陳懷民+田宗超+程鵬飛+段曉軍

摘 要： 針對模型未知或不確定的情況下確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度的問題，提出了利用實驗方法獲得系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。對于MIMO系統(tǒng)，通過實驗方法獲得頻響矩陣，應(yīng)用回差矩陣最小奇異值法對穩(wěn)定裕度進行估計，在實例中應(yīng)用μ方法進行驗證。目前很少有文獻介紹利用飛行試驗方法直接獲取系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的方法，因此該文對于工程中系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的確定有著一定的意義。

關(guān)鍵字： MIMO系統(tǒng)； 飛行試驗； 穩(wěn)定裕度； 最小奇異值

中圖分類號： TN911?34； TP391.41 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）16?0120?03

Research on stability margin testing technology

CHEN Huai?min， TIAN Zong?chao， CHENG Peng?fei， DUAN Xiao?jun

（National Key Laboratory of Science and Technology on UAV， NWPU， Xian 710065， China）

Abstract： In order to determine the stability margin of system under the condition that model is unknown or uncertain， an experimental method is proposed to get system stability margin. For MIMO system， the experimental method is adopted to obtain frequency response matrix， and the minimum singular value method of return difference matrix is used to estimate the stability margin. The u method is applied to verify the results in the instance. At present， there are few literatures to introduce the method that a flight test is performed to obtain the stability margin of a system directly， so the research has a certain significance for determining the stability margin of a system.

Keywords： MIMO system； flight test； stability margin； minimum singular value

0 引 言

對于一個實際飛機系統(tǒng)而言，只有在系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕度的情況下，才能使系統(tǒng)不因參數(shù)的小范圍漂移而導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定。如果系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度測試不準，就會導(dǎo)致控制器的設(shè)計不準確，導(dǎo)致的后果是無法預(yù)測的，所以穩(wěn)定裕度的測試極其重要。通過控制原理可知，穩(wěn)定裕度又分為幅值裕度和相位裕度，它們都是評判系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要指標。

對于SISO系統(tǒng)，經(jīng)典的bode圖法和Nyquist法已經(jīng)相當成熟，可以利用頻響函數(shù)畫出bode圖或Nyquist圖，從圖上就可以直接得出SISO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。如果系統(tǒng)的模型未知，也可以通過實驗法來得到系統(tǒng)的頻響函數(shù)。利用H1，H2，HV估計[1]都可以獲得系統(tǒng)的頻響函數(shù)。

對于MIMO系統(tǒng)，國際上還沒有一種統(tǒng)一的定論，只是一些人根據(jù)自己的見解提出了一些定義和方法。而飛機的大多數(shù)控制回路都是多入多出的，所以，MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的測試研究工作就顯得極其重要。

1 MIMO系統(tǒng)測試總體設(shè)計

1.1 實驗法獲得MIMO系統(tǒng)頻響矩陣

對于SISO系統(tǒng)而言，可以通過輸入輸出數(shù)據(jù)，利用功率譜算法求得頻響函數(shù)，進而利用bode圖法和Nyquist圖法求得系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。而對于多輸入多輸出系統(tǒng)，可以采用下面的方法測得傳遞函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)是一個二入二出的MIMO飛機系統(tǒng)，如圖1所示，基本方法如下：先在橫向回路和航向回路中任意選定一個回路，而把另一個回路切斷進行測試，測試完成之后顛倒順序再次進行測量。

圖1 飛機橫航向控制系統(tǒng)框圖

以U1作為橫向回路的激勵信號，U2作為航向回路的激勵信號，y1和y2為系統(tǒng)的輸出，G表示飛機模型，K表示飛機模型的控制器，那么此系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可表示如下：

[X1（jω）X2（jω）=T11（jω）T12（jω）T21（jω）T22（jω）U1（jω）U2（jω）]

通過展開推導(dǎo)如下：

[X1（jω）=T11（jω）U1（jω）+T12（jω）U2（jω）]

[X2（jω）=T21（jω）U1（jω）+T22（jω）U2（jω）]

從上面的式子不難得出：通過回路的通斷即可得到MIMO的頻響矩陣，具體方案如下：用輸入[U1]單獨作為系統(tǒng)激勵，同時[U2]斷開，利用這種方法可以得到x1和x2。

此時由上式可知：

[X1（jω）=T11（jω）U1（jω）]

[X2（jω）=T21（jω）U1（jω）]

通過簡化推導(dǎo)可以得到如下結(jié)果：

[T11（jω）=X1（jω）U1（jω）]

[T21（jω）=X2（jω）U1（jω）]

