孫 文，王慶賓，周 睿，朱志大，杜偉超

(1. 信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052； 2. 65015部隊(duì)，遼寧 大連 116023)

一、引 言

海平面變化主要由三方面因素引起：陸地和冰山水系的補(bǔ)充、海水溫度的變更及海底構(gòu)造的變化，這些因素將造成海平面高度呈區(qū)域性周期振蕩及全球性上漲的趨勢。海平面異常(sea level anomaly，SLA)是由實(shí)時海平面扣除平均海平面得到，而對其進(jìn)行精確預(yù)報能夠?yàn)楹Ｑ髿夂蜃兓A(yù)測提供重要參考?，F(xiàn)有的預(yù)報算法主要有：時間序列分析方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、支持向量機(jī)方法，以及這些方法的組合等。文獻(xiàn)[1]基于遺傳算法利用驗(yàn)潮站數(shù)據(jù)對澳大利亞西部海域的海平面進(jìn)行了預(yù)報研究，并與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行了比較分析；文獻(xiàn)[2-3]探討了遺傳算法在預(yù)報海洋表面溫度和海洋風(fēng)速場方面的應(yīng)用；文獻(xiàn)[4-5]基于AR模型對全球平均海平面和格網(wǎng)海平面異常進(jìn)行了預(yù)報，并重點(diǎn)研究了該模型在預(yù)報厄爾尼諾和拉尼娜現(xiàn)象方面的應(yīng)用效果。國內(nèi)的研究熱點(diǎn)主要集中在海面溫度及風(fēng)速場的預(yù)報[6-9]，對于SLA預(yù)報研究的相關(guān)文獻(xiàn)與論述較少。為此，本文在總結(jié)多種時間序列預(yù)報方法的基礎(chǔ)上，對各種方法在SLA預(yù)報方面的實(shí)際應(yīng)用效果作了比較分析，以期能夠?yàn)镾LA預(yù)報研究提供有益參考。

二、預(yù)報方法

1. 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network，ANN)是通過模擬生物神經(jīng)元的非線性映射功能對實(shí)際問題進(jìn)行處理的一種方法，具有超強(qiáng)的適應(yīng)能力和學(xué)習(xí)能力。其中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前應(yīng)用較為成熟的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。典型的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成。其中，設(shè)輸入層有M個節(jié)點(diǎn)，隱含層有K個節(jié)點(diǎn)，輸出層有N個節(jié)點(diǎn)，如第i個神經(jīng)元的輸入為xi，則隱含層各節(jié)點(diǎn)的輸入表示為

(1)

(2)

式中，ωik、ωkj為各層之間的連接權(quán)值。當(dāng)uj與實(shí)際輸入信號xi誤差達(dá)到足夠小時，則認(rèn)為該網(wǎng)絡(luò)收斂，完成訓(xùn)練。

2. 支持向量機(jī)[11]

支持向量機(jī)(support vector machine，SVM)回歸的基本原理是將輸入矢量通過非線性的映像函數(shù)映射到一個高維的特征矢量，然后再在這個空間內(nèi)做線性回歸。設(shè)樣本集為(xi,yi)，在高維特征空間構(gòu)造其線性回歸模型為

f(x)=〈ω,φ(x)〉+b

(3)

式中，ω、b分別為待求參數(shù)。根據(jù)SVM理論，上述線性回歸問題可以轉(zhuǎn)化為如下約束優(yōu)化問題

(4)

式中，εi=yi-f(xi)；C>0為懲罰因子。

最終，SVM回歸模型可以表示為

(5)

式中，K(x,xi)為核函數(shù)，常用的核函數(shù)為徑向基函數(shù)(RBF)

(6)

3. 自回歸滑動平均[12]

若平穩(wěn)序列{Xt}滿足

(7)

式中，a0=b0=1，εt：N(0,σ2)為白噪聲序列，則稱其為自回歸滑動平均序列(auto-regressive and moving average，ARMA)，簡稱為ARMA(p,q)序列，式(7)稱為ARMA(p,q)模型。p為AR模型的階數(shù)，q為MA模型的階數(shù)。應(yīng)用ARMA模型的關(guān)鍵在于其階數(shù)(p,q)的確定，文獻(xiàn)[12-13]對此有詳細(xì)論述，不再贅述。確定了模型階數(shù)，即可根據(jù)式(7)對序列進(jìn)行回歸分析。

4. 擺動灰色模型[14]

擺動灰色模型(undulating grey model，UGM)可以表示為

(8)

式中，a、b分別稱為灰作用量與發(fā)展系數(shù)，可依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則求出；x0(k)為原始序列；c、d為待定系數(shù)；ωi為信號中包含的頻率參數(shù)；z0(k)為均值序列，其中

z0(k)=x0(k+1)+x0(k)/2，k>1

(9)

