姜迪，智海，趙琳娜，段青云，梁莉，劉瑩

(1．南京信息工程大學(xué)，江蘇南京210044;2．中國氣象科學(xué)研究院災(zāi)害天氣國家重點(diǎn)實(shí)驗室，北京100081;3．北京師范大學(xué)，北京100875;4．中國氣象局 公共氣象服務(wù)中心，北京100081;5．四川省氣象臺，四川 成都610072)

0 引言

洪水災(zāi)害是世界上危害最大、造成損失最多的自然災(zāi)害之一。但是由于其過程復(fù)雜，包含的不確定因素較多，目前的確定性預(yù)報對降水(氣象)和流量(水文)的預(yù)報都難以滿足實(shí)際需要，因此概率預(yù)報不失為一條提高水文預(yù)報精度的途徑。采用概率預(yù)報的形式對水文不確定性進(jìn)行定量描述，不僅可以提高預(yù)報的精度和可靠性，而且可以為決策者做出客觀的最優(yōu)決策提供更豐富的信息，同時也能滿足用戶對風(fēng)險信息的需求。隨著集合概率預(yù)報得到越來越廣泛的使用，它有可能會取代單一預(yù)報(杜鈞，2002;智協(xié)飛和陳雯，2010)。

本文的后處理是指在氣象—水文集合預(yù)報系統(tǒng)中消除水文模型模擬過程產(chǎn)生的誤差，降低水文模擬中不確定性影響的過程。水文后處理方面的研究以貝葉斯方法取得的成果較為突出。Krzysztofowicz(1985)首先提出了基于正態(tài)線性假設(shè)的貝葉斯預(yù)報處理器(Bayesian Processor of Forecasts，簡稱BPF)，通過貝葉斯公式求得待預(yù)報流量的后驗分布，并基于后驗分布提出最優(yōu)決策。隨后，Krzysztofowicz(1999)又提出了基于貝葉斯理論框架的水文預(yù)報系統(tǒng)(Bayesian Forecasting System，簡稱BFS)，將降水預(yù)報不確定性與水文模型不確定性分別量化，然后通過全概率公式將二者耦合起來，得到水文預(yù)報不確定性的解析解，BFS可以與任何模型或預(yù)報方案相結(jié)合使用。之后Krzysztofowicz and Kelly(2000)在BPF的基礎(chǔ)上提出了水文不確定性處理器(Hydrologic Uncertainty Processor，簡稱 HUP)，HUP的核心是亞高斯模型，對實(shí)測值和預(yù)報流量進(jìn)行正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)化(使得轉(zhuǎn)化變量的線性正態(tài)關(guān)系更加顯著)，由貝葉斯公式得到轉(zhuǎn)化變量的后驗密度函數(shù)，然后還原得到待預(yù)報流量的后驗密度函數(shù)。Krzysztofowicz and Maranzano(2004)還提出了一種基于HUP方法產(chǎn)生的概率水位預(yù)報來消除誤差?；谶@種方法，Seo et al．(2006)為美國國家氣象局的河流預(yù)報系統(tǒng)提供了一種水文后處理器。國內(nèi)對水文預(yù)報的不確定性也做了很多探索，王善序(2001)、錢明開等(2004)、張洪剛和郭生練(2004)、張洪剛等(2004)、梁忠民等(2010)利用 BFS、HUP等方法進(jìn)行了水文不確定性和概率水文預(yù)報的研究，結(jié)果表明，概率預(yù)報與確定性預(yù)報同樣有價值，特別是當(dāng)預(yù)報不確定性比較大時，概率預(yù)報比確定性預(yù)報在決策方面具有更高的經(jīng)濟(jì)價值。貝葉斯方法在氣象集合預(yù)報中也有諸多應(yīng)用，陳法敬等(2011)及段明鏗和王盤興(2006)利用貝葉斯方法提高了集合預(yù)報系統(tǒng)的性能，提高了預(yù)報精度。另外，還有一些其他研究方法，如:Georgakakos and Smith(1990)利用卡爾曼濾波技術(shù)與水文模型相結(jié)合，得到模擬流量的均值與方差，進(jìn)行短期洪水預(yù)報;Georgakakos et al．(1998)通過蒙特卡洛法隨機(jī)生成若干組不同代表類型的氣象資料，以不同的初始條件輸入水文氣象模型中得到所有可能的徑流過程，延長了預(yù)見期，提高了模擬的可見性。