同樣，利用上面類似的方法，先使[U2]作為整個系統(tǒng)的激勵，同時[U1]通道斷開，然后可以得到如下結(jié)果：

[T12（jω）=X1（jω）U2（jω）]

[T22（jω）=X2（jω）U2（jω）]

通過上面二入二出系統(tǒng)的例子，對系統(tǒng)回路實現(xiàn)簡單的通斷就實現(xiàn)了頻響矩陣的量測，受到上面的啟示，可以得到如下結(jié)論：對于任意多回路，只要應(yīng)用上述方案的思路就可以得到系統(tǒng)的頻響矩陣[2]。

1.2 奇異值法確定MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度

在獲得系統(tǒng)的頻響矩陣以后就要確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，就MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度而言，目前國際上還沒有一個定論來確定。只是一些人根據(jù)自己的看法提出了一些觀點，下面利用目前比較成熟的最小奇異值法[3]來介紹，介紹如何利用1.1中獲得的頻響矩陣求回差矩陣的最小奇異值。

將輸入u（t）到輸出x（t）傳遞函數(shù)矩陣頻率響應(yīng)函數(shù)Tu[jω]定義如下：

[Tu（jω）ij=k=1N（Sxiuj（jω））k（Suiuj（jω））k-1]

在上面的式子中，[Suu]是輸入的自功率譜密度，[Sxu]表示輸入u和輸出x互功率譜密度。

頻響矩陣可以利用第1.1節(jié)中介紹的通斷的方法求得。通過系統(tǒng)回路通斷的簡單方法可以得到系統(tǒng)頻響矩陣[Tu（s）]，系統(tǒng)輸入回差矩陣定義如下式：I+KG。

由圖1所示，可以得到：

[e=u-x， x=KGe=KG（u-x）]

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)可以通過輸入u和輸出x的功率譜密度來確定，具體如下式所示：

[Sxu=KG（Suu-Sxu）]

用[Suu-1]右乘上式可得如下結(jié)果：

[SxuSuu-1=KG（SuuSuu-1-SxuSuu-1）]

最后可以得到：

[Tu=KG（I-Tu）]

因此，可以得到開環(huán)增益矩陣的頻率函數(shù)如下式所示：

[KG（jω）=Tu（jω）（I-Tu（jω））-1]

通過上式來確定系統(tǒng)回差矩陣為[I+Tu（jω）（I-Tu（jω））-1]，所以可以得到系統(tǒng)回差矩陣的最小奇異值[4]為：

[σ-（（I+Tu（jω）（I-Tu（jω））-1））] （1）

通過頻響矩陣得到了系統(tǒng)回差矩陣的最小奇異值，這時，需要利用回差矩陣最小奇異值來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，這里講的MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度是指所有MIMO系統(tǒng)回路同時變化時系統(tǒng)所確定的裕度。由于回差矩陣最小奇異值與穩(wěn)定裕度之間存在著一個標準的對應(yīng)關(guān)系，所以系統(tǒng)穩(wěn)定的幅值裕度[7]GM和相位裕度PM[4]有如下關(guān)系表達式：

[GM=11±aPM=±arccos（1-a22）] （2）

式中，a為系統(tǒng)的最小奇異值。因此，只要得到了系統(tǒng)回差矩陣的最小奇異值，就可以通過式（2）確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。但是注意式（2）確定的不是幅值和相位同時變化，若要考慮所有回路幅值和相位同時變化而使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，則要由通用的幅值?相位裕度估計圖[4]確定。

利用回差矩陣最小奇異值來確定MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度度的流程圖如圖2所示。

首先獲得輸入輸出數(shù)據(jù)，考慮到需要的對象是一個黑盒系統(tǒng)，所以通過對系統(tǒng)提供一個掃頻信號的激勵，以實現(xiàn)得到的數(shù)據(jù)最能反映系統(tǒng)的特性。對數(shù)據(jù)進行低通濾波以排除噪聲的影響，利用上面的方法可獲得系統(tǒng)的頻響矩陣，然后計算開環(huán)增益矩陣KG[jω]，進而得到回差矩陣的最小奇異值[σ-（（I+Tu（jω）（I-Tu（jω））-1））]，然后利用通用幅值?相位裕度估計圖[4]就可以確定MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

2 MIMO系統(tǒng)實例仿真及分析

某型飛機側(cè)向小擾動線性方程[6]為：

[x=Ax+Bu，y=Cx]

[A=-0.150 200.065 140.036 321.000 0-27.160 76-1.466 730-0.665 5101.000 00-0.065 19-4.794 340.000 020-0.236 46][B=0-0.022 28-23.082 58-7.166 330 00.957 33 -2.506 87]

[C=10000010]

