鄔仁勇

摘 要：從數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐出發(fā)，針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各種缺陷設(shè)計(jì)相應(yīng)的針對(duì)性題組，通過(guò)針對(duì)性題組的訓(xùn)練或教學(xué)來(lái)彌補(bǔ)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各種缺陷，并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺陷；針對(duì)性；題組；數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

一、問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)是高中學(xué)科中一門相對(duì)較難學(xué)習(xí)的學(xué)科，主要是由于學(xué)科具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）綜合性強(qiáng)。一道題往往不只考查一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是多知識(shí)點(diǎn)的融合；（2）學(xué)科性強(qiáng)。對(duì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法要求高；（3）應(yīng)用性強(qiáng)。數(shù)學(xué)是一門實(shí)用性科學(xué)，要求學(xué)生能靈活地將所學(xué)知識(shí)遷移應(yīng)用解決事實(shí)情景問(wèn)題。

由于高中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化，導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生以下問(wèn)題：（1）相對(duì)于初中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，高中數(shù)學(xué)課堂容量大，知識(shí)內(nèi)化、整合節(jié)奏容易脫節(jié)，學(xué)習(xí)過(guò)程較為吃力；（2）前后知識(shí)聯(lián)系緊密，變式因素復(fù)雜，類型多樣，導(dǎo)致課堂例題能懂，作業(yè)訓(xùn)練不會(huì)做；（3）高中學(xué)科數(shù)增加，數(shù)學(xué)應(yīng)有的學(xué)習(xí)時(shí)間受到較大擠壓，自主整理過(guò)程缺乏，囫圇吞棗現(xiàn)象存在，造成知識(shí)技能遺忘率高。

二、數(shù)學(xué)題組的概述

1.數(shù)學(xué)題組界定

所謂題組，就是老師根據(jù)專題教學(xué)內(nèi)容，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際，精選一些有代表性、系統(tǒng)性的習(xí)題（相同的或相似、相近的），重新進(jìn)行組合，通過(guò)變題、編題、聯(lián)題（即聯(lián)系不同或相同的題目）等角度入手組織教學(xué)，探究發(fā)現(xiàn)題組內(nèi)蘊(yùn)涵的知識(shí)和方法，以提高學(xué)生的解題能力。

2.數(shù)學(xué)題組彌補(bǔ)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺陷的意義

（1）通過(guò)針對(duì)性題組的設(shè)計(jì)，可以揭示題源，讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，給學(xué)生豐富的解題體驗(yàn)，彌補(bǔ)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識(shí)性缺陷和經(jīng)驗(yàn)貧乏的缺陷；（2）通過(guò)針對(duì)性題組的變式訓(xùn)練，形散而神不散，滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生能夠解有所悟，彌補(bǔ)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略無(wú)效的缺陷；（3）通過(guò)針對(duì)性題組的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)遷移拓展，揭示本質(zhì)，開啟智慧，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)題組教學(xué)的策略

1.針對(duì)知識(shí)性缺陷設(shè)計(jì)變式題組

能積極聯(lián)系學(xué)生的初中基礎(chǔ)，促進(jìn)初高中數(shù)學(xué)的銜接，使學(xué)生從初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上逐步理解高中數(shù)學(xué)，并且根據(jù)學(xué)生在高中所欠的初中基礎(chǔ)進(jìn)行有計(jì)劃、有步驟地補(bǔ)足，將舊知與新知融合編題，完善初高中數(shù)學(xué)的銜接，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上自然過(guò)渡，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。題組：記扇形的半徑為r，圓心角為n° 在上述題組中，由學(xué)生熟知的扇形弧長(zhǎng)和面積公式出發(fā)，引入弧度制，對(duì)老公式進(jìn)行變形，讓學(xué)生體會(huì)新制度的優(yōu)越性，及掌握“知二求三”的運(yùn)算方法，也充分結(jié)合高中數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行提升，達(dá)到綜合解題的能力。

2.針對(duì)程序性缺陷設(shè)計(jì)誘錯(cuò)型題組

題組1：利用函數(shù)的奇偶性和其中一段的解析式求對(duì)稱的另一段的解析式：

已知y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-2x則（1）f（1）= ；（2）f（-1）= ；（3）f（-3）= ；（4）畫出x<0時(shí)函數(shù)y=f（x）的圖象；（5）當(dāng)x<0時(shí)，f（x）= .

