張 志，廖 瑛，文援蘭，楊雅君，李 志,2

(1. 國(guó)防科技大學(xué) 航天與材料工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073； 2. 中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京 100094)

一、引 言

在GPS精密定位中，尤其是高精度、動(dòng)態(tài)定位中，經(jīng)常要用到IGS[1](International GNSS Service)提供的精密星歷，其中三維坐標(biāo)的最終精度優(yōu)于2.5 cm，但GPS精密星歷的數(shù)據(jù)采樣間隔為15 min。而GPS接收機(jī)的采樣率一般為30 s或15 s，甚至更密，因此，要想利用某一時(shí)刻的衛(wèi)星位置，就必須對(duì)精密星歷進(jìn)行高精度的插值。在GPS數(shù)據(jù)后處理中，用戶(hù)需要選擇合理的數(shù)學(xué)模型對(duì)GPS精密星歷進(jìn)行插值或擬合，才能獲得任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)，因而研究如何利用精密星歷快速地插值出觀測(cè)瞬間衛(wèi)星的位置成為實(shí)際應(yīng)用中一項(xiàng)十分必要的工作。

對(duì)GPS精密星歷的內(nèi)插法主要有多項(xiàng)式內(nèi)插法和三角內(nèi)插法，采用多項(xiàng)式內(nèi)插法和三角內(nèi)插法得到的精度基本相當(dāng)[2]。對(duì)于多項(xiàng)式內(nèi)插法，要想獲得理想的精度就要合理地選擇多項(xiàng)式的階數(shù)和插值的時(shí)間間隔。目前，國(guó)內(nèi)用于精密星歷插值較常用的方法有Lagrange插值法、Neville插值法[3-4]及Chebyshev多項(xiàng)式插值法[5-6]等，但對(duì)基本多項(xiàng)式插值法的研究很少。Mark Schenewerk[2]和Milan Horemu?[7]均提到了基本多項(xiàng)式插值法用于精密星歷的插值計(jì)算，前者只給出了概括性的分析說(shuō)明，后者雖對(duì)多項(xiàng)式插值法在精密星歷的插值過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行了分析，但相關(guān)文獻(xiàn)并未給出具體的插值計(jì)算方法。

本文利用Householder變換求解基本多項(xiàng)式擬合系數(shù)來(lái)避免對(duì)病態(tài)的法方程系數(shù)矩陣直接求逆計(jì)算二乘解，并對(duì)擬合曲線進(jìn)行插值計(jì)算，為避免高階基本多項(xiàng)式插值過(guò)程中出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象的影響，給出了多項(xiàng)式擬合區(qū)間長(zhǎng)度、有效區(qū)間長(zhǎng)度和基本插值多項(xiàng)式階數(shù)的選取準(zhǔn)則，最后對(duì)插值的結(jié)果進(jìn)行比較分析。

二、插值多項(xiàng)式選取原則

對(duì)于插值多項(xiàng)式(插值函數(shù))來(lái)說(shuō)，為了使插值函數(shù)的數(shù)值計(jì)算具有可操作性，通常取插值函數(shù)類(lèi)為有限維子空間。為使插值便于實(shí)現(xiàn)，插值函數(shù)類(lèi)子空間的一組基函數(shù)應(yīng)當(dāng)容易計(jì)算。一旦確定了插值函數(shù)類(lèi)子空間的一組基函數(shù)，插值問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為求一組組合系數(shù)的問(wèn)題。

由定理說(shuō)明組合系數(shù)的唯一性：設(shè)φi,i=1,2,…，n+1是線性無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式，那么任一多項(xiàng)式p可唯一地由φ1t,φ2t,…,φn+1t的線性組合來(lái)表示[8]。

設(shè)線性無(wú)關(guān)的一組基函數(shù)1,t,t2,…,tn，則插值多項(xiàng)式(插值函數(shù))pt可唯一地由基函數(shù)線性組合表示pt=c1tn+c2tn-1+…+cnt+cn+1，此插值多項(xiàng)式稱(chēng)為基本多項(xiàng)式。同樣，Chebyshev插值多項(xiàng)式和Legendre插值多項(xiàng)式等均可以唯一地由一組線性無(wú)關(guān)的基函數(shù)表示。以下將以基本多項(xiàng)式為例進(jìn)行分析討論。

三、基本多項(xiàng)式插值方法

給定m個(gè)歷元時(shí)刻t1,t2,…,tm的觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)需要計(jì)算n階基本多項(xiàng)式系數(shù)。為了改進(jìn)數(shù)值計(jì)算精度，需要將變量t正則化為

式中，t∈t1,t2,…,tm；mean()、std()分別表示向量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

則GPS衛(wèi)星坐標(biāo)(x,y,z)的基本多項(xiàng)式分別為

(1)

式中，n為基本多項(xiàng)式的階數(shù)；cxi、cyi、czi分別為(x,y,z)坐標(biāo)分量的基本多項(xiàng)式系數(shù)，為待求量。

誤差方程的矩陣形式表示為

(2)

為最小。此處給出最小二乘問(wèn)題的法方程組

(3)

式中，R1是為n+1階上三角矩陣；R中后面m-(n+1)行元素為0。

利用正交矩陣不改變向量長(zhǎng)度的性質(zhì)，又有

這樣用QR分解的最小二乘法求解出基本多項(xiàng)式系數(shù)cxi，同理，可求得cyi、czi，利用這些系數(shù)，根據(jù)式(1)便可計(jì)算出t∈t1,tm時(shí)間區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)。