但是上述方法都有各自的缺陷，例如貝葉斯方法需要知道不確定性的概率分布和協(xié)方差結(jié)構(gòu)，卡爾曼濾波方法無法輸出不確定性的解析解，蒙特卡洛方法在隨機(jī)抽取樣本方面收斂速度慢，精確度不高，對于三維以下的問題不如基于線性最小二乘回歸的自適應(yīng)方法、分對數(shù)回歸模型的自適應(yīng)算法和卡爾曼濾波方法好(馮圓和龔曉燕，2010)。而通用線性模型(General Linear Model，簡稱GLM)方法可以避開這些問題，得到比較可靠的概率水文預(yù)報。

1 通用線性模型方法

從概率上看，水文后處理過程實(shí)際上是要得到一個條件概率密度函數(shù)，這個條件概率密度函數(shù)是f(yobs|yfcst)，即給定了氣象預(yù)報yfcst的觀測值yobs條件概率密度函數(shù)。如果忽略其他原因產(chǎn)生的誤差，

只關(guān)注于模型模擬水文事件產(chǎn)生的誤差，通用線性模型后處理方法的原理可以用方程(1)表示:

圖1是一個GLM的數(shù)據(jù)窗口示意圖。根據(jù)Zhao et al．(2011)對通用線性模型方法的研究，數(shù)據(jù)窗口主要分為分析期和預(yù)報期。分析期的作用是提取資料樣本以確定GLM模型參數(shù)，然后使用確定好的GLM模型對預(yù)報期的資料進(jìn)行校正，得到校正過的預(yù)報值。Na和Nf分別代表分析期和預(yù)報期的長度。在分析期和預(yù)報期的前后各有一個buffer期，作用是增加參與確定GLM模型參數(shù)的樣本數(shù)量，更好地確定 GLM模型參數(shù)。Nbuffer表示buffer期的長度。

如果隨機(jī)變量yobs(觀測值)、ysim(模擬值)和yfcst(預(yù)報值)是服從正態(tài)分布的，就可以利用通用線性模型方法去解決方程(1)的問題(R and Schakke，1973)。

圖1 通用線性模型的數(shù)據(jù)窗口示意圖Fig．1 Sketch map of data window of GLM

由于上述方法要求Z1和Z2中的變量服從正態(tài)分布，顯然觀測和模擬流量并不滿足這一條件，所以本文使用由Krzysztofowicz(1985)提出的正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)換方法(Normal Quantile Transformation，簡稱NQT)來解決這一問題。這種方法是將原始空間中的流量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為在轉(zhuǎn)換空間中的正態(tài)分布變量，使轉(zhuǎn)化變量的線性正態(tài)關(guān)系更加顯著。隨后進(jìn)行一個逆NQT過程，將轉(zhuǎn)換變量的估計值轉(zhuǎn)換回原始空間才能使用并符合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)。

2 數(shù)據(jù)與試驗介紹

本文使用的數(shù)據(jù)來自國際模型參數(shù)估計試驗(ModelParameterEstimationExperiment，簡 稱MOPEX)(Duan et al．，2005)。MOPEX 是一個關(guān)于水文模型和大氣模式的陸面參數(shù)化方案的國際合作項目，得到了世界氣象組織(WMO)、國際水文科學(xué)協(xié)會(簡稱IAHS)等多個氣象、水文部門和科學(xué)組織的支持。它通過利用氣象資料和水文資料對大量水文模型在相當(dāng)數(shù)量的河流流域里進(jìn)行模型參數(shù)的率定試驗，以探索模型最優(yōu)參數(shù)的估計方法。入選MOPEX的流域無大型水利工程，受人工影響較少，可以反映天然狀況下的水文過程。美國本土與中國緯度相近，有多種相似的氣候類型，尤其是密西西比河流域與中國長江流域有很多共同點(diǎn)，可以為中國的水文研究提供參考。