利用UGM理論對原始序列的累加求和序列進(jìn)行估值

(10)

三、算例分析

1. 數(shù) 據(jù)

算例中的數(shù)據(jù)采用法國AVISO中心發(fā)布的DT SLA數(shù)據(jù)，其中包括TP、Jason-1及Jason-2共992個周期衛(wèi)星測高數(shù)據(jù)，時間跨度從1992年10月至2011年10月。試驗(yàn)區(qū)域選擇北太平洋，包括0°—40°N、100°E—160°E之間的區(qū)域。數(shù)據(jù)的詳細(xì)編輯準(zhǔn)則參見文獻(xiàn)[16]。將所有的SLA數(shù)據(jù)取空間平均，得到該區(qū)域SLA時間序列如圖1所示。

圖1 海平面異常時間序列

2. 精度評定方法

(11)

(12)

(13)

3. 預(yù)報結(jié)果

將圖1中的時間序列分為兩個部分：一部分?jǐn)?shù)據(jù)作為預(yù)報算法的輸入數(shù)據(jù)，另一部分?jǐn)?shù)據(jù)用來檢核預(yù)報結(jié)果的精度。文獻(xiàn)[17]的成果表明，預(yù)報海平面異常的輸入數(shù)據(jù)時間范圍應(yīng)不小于162個TP周期，約為4.4年。下面以圖1中的前1至165個周期作為輸入數(shù)據(jù)，用上述4種預(yù)報算法對兩年時間內(nèi)(約等于72個TP周期)該區(qū)域的SLA進(jìn)行預(yù)報。

對于不同的算法，采用不同的參數(shù)值，所得到的預(yù)報結(jié)果可能不盡相同。表1列出了上述算法中部分重要參數(shù)的取值(其中SVM懲罰因子通過交叉驗(yàn)證的方法得到)。

表1 各方法主要參數(shù)設(shè)置

值得說明的是，由于UGM方法的累加求和序列必須滿足單調(diào)增的條件，因此說明該方法只能對正值作預(yù)測，故需要在預(yù)測之前對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，然后將得到的預(yù)報值再進(jìn)行反歸一化，此即最終的預(yù)報值。將數(shù)據(jù){x}歸一化到[0,1]區(qū)間值{y}的方法為

y=(x-xmin)/(xmax-xmin)

(14)

將歸一化后的數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)，采用表1中的參數(shù)值，最終各方法的預(yù)報結(jié)果、絕對誤差及相對誤差示意圖分別如圖2、圖3和圖4所示。

圖2 各方法預(yù)報值與真值比較圖

圖3 各方法預(yù)報值的絕對誤差

圖4 各方法預(yù)報值的相對誤差

表2列出了4種方法的預(yù)報精度統(tǒng)計結(jié)果。

表2 預(yù)報值精度統(tǒng)計

由圖2、圖3、圖4及表2可以看出，相比另外3種方法，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的預(yù)報結(jié)果精度較高，無論是最大誤差或均方根值，均有較大優(yōu)勢，這充分說明了該方法具有良好的適應(yīng)性和泛化能力，但ANN方法存在的缺點(diǎn)是其運(yùn)算耗時較大，若預(yù)報的實(shí)時性要求較高，則不能采用。另外，表2中的平均相對誤差統(tǒng)計結(jié)果表明，SVM方法效果最好，這說明該方法預(yù)報結(jié)果與真值的相對接近程度是最優(yōu)的，這從圖2中也可以得出相同結(jié)論。

另外，UGM方法的優(yōu)勢在于少量數(shù)據(jù)的建模與預(yù)測[13]，且由于其運(yùn)算大多為多項(xiàng)式運(yùn)算，計算量較小，但當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時其劣勢表現(xiàn)得較為明顯：需已知信號中包含的頻率參數(shù)且精度相對較低。這說明該方法泛化能力較弱，當(dāng)數(shù)據(jù)量足夠時，不宜采用。而ARMA預(yù)報結(jié)果與真值相比偏大，精度略高于UGM方法，當(dāng)精度要求較低時可以采用。

四、結(jié)束語

本文總結(jié)了多種時間序列預(yù)報方法，并利用太平洋地區(qū)SLA數(shù)據(jù)對這些方法的實(shí)際預(yù)報效果進(jìn)行了比較與分析。結(jié)果表明，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法具有較好的適應(yīng)性和泛化能力，其預(yù)報結(jié)果相對于其他3種算法精度較高；從圖2中可以看出，當(dāng)預(yù)報時間長度較短時(如半年以下)，4種方法的結(jié)果差別較小，均能夠以亞厘米級精度對SLA作出預(yù)報；而當(dāng)預(yù)報時間較長時，應(yīng)根據(jù)精度與效率的要求采用更高精度和效率的算法。

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