y),log z=kz(x+y-z).

而ylog x+xlog y=y kx(y+z-x)+x ky(z+x-y)=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky(z+x-y)+y kz(x+y-z)=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以證明y z =z x 成立.

∴若 = = ,則x y =y z =z x .

備注:一般地,若條件式是一個比值式,通常可以設(shè)這個比值式的比值為一個常數(shù)k或 ,由此可以把條件簡化為關(guān)于常數(shù)k的代數(shù)式便于應(yīng)用條件.endprint

在數(shù)學(xué)問題的分析和解答中,人們往往愛用執(zhí)因索果或者執(zhí)果索因的思維方法.前者是從條件出發(fā),逐步推導(dǎo)出所需的結(jié)論,反映在解法上往往為綜合法;后者則是從結(jié)論出發(fā),逐步地追溯使結(jié)論成立的條件,反映在解法上就是分析法,也稱之為逆推法.綜合法的特點是從已知看可知逐步推向未知;而分析法的特點則是從未知看需知逐步靠攏已知.在實際解決問題的過程中往往是用執(zhí)果索因的思維方法分析尋找解題思路,而用綜合法表達解證過程.

例1:已知a、b是互不相等的正數(shù)且a+b=1,試證 + >4.

證法一:(執(zhí)果索因思維方法)要證明 + >4,因為a>0、b>0,所以只要證明a+b>4ab.由于a+b=1,因此只要證明1>4a(1-a),就是要證明4a -4a+1>0即(2a-1) >0,也就是要證明a≠ .條件a>0,b>0,a≠b,a+b=1,易得a≠ 成立.

證法二:(執(zhí)因索果思維方法)∵a>0,b>0,a≠b,a+b=1,∴ + = + =2+( + )≥2+2 =4,當(dāng)且僅當(dāng) = 即a=b時等號成立.∵a≠b,∴ + >4.

證法三:∵a>0,b>0,a≠b,a+b=1

∴可設(shè)a=cos α則b=sin α(0<α< 且α≠ ),

∴ + = + =sec α+csec α=(1+tan α)+(1+ctan α)=2+(tan α+ctan α)>=2+2 =4.

例2:已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x +x+m=0的兩個根x 、x 滿足|x -x |=3,求實數(shù)m的值.

分析:本題中方程x +x+m=0的兩個根x 、x 到底是實數(shù)還是虛數(shù)并沒有明確,但是x 、x ∈C則沒有任何疑問.為此,如何運用條件|x -x |=3則是解本題的關(guān)鍵.x 、x ∈C且|x -x |=3,則9=|x -x | =|(x -x ) |=|(x +x ) -4x x |=|(-1) -4m|,

∴m=-2或m= .

例3:設(shè)s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項和,并且 = ,求f(n)= .

分析:本題的關(guān)鍵是必須把 逐步轉(zhuǎn)化為 的某種關(guān)系.若注意到{a }、{b }均為等差數(shù)列,則可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化.比如:{a }是非常數(shù)等差數(shù)列?圳s =an +bn(ab≠0).

解法一:∵{a }、{b }均為等差數(shù)列(記φ(n)= )

∴ = = = = =

∴f(n)= = =φ(2n-1)= = 即為所求.

解法二:∵ = = (a≠0)并且s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項和,

∴s =7an +an,t =4an +27an(a≠0為一個常數(shù))

∴a =s =8a,b =t =31a得f(1)= .

當(dāng)n≥2時,a =s -s =7a[n -(n-1) ]+a[n-(n-1)]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -(n-1) ]+27a[n-(n-1)]=8na+23a

∴當(dāng)n≥2時,f(n)= = =

(顯然上式對n=1得比值為f(1)= ),∴f(n)= 即為所求.

備注:若兩個等差數(shù)列{a }、{b }的前n項之和s 、t 的比值記為φ(n)= ,而記 =f(n),則f(n)=φ(2n-1).

例4:已知x>1、y>1、z>1,a>0且a≠1,若 = = ,則x y =y z =z x .

分析:本題的條件式 = = ,和結(jié)論式x y =y z =z x 都是關(guān)于x、y、z的輪換對稱式子,因此要證x y =y z =z x 成立,只要證明x y =y z 或y z =z x 之一成立,另一則同理可證.由于條件式 = = ,是一個比值式(該比值非0,否則x(y+z-x)=y(z+x-y)=z(x+y-z)=0得x+y+z=0與x>1、y>1、z>1矛盾),其分母均含有對數(shù),不妨設(shè)這個比值為 即 = = = 得log x=kx(y+z-x),log y=ky(z+x-y),log z=kz(x+y-z).于是,只要我們能夠把結(jié)論式x y =y z 或y z =z x 都化為對數(shù)的形式問題就可能有解決的辦法.

證明:要證明x y =y z 成立,只要證明log x y =log y z 成立,只要證明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令條件比值式= 則log x=kx(y+z-x),log y=ky(z+x-y),log z=kz(x+y-z).

而ylog x+xlog y=y kx(y+z-x)+x ky(z+x-y)=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky(z+x-y)+y kz(x+y-z)=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以證明y z =z x 成立.

∴若 = = ,則x y =y z =z x .

備注:一般地,若條件式是一個比值式,通??梢栽O(shè)這個比值式的比值為一個常數(shù)k或 ,由此可以把條件簡化為關(guān)于常數(shù)k的代數(shù)式便于應(yīng)用條件.endprint

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