MOPEX中水文模型輸出的模擬數(shù)據(jù)分為兩種，一種為經(jīng)過模型參數(shù)率定的水文模型產(chǎn)生的模擬數(shù)據(jù)(簡稱CAL數(shù)據(jù))，其模擬誤差較小;另一種為未經(jīng)過參數(shù)率定的水文模型產(chǎn)生的模擬數(shù)據(jù)(簡稱APR數(shù)據(jù))，其模擬誤差較大。

本文選取MOPEX數(shù)據(jù)庫中French Broad River流域作為試驗流域。此流域面積為2 448 km2，此區(qū)域73%的覆蓋面積為森林，年降水量為1 676 mm。同時選取薩克拉門托水文模型(Sacramento，簡稱SAC模型)作為試驗?zāi)Ｐ?，?shù)據(jù)的時間長度為36 a，即1962年1月1日至1997年12月31日。SAC模型最早是一個設(shè)計用于洪水預(yù)報的概念性的集總式模型。它包括16個參數(shù)，利用一系列有一定物理概念的數(shù)學(xué)公式來描述水分的運(yùn)動過程，具有較強(qiáng)的物理概念和廣泛的適用性(劉金平和樂嘉祥，1996)。目前SAC模型在美國被廣泛應(yīng)用于水文預(yù)報，同時也是中國國內(nèi)引入較早、研究應(yīng)用比較多的水文模型。

確定了模型和流域后，本文將根據(jù)不同的試驗設(shè)計選取分析期資料確定GLM模型參數(shù)，然后用確定好參數(shù)的GLM模型去校正預(yù)報期的流量模擬值并產(chǎn)生關(guān)于預(yù)報期的集合預(yù)報，依據(jù)對不同誤差水平的兩種資料(APR資料和CAL資料)的后處理效果來檢驗GLM校正誤差的能力:1)使用GLM分別對兩種模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行校正，分析期和預(yù)報期均與資料時間長度相同，通過若干統(tǒng)計指標(biāo)將校正結(jié)果與實(shí)際觀測對比，檢驗誤差校正效果;2)GLM使用不同的校驗策略，即使用不同年代長度的分析期資料來確定GLM模型參數(shù)，然后對預(yù)報期的模擬資料進(jìn)行后處理，測試在使用不同數(shù)量樣本確定的模型參數(shù)下GLM校正誤差的能力。

3 結(jié)果分析

3.1 兩種數(shù)據(jù)集GLM在不同誤差水平下的誤差校正能力

試驗中，設(shè)定數(shù)據(jù)窗的參數(shù)為:Na取30 d，Nf取30 d，Nbuffer取30 d;預(yù)報起始日期為2月24日。試驗選用36 a資料確定GLM模型參數(shù)，并用36 a資料進(jìn)行驗證。

首先，根據(jù)第2節(jié)所述，需對數(shù)據(jù)進(jìn)行NQT轉(zhuǎn)換，使其符合正態(tài)分布。圖2為APR數(shù)據(jù)和CAL數(shù)據(jù)在NQT轉(zhuǎn)換前后與實(shí)際觀測的相關(guān)系數(shù)比較。可見，在進(jìn)行NQT轉(zhuǎn)換前，CAL數(shù)據(jù)與實(shí)際觀測的相關(guān)系數(shù)基本達(dá)0.8，而APR數(shù)據(jù)與實(shí)際觀測的相關(guān)系數(shù)為0.6～0.8，CAL數(shù)據(jù)的相關(guān)性明顯好于APR數(shù)據(jù)。經(jīng)NQT轉(zhuǎn)換后，兩數(shù)據(jù)與實(shí)際觀測的相關(guān)系數(shù)均有提高，CAL數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.8～0.9(達(dá)0.9的數(shù)據(jù)明顯較多)，仍然好于APR數(shù)據(jù)(僅個別數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)達(dá)0.9)。

