黃兆梁

(常州工學院光電工程學院，江蘇常州213002)

單擺周期公式的綜合修正

黃兆梁

(常州工學院光電工程學院，江蘇常州213002)

從Lagrange函數(shù)出發(fā)導出單擺振動的運動方程，得到單擺周期的各主要修正項，包括復擺修正、空氣浮力修正、阻尼力修正和大擺幅修正等，修正項均保留到二級或以上小量，更正了以往單擺修正公式中的一些失誤，給出了在大擺幅情況下的單擺周期的高精度近似公式，從而使單擺周期的計算可以更為準確可靠。

單擺；周期；非線性；大擺幅；修正

O313.1

A

1 無阻尼小擺幅單擺周期公式推導

考慮到實際情況，將單擺視為一質(zhì)量為m、半徑為r的小球被質(zhì)量為μ的不可伸長的均質(zhì)細線懸掛于定點o，小球質(zhì)心到懸點的距離為l，細線與鉛垂線的夾角為θ?？紤]到復擺修正時，單擺的動能為

(1)

設小球材料的密度為ρ，質(zhì)量為m，空氣密度為ρ0，考慮到小球所受空氣浮力修正和擺幅修正，單擺的勢能為

(2)

該系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(3)

考慮到非保守的空氣阻尼力與速度成正比，可表示為

(4)

根據(jù)拉格朗日方程

(5)

可得：

(6)

即：

(7)

(8)

在不計阻尼(即β=0)以及小振幅的情況下，顯然有sinθ≈θ，因此

(9)

(10)

式(10)精度較高，也可采用式(11)計算，但精度稍差。

(11)

這里推導出的公式與部分文獻略有不同[1-3]，有些文獻推導中忽略了應保留的二級小量(包括2個一階小量的乘積)，導致二級小量的表達式不夠準確。由于細線波動影響相對較小可予以忽略，因此在上述推導過程中沒有考慮細線中的波動。

如果已確知當?shù)氐闹亓铀俣萭，則可根據(jù)式(10)求得單擺周期T0為：

(12)

圖1 各參數(shù)對單擺振動周期的影響

2 單擺小擺幅阻尼修正

上述討論中假設阻尼可以忽略不計，但實際上由于空氣阻尼等的存在，使單擺的振蕩會逐漸衰減直至停止。

根據(jù)式(6)與式(9)，以及小擺幅條件sinθ≈θ，式(7)可近似為

(13)

(14)

這里可分為3種情況：

1)β>ω0，稱為過阻尼，單擺擺幅較緩慢地持續(xù)衰減到平衡狀態(tài)；

2)β=ω0，臨界阻尼，單擺擺幅較快衰減到平衡狀態(tài)，呈振蕩的臨界狀態(tài)；

3)β<ω0，欠阻尼，單擺呈周期性振蕩并持續(xù)衰減到平衡狀態(tài)。

其單擺的3種振蕩情況如圖2所示。

圖2 單擺的3種阻尼振蕩情況

在欠阻尼情況下，式(14)也可以表達為

(15)

單擺在空氣中的擺動由于阻尼力很小，因此均為欠阻尼振蕩情況，其實際振蕩頻率將會比無阻尼情況略小，振蕩圓頻率ω為

(16)

這里的β可通過擺幅衰減情況來測定。設初始擺幅為θ0，擺動m次后擺幅衰減為θm，則

(17)

由此可推得振蕩圓頻率ω為

(18)

若擺動n次后擺幅衰減為一半，則

(19)

隨著擺幅半衰次數(shù)n的增加，其頻率也將越接近無阻尼振蕩頻率，如，半衰擺動次數(shù)為10次，則頻率為無阻尼時的0.999 94倍，周期將為無阻尼時的1.000 06倍，頻率僅減小了6×10-5，或相當于周期增大了6×10-5，顯然，這時阻尼對振動頻率或周期的影響微乎其微，如圖3所示。

圖3 振蕩頻率與擺幅半衰次數(shù)n的關(guān)系

阻尼對擺動周期的影響為

(20)

依據(jù)微小誤差原理，阻尼的影響修正只需在無阻尼的結(jié)果中添加阻尼項修正即可。

3 無阻尼大擺幅振蕩的修正

上述討論是基于小擺幅假設，現(xiàn)考慮無阻尼大擺幅振蕩，這時式(13)需改為

(21)