圖2 回差矩陣最小奇異值法確定MIMO穩(wěn)定裕度流程圖

所得的閉環(huán)控制系統(tǒng)在Simulink中畫出框圖見圖3所示。

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

借助上面的模型來驗證測試方法的可行性。在此測試過程中，視模型為黑盒系統(tǒng)，只利用輸入/輸出數(shù)據(jù)來測試系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。輸入注入掃頻信號，為了排除噪聲對數(shù)據(jù)的干擾，采用巴特沃茲低通濾波器對數(shù)據(jù)進行濾波，然后利用1.1介紹的方法求出頻響矩陣，然后利用式（1）確定系統(tǒng)的最小奇異值，最后利用數(shù)據(jù)得到的最小奇異值如圖4所示。

圖4 最小奇異值曲線

從仿真結(jié)果可以得出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。由圖得知：[-σ（I+GK）=0.1]，所以系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度為：所有通道幅值變化的最大范圍為-0.83～0.92 dB；所有通道相位變化的最大范圍為±5.7?。上面的仿真結(jié)果是利用實驗的方法獲得的，只利用數(shù)據(jù)得出的穩(wěn)定裕度，為了說明實驗方法的可行性，下面直接利用上面的傳函矩陣，應(yīng)用μ分析方法[7]來進行比較。采用[μ]分析方法[5]得到的仿真曲線如圖5所示。

圖5 μ值曲線

μ值與系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度存在如下關(guān)系[8]：

[1-1?≤k≤1+1?]

[ψ=±arccos（1-12?2）]

式中k為μ的最大值。

所以，從圖5可以得出k=9.1；系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度為：所有通道幅值變化的最大范圍為-1.03～0.93 dB；所有通道相位變化的最大范圍為±6.37°。顯然兩者的結(jié)果是相近的，這說明了利用實驗法直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度是可行的，更說明了本文所介紹方法的正確性。從上面仿真的結(jié)果還可以得出另外一個有意義的結(jié)論：μ方法提供的穩(wěn)定裕度的范圍略大于奇異值法確定的范圍，這說明μ方法在克服奇異值法的保守性方面有一定的作用。

3 結(jié) 論

本文介紹了如何利用實驗法直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，而不需要確定系統(tǒng)傳函矩陣，這在克服系統(tǒng)模型未知或不確定情況有很重要的意義。同時通過仿真實例驗證了μ方法在一定程度上可以克服奇異值法的保守性。

參考文獻

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[10] 程鵬.多變量線性控制系統(tǒng)[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1990.

圖5 μ值曲線

μ值與系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度存在如下關(guān)系[8]：

[1-1?≤k≤1+1?]

[ψ=±arccos（1-12?2）]

式中k為μ的最大值。

所以，從圖5可以得出k=9.1；系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度為：所有通道幅值變化的最大范圍為-1.03～0.93 dB；所有通道相位變化的最大范圍為±6.37°。顯然兩者的結(jié)果是相近的，這說明了利用實驗法直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度是可行的，更說明了本文所介紹方法的正確性。從上面仿真的結(jié)果還可以得出另外一個有意義的結(jié)論：μ方法提供的穩(wěn)定裕度的范圍略大于奇異值法確定的范圍，這說明μ方法在克服奇異值法的保守性方面有一定的作用。

3 結(jié) 論

本文介紹了如何利用實驗法直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，而不需要確定系統(tǒng)傳函矩陣，這在克服系統(tǒng)模型未知或不確定情況有很重要的意義。同時通過仿真實例驗證了μ方法在一定程度上可以克服奇異值法的保守性。

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圖5 μ值曲線

μ值與系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度存在如下關(guān)系[8]：

[1-1?≤k≤1+1?]

[ψ=±arccos（1-12?2）]

式中k為μ的最大值。

所以，從圖5可以得出k=9.1；系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度為：所有通道幅值變化的最大范圍為-1.03～0.93 dB；所有通道相位變化的最大范圍為±6.37°。顯然兩者的結(jié)果是相近的，這說明了利用實驗法直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度是可行的，更說明了本文所介紹方法的正確性。從上面仿真的結(jié)果還可以得出另外一個有意義的結(jié)論：μ方法提供的穩(wěn)定裕度的范圍略大于奇異值法確定的范圍，這說明μ方法在克服奇異值法的保守性方面有一定的作用。

3 結(jié) 論

本文介紹了如何利用實驗法直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，而不需要確定系統(tǒng)傳函矩陣，這在克服系統(tǒng)模型未知或不確定情況有很重要的意義。同時通過仿真實例驗證了μ方法在一定程度上可以克服奇異值法的保守性。

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