圖3是使用CAL資料和APR資料產(chǎn)生的集合流量預(yù)報的連續(xù)等級概率評分(Continuous Rank Probability Score，簡稱CRPS)的比較。CRPS的值可以定量地評價集合預(yù)報的性能;值越大表示集合預(yù)報的性能越差，值越小表示集合預(yù)報越好，零分代表最好預(yù)報。由圖3可見，兩種資料產(chǎn)生的集合流量預(yù)報的CRPS值在整個預(yù)報期內(nèi)都處于較低水平，使用APR資料的集合預(yù)報的CRPS值全部低于0.45，而使用CAL資料的集合預(yù)報的CRPS值都低于0.4，說明GLM后處理器產(chǎn)生的集合流量預(yù)報是較可靠的。使用兩種資料的集合預(yù)報在預(yù)報期的初始階段均較好，得到了很低的CRPS值，隨著預(yù)報時效延長，CRPS值逐漸升高，說明預(yù)報效果不斷變差，這也是符合預(yù)報的一般規(guī)律的。整體而言，可以認(rèn)為整個預(yù)報期內(nèi)的集合預(yù)報效果是可靠的。

圖2 NQT轉(zhuǎn)換前后原始預(yù)報與實(shí)際觀測的相關(guān)系數(shù) a．APR資料轉(zhuǎn)換前;b．APR資料轉(zhuǎn)換后;c．CAL資料轉(zhuǎn)換前;d．CAL資料轉(zhuǎn)換后Fig．2 Correlation coefficients between raw simulations and observations(before or after NQT transformation) a．APR data before NQT transformation;b．APR data after NQT transformation;c．CAL data before NQT transformation;d．CAL after NQT transformation

圖3 使用APR和CAL資料的集合預(yù)報的CRPS比較Fig．3 Comparison of CRPS scores from ensemble forecasts using APR and CAL data

圖4是GLM使用兩種資料的校正結(jié)果與實(shí)際觀測在統(tǒng)計指標(biāo)上的對比。在下面的對比中選用集合預(yù)報結(jié)果的集合平均作為單值的校正預(yù)報，這是因為集合平均位于集合中位與預(yù)報分布的中心，代表了真實(shí)情況下最有可能出現(xiàn)的狀況。

圖4 使用不同資料水文模擬結(jié)果的評估 a．原始模擬、校正值與實(shí)際觀測的平均值對比;b．原始模擬、校正值與實(shí)際觀測的標(biāo)準(zhǔn)差對比;c．原始模擬和校正值的均方根誤差對比;d．APR資料的原始模擬、校正值與實(shí)際觀測的累積分布函數(shù)比較;e．CAL資料的原始模擬、校正值與實(shí)際觀測的累積分布函數(shù)比較Fig．4 Evaluations of results using different simulation data a．comparison of mean of raw simulation，adjusted and observation;b．comparison of STD of raw simulation，adjusted and observation;c．comparison of RMSE of raw simulation and adjusted;d．comparison of CDF of raw simulation，adjusted and observation using APR data;e．comparison of CDF of raw simulation，adjusted and observation using CAL data

圖4a是使用CAL資料和APR資料的原始模擬值、校正預(yù)報值與實(shí)際觀測三者平均值(簡稱Mean)的比較。校正預(yù)報的流量是否與實(shí)際觀測相吻合是對校正效果好壞最直觀的判斷。圖4a表明，不論使用APR資料還是使用CAL資料，預(yù)報期內(nèi)校正預(yù)報的平均都比原始模擬的平均更加接近于實(shí)際觀測平均。這表明經(jīng)過GLM后處理器的處理，有誤差的水文模擬得到了很好的校正，結(jié)果更接近實(shí)際觀測。對APR資料和CAL資料的校正結(jié)果進(jìn)行對比可知，誤差較小的CAL資料的校正結(jié)果相對于誤差較大的APR資料的校正結(jié)果更接近實(shí)際觀測，說明GLM不僅可以處理誤差較大的水文模擬，對于誤差較小的水文模擬也有一定的處理能力。