四、實(shí)例分析

為更好地進(jìn)行試驗(yàn)比對(duì)，采用Mark Sche-newerk[2]中的數(shù)據(jù)，包括時(shí)間間隔(步長(zhǎng))為15 min的精密星歷ECF_15MI.200，文中稱(chēng)為試驗(yàn)數(shù)據(jù)；作為插值比較的5 min間隔數(shù)據(jù)文件ECF_5MIN.200，文中稱(chēng)為真值數(shù)據(jù)，以上數(shù)據(jù)均可以從http:∥www.ngs.noaa.gov/gps-toolbox 下載。以試驗(yàn)數(shù)據(jù)的第一個(gè)歷元點(diǎn)2002年1月1日00∶00∶00.000作為擬合起始?xì)v元，分別采用2 h、3 h、4 h、5 h弧段進(jìn)行基本多項(xiàng)式擬合，然后對(duì)擬合的曲線進(jìn)行5 min間隔的插值，得到的插值數(shù)據(jù)與對(duì)應(yīng)歷元真值數(shù)據(jù)之差稱(chēng)為插值誤差，以此來(lái)說(shuō)明方法的有效性。插值誤差如圖1—圖4所示。本文給出了PRN01星的比較結(jié)果，其他各星結(jié)果類(lèi)似。

圖1 2 h擬合區(qū)間，8階基本多項(xiàng)式插值誤差

圖2 3 h擬合區(qū)間，12階基本多項(xiàng)式插值誤差

圖3 4 h擬合區(qū)間，16階基本多項(xiàng)式插值誤差

圖4 5 h擬合區(qū)間，20階基本多項(xiàng)式插值誤差

由圖1—圖4可以看出，高階基本多項(xiàng)式插值結(jié)果并不穩(wěn)定，插值結(jié)果存在明顯的龍格現(xiàn)象[11]，即插值的兩邊緣部分的精度較低，且存在一定的震蕩性。但圖2—圖4清晰地表明，基本多項(xiàng)式擬合區(qū)間的中間2 h區(qū)域插值精度為毫米級(jí)，因此可以稱(chēng)擬合區(qū)間中間2 h區(qū)域?yàn)橛行^(qū)間，這樣，只要每次插值計(jì)算都進(jìn)入有效區(qū)間，則能有效避免龍格現(xiàn)象的影響，從而使擬合達(dá)到毫米級(jí)的精度。對(duì)2 h的有效區(qū)間，最大插值誤差不超過(guò)5 mm，這對(duì)于厘米級(jí)的精密星歷來(lái)說(shuō)，是完全可以接受的。

綜合考慮計(jì)算量和擬合階數(shù)，本文選取階數(shù)為16，擬合區(qū)間為4 h的多項(xiàng)式，在2 h有效區(qū)間進(jìn)行插值計(jì)算，如圖5所示，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行4 h擬合，在一天內(nèi)有效區(qū)間插值數(shù)據(jù)與對(duì)應(yīng)歷元真值數(shù)據(jù)的差值如圖6所示。

由圖6可以看出，試驗(yàn)數(shù)據(jù)在時(shí)間段00∶00∶00.000—23∶45∶00.000內(nèi)的插值計(jì)算結(jié)果表明，有效區(qū)間插值數(shù)據(jù)只能得到1～21 h的數(shù)據(jù)結(jié)果，若希望得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)中24 h的有效插值結(jié)果，則需要提供前一天和后一天的精密星歷數(shù)據(jù)。試驗(yàn)結(jié)果顯示，插值數(shù)據(jù)精度可達(dá)到毫米級(jí)，誤差小于3 mm。由于精密單點(diǎn)定位對(duì)衛(wèi)星星歷誤差的要求為毫米級(jí)，因此這并不影響多項(xiàng)式擬合法插值出的數(shù)據(jù)在實(shí)際中的應(yīng)用。用兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量Max和RMS來(lái)反映試驗(yàn)數(shù)據(jù)所有衛(wèi)星基本多項(xiàng)式插值結(jié)果，表1列出了PRN01、PRN15和PRN31號(hào)衛(wèi)星的分析結(jié)果。其中，Max指插值結(jié)果三維位置誤差絕對(duì)值的最大值；RMS指內(nèi)插結(jié)果三維位置誤差的均方根誤差。

由表1可知，采用2 h的有效區(qū)間基本多項(xiàng)式插值方法，試驗(yàn)數(shù)據(jù)3顆衛(wèi)星x、y、z3個(gè)方向的插值誤差最大值均不超過(guò)3 mm，3個(gè)方向的均方根小于0.6 mm。對(duì)于厘米級(jí)的精密星歷來(lái)說(shuō)，試驗(yàn)結(jié)果是比較理想的。

圖5 擬合區(qū)間和有效區(qū)間選取準(zhǔn)則

圖6 一天有效區(qū)間插值結(jié)果與真值數(shù)據(jù)差值

MaxRMSxyzxyzPRN012.55102.15321.98610.48390.48880.4776PRN151.61571.84242.36110.43260.44210.5290PRN311.73111.73941.86420.41360.44300.4534

五、結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)插值多項(xiàng)式的選取原則進(jìn)行了探討，根據(jù)選取原則設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的基本插值多項(xiàng)式，然后利用基本多項(xiàng)式擬合得到插值多項(xiàng)式系數(shù)，并對(duì)精密星歷進(jìn)行插值測(cè)試。試驗(yàn)結(jié)果表明，在插值邊緣部分出現(xiàn)明顯的龍格現(xiàn)象， 用基本多項(xiàng)式插值精密星歷時(shí)，4 h擬合區(qū)間、2 h有效區(qū)間、多項(xiàng)式擬合階數(shù)選取16能夠有效消除龍格現(xiàn)象的影響。根據(jù)以上選取準(zhǔn)則，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行一天的插值，給出有效區(qū)間之內(nèi)的插值結(jié)果，插值誤差小于3 mm，能夠滿(mǎn)足用戶(hù)定位精度要求。

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