求解上述非線性微分方程可解得其振動周期[8]的精確解為

(22)

隨著單擺擺幅θ0的增大，周期T1也將隨之增大。擺幅對周期的影響如圖4所示，隨著擺角的增大其擺動周期也越來越長，并呈加速趨勢。圖4中T2(1)表示單擺周期的冪級數(shù)T2的一級近似式，T2(2)表示T2的二級近似式。

圖4 擺幅對單擺周期的影響

從圖4可以看出,單擺擺幅與擺動周期的關(guān)系。在不需要非常精確的情況下，擺動周期常用近似解來表示。其中單擺周期的冪級數(shù)近似解T2的五級修正公式[8]為

(23)

無論是用精確的式(22)或是近似的式(23)求解都不太方便。為了既有高精度同時公式又簡潔，許多文獻都對橢圓函數(shù)的積分近似進行了研究[3-10]，并獲得了許多較好的近似公式，如文獻[5]給出

(24)

文獻[6]提供了一個精度較好的擬合公式

(25)文獻[7]給出了其推薦的具有較高精度的近似式

(26)

文獻[9]給出了通過三次函數(shù)擬合得到的公式

(27)同時也給出了一個其認為具有較高精度的修正公式

(28)

本文在式(24)基礎上進一步擬合優(yōu)化，得到：

(29)

式(29)是具有更高精度的修正公式。

對上述8個周期計算公式計算其周期與理想單擺周期的比值，其隨最大擺角的變化情況如表1、表2所示。

為更清晰地顯示各計算式的誤差情況，以精確的T1作為比較基準，計算在(0，π/2)弧度即(0°，90°)內(nèi)的誤差(Ti-T1)/T0，并繪制出各公式的誤差曲線，如T2(5)的誤差(T2(5)-T1)/T0，以此類推。其中T2(5)、T3、T5、T6、T7的誤差曲線如圖5所示；T2(5),T3,T4、T8精度較高，其誤差曲線如圖6所示。

顯然這里T8在(-π/2,π/2)或(-90°，90°)范圍內(nèi)，誤差小于1.7×10-6，在所有參與比較的近似公式中精度最高，T2(5)次之，T3第三，T4第四，T5第五，T6第六，而T7的精度最低。其中T8不僅精度最高，且函數(shù)形式也相當簡潔，因此以T8作為單擺大擺幅周期的近似計算公式具有明顯優(yōu)勢。

表1 對應擺角θ下精確周期T1以及周期的各近似表達式Ti與理想單擺周期的比值Ti/T0

表2 對應擺角θ下各近似表達式的誤差與理想單擺周期的比值(Ti-T1)/T0

圖5 T2(5)、T3、T5、T6、T7的誤差曲線比較

圖6 T2(5)、T3、T4、T8的誤差曲線比較

考慮到單擺的阻尼和大擺幅修正，式(12)可進一步修改為

(30)

式(30)具有較高的精度，它也可部分轉(zhuǎn)化為有理式，但精度將略有下降，其保留到二級小量的表達式為

(31)

4 結(jié)論

根據(jù)上述討論，式(30)具有較高的準確度。鑒于大擺幅單擺的阻尼振動的情況較為復雜，這里不予討論。依據(jù)微小誤差獨立作用原理，可以確信式(30)用于這種情況的計算也應該具有足夠高的準確度。式(30)既有高精度又形式簡單，正是我們所需要的近似計算公式。式(31)是保留到二級小量的單擺的各項修正的公式，其精度稍低于式(30)，但也能滿足實際應用中的精度需要。

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責任編輯：張秀蘭

ComprehensiveCorrectionofSimplePendulumPeriodFormula

HUANGZhaoliang

(School of Photoelectric Engineering,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002)

The equations of motion are derived from the Lagrange function of simple pendulum vibration,resulting in major modifications for the period of simple pendulum,including compound pendulum correction,air buoyancy correction,damping force correction and large amplitude correction.All the corrections are reserved to level two or more.Some mistakes in the simple pendulum correction formula are corrected,and the approximate formula of high precision in large amplitude pendulum conditions is given,so that computing the period of simple pendulum can be more accurate and reliable.

single pendulum;period;nonlinear;large amplitude;correction

2014- 05-20

黃兆梁(1956— )，男，副教授。

1671- 0436(2014)03- 0043- 05