圖4b是使用CAL資料和APR資料的原始模擬值、校正預(yù)報值與實(shí)際觀測三者的標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation，簡稱STD)的比較。STD是對不確定性的一種量化。STD越高，表示試驗數(shù)據(jù)越離散，即觀測值與預(yù)測值相差越大;反之，STD越低，則代表觀測值與預(yù)測值相差越小。圖4b表明，不論是使用APR資料還是使用CAL資料的結(jié)果，經(jīng)過GLM后處理的校正預(yù)報的標(biāo)準(zhǔn)差都比原始模擬更接近于實(shí)際觀測，尤其是對APR資料的改善極其顯著。其中盡管APR資料的校正結(jié)果的STD相比于CAL資料的校正結(jié)果的STD得到了較大程度的校正，更接近于實(shí)際觀測，但由于被校正得過低，反而與真實(shí)情況有差距。對比CAL資料的標(biāo)準(zhǔn)差的校正情況，可以認(rèn)為APR資料經(jīng)過GLM校正后，還包含了較大的不確定性，這些不確定性可能與水文模型自身的參數(shù)率定有關(guān)。

圖4c是使用CAL資料和APR資料的校正預(yù)報值與原始模擬值的均方根誤差(Root-Mean-Square Error，簡稱RMSE)的比較。RMSE是由實(shí)際觀測值與預(yù)報值之間的差值定義的，RMSE的值越大，表示預(yù)報誤差越大，反之則表明預(yù)報誤差越小。可以看到，相對于原始預(yù)報的RMSE，經(jīng)過后處理的校正預(yù)報的RMSE明顯降低。使用APR資料的校正預(yù)報的誤差被降低到使用CAL資料的原始預(yù)報的誤差幾乎同樣水平，而CAL資料的校正預(yù)報的誤差則得到了更進(jìn)一步降低，這也驗證了之前分析的結(jié)論。

圖4d和圖4e分別是APR資料和CAL資料的原始模擬、校正預(yù)報與實(shí)際觀測的累積分布函數(shù)的比較。累積分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function，簡稱CDF)描述的實(shí)數(shù)隨機(jī)變量x的概率分布，也是概率密度函數(shù)(Probability Density Function，簡稱PDF)的積分。概率密度函數(shù)表示的是隨機(jī)變量的瞬時取值落在某指定范圍內(nèi)的概率，CDF代表的是隨機(jī)變量x小于或者等于某個數(shù)值的概率，也就是連續(xù)函數(shù)F(x)的分布。圖4d和圖4e表明，APR資料和CAL資料經(jīng)過GLM處理的校正值在分布上都更接近實(shí)際觀測;特別是CAL資料，經(jīng)過水文模型自身的參數(shù)率定之后，其誤差已得到較大程度的降低，數(shù)據(jù)分布與實(shí)際觀測數(shù)據(jù)相當(dāng)接近，再經(jīng)過GLM后處理后，數(shù)據(jù)分布狀況得到進(jìn)一步改善。

綜合所述，這些試驗初步證明GLM不僅可以有效降低水文模擬中的誤差，還可以產(chǎn)生可靠的集合流量預(yù)報。它不僅對誤差較大的水文模擬能取得較好的校正效果，而且對誤差較小的水文模擬也有一定的處理能力，可以進(jìn)一步降低誤差。

3.2 不同的校驗策略下GLM的性能比較

在下面的試驗中，數(shù)據(jù)窗口的參數(shù)不變，只是選取了另外兩種不同的校驗GLM模型參數(shù)的策略(即選擇不同年代長度的分析期和驗證期資料)，來進(jìn)行與第3.1節(jié)一樣的試驗，以測試GLM在不同校驗策略下的校正效果。

由表1可見，校驗期策略1(即第3.1節(jié)使用的試驗設(shè)計)表示用36 a長度的資料確定GLM模型參數(shù)，然后用同樣的36 a資料進(jìn)行驗證;校驗期策略2表示用前18 a資料確定GLM模型參數(shù)，用后18 a資料進(jìn)行驗證;校驗期策略3表示用單數(shù)年(共18 a)資料確定GLM模型參數(shù)，用偶數(shù)年(共18 a)資料進(jìn)行驗證。

圖5a、圖6a分別是在使用校驗策略2、3情況下用不同資料得到的模擬值、校正值與實(shí)際觀測平均值的比較?？梢?，不管使用哪種校驗策略，經(jīng)過GLM處理的校正值都比原始模擬值要更加接近實(shí)際觀測，誤差得到有效降低。而且使用CAL資料的校正值在兩個統(tǒng)計指標(biāo)上也都比使用APR資料的校正值更加接近實(shí)際觀測，其他指標(biāo)如標(biāo)準(zhǔn)差、累積分布函數(shù)等的結(jié)果也大致相同，不再贅述。該結(jié)果既支持了上一個試驗所得到的結(jié)論，又說明GLM后處理器在不同校驗策略下(即在不同的參數(shù)配置下)，對水文模擬中不確定性的校正作用也是有效的。

圖5 校驗策略2的結(jié)果 a．原始模擬、校正值與實(shí)際觀測的平均值對比;b．原始模擬和校正值的均方根誤差對比Fig．5 Results of the calibration strategy 2 a．comparison of mean of raw simulation，adjusted and observation;b．comparison of RMSE of raw simulation and adjusted

圖6 校驗策略3的結(jié)果 a．原始模擬、校正值與實(shí)際觀測的平均值對比;b．原始模擬和校正值的均方根誤差對比Fig．6 Results of the calibration strategy 3 a．comparison of mean of raw simulation，adjusted and observation;b．comparison of RMSE of raw simulation and adjusted

但是，也應(yīng)注意到，在預(yù)報的某些時段內(nèi)，使用CAL資料的校正預(yù)報誤差并不比使用APR資料的校正預(yù)報誤差更低(圖5b、圖6b)，這表明并不是所有的有誤差的水文模擬通過GLM后處理都能得到改善。其原因在于:如果對降水資料的前處理以及水文模型自身的參數(shù)率定等前期工作可以得到比較理想的結(jié)果，使得水文模擬中的誤差已經(jīng)消除得比較多，則后處理過程無法再進(jìn)一步減小誤差。

由于3種校驗策略的本質(zhì)區(qū)別是參與確定GLM模型參數(shù)的樣本數(shù)量不同，可以看到使用策略1的樣本數(shù)量最多，使得使用策略1得到的校正效果最好，所以參與確定GLM模型參數(shù)的樣本值越多，提取的歷史信息越多，校正的結(jié)果就越接近實(shí)際觀測。

4 結(jié)論

本文利用MOPEX提供的兩種不同誤差水平的資料，對比檢驗GLM后處理器對水文集合預(yù)報誤差的校正能力。結(jié)果如下:

1)GLM后處理器可以產(chǎn)生可靠的水文集合預(yù)報，集合預(yù)報的連續(xù)分級概率評分值都在比較低的水平，證明預(yù)報結(jié)果是可靠的。

2)GLM后處理器對有偏差的水文預(yù)報的校正效果是顯著的。在平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、均方根誤差等統(tǒng)計指標(biāo)方面的比較顯示，無論是誤差較大或者是誤差較小的水文模擬，校正預(yù)報都要比原始模擬更加接近于實(shí)際觀測，誤差顯著降低。

3)即使是對經(jīng)過參數(shù)率定的水文模型產(chǎn)生的誤差較小的水文模擬，GLM后處理器仍然有能力消除一部分誤差。

4)使用不同的校驗策略，選取不同的分析期資料對不同預(yù)報期資料進(jìn)行校正，GLM后處理器都能很好地反映出實(shí)際觀測的變化趨勢，降低原始模擬中的誤差。這表明GLM的處理效果是穩(wěn)定有效的，不會因為較少的資料而造成誤差校正效果的顯著下降。

5)通過試驗結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)當(dāng)原始模擬已經(jīng)做得足夠好，模擬誤差已經(jīng)比較小的時候，后處理不一定能得到更好的結(jié)果。

本文只選取了MOPEX數(shù)據(jù)庫中一個模型在一個流域上的資料進(jìn)行試驗，初步驗證了GLM的性能。下一步要擴(kuò)大流域和模型的數(shù)量，特別是加強(qiáng)國內(nèi)流域和水文模型的試驗，以進(jìn)一步證明GLM的校正能力是普遍有效的。

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