為了求（5），設(shè)置了前四個(gè)小題來(lái)彌補(bǔ)學(xué)生可能存在的程序性缺陷，體會(huì)由特殊到一般的過(guò)程，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

在上述題組中，因?yàn)閷W(xué)生初學(xué)高中的三角函數(shù)定義，對(duì)三角函數(shù)值的正負(fù)往往不敏感，想當(dāng)然或者不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)默F(xiàn)象很普遍，可能跟初中銳角的三角函數(shù)值都是正數(shù)有關(guān)，通過(guò)上述誘錯(cuò)型題組來(lái)檢測(cè)學(xué)生能否利用終邊在不同的象限得到準(zhǔn)確的三角函數(shù)值（主要是正負(fù)情況）。

3.針對(duì)策略無(wú)效設(shè)計(jì)豐富型題組

在上述針對(duì)性題組中，學(xué)生由（1）的成功經(jīng)驗(yàn)想到可以在（2）中應(yīng)用，當(dāng)然的（2）中學(xué)生也可能嘗試用兩次基本不等式來(lái)求解，這樣也可以比較兩種方法得出的結(jié)論，很明顯由（1）的方法得出的值會(huì)更小，而且滿足取等號(hào)的條件，所以法（2）是錯(cuò)誤的，（3）是（2）的變形，都可以由（1）的成功經(jīng)驗(yàn)想到，即體會(huì)“1”的妙用，而（4）相當(dāng)于推廣到（3）的妙用，即一個(gè)定值的妙用，而（4）就更具一般性，也說(shuō)明高考題對(duì)學(xué)生的靈活解題能力提出了較高要求，如果沒有一定的功力，還是較難拿下的，這個(gè)針對(duì)性題組讓學(xué)生利用所學(xué)的知識(shí)一個(gè)一個(gè)攻下來(lái)，理解了題與題之間的聯(lián)系，也理解了方法的本質(zhì)，也達(dá)到靈活應(yīng)用的境界。

4.針對(duì)經(jīng)驗(yàn)貧乏或思維緩慢設(shè)計(jì)應(yīng)用型題組

在必修五第三章第二節(jié)“基本不等式”第二課時(shí)的教學(xué)時(shí)，對(duì)于應(yīng)用基本不等式解決最大（小）值問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)往往比較貧乏，且解題速度較慢，為此我設(shè)置了以下題組：

（1）若正數(shù)x，y滿足xy=x+y+3，則xy的最小值為 .

（2）若正數(shù)x，y滿足xy=x+y+3，則x+y的最小值為 .

（3）（2010浙江文15）若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

（4）（2011浙江文6）若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是 .

（5）（2011浙江理16）若實(shí)數(shù)x，y滿足4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是 .

在上述針對(duì)性題組中，學(xué)生由（1）掌握“和化積”的方法，由（2）掌握“積化和”的方法，由（3）感受高考題中的“和化積”的方法，體會(huì)不同的取等號(hào)條件，由（4）需要學(xué)生先將平方和轉(zhuǎn)化為和與積的形式，然后再利用“積化和”的方法求解，由（5）讓學(xué)生掌握在（4）的基礎(chǔ)上體會(huì)配湊方法，當(dāng)然（5）還可以實(shí)現(xiàn)一題多解，基于本課的重點(diǎn)，不便展開，讓學(xué)生通過(guò)此針對(duì)性題組，逐級(jí)感受“和化積”“積化和”“取等號(hào)的條件”，將知識(shí)方法的教學(xué)融入具體的題目中，好比闖關(guān)游戲，而且還有一題多解，收獲頗豐，另外浙江考生對(duì)浙江的高考題還有著天然的興趣，真題通常會(huì)成為很多模擬題的母題，這樣真題的訓(xùn)練意義也更大，針對(duì)性題組能有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲，興趣逐漸提升，學(xué)生的解題能力也步步提升，成就感很足，對(duì)不同層次的學(xué)生都有幫助。

5.針對(duì)元認(rèn)知缺乏設(shè)計(jì)解說(shuō)型題組

在高三復(fù)習(xí)雙曲線的圓心率時(shí)，許多學(xué)生表現(xiàn)出對(duì)元認(rèn)知的缺乏，為此結(jié)合2004～2013浙江高考理科命題中關(guān)于圓錐曲線小題的考查內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)，其中有6年都是考查雙曲線的離心率：

在上述針對(duì)性題組中，由高考題導(dǎo)入（由于高考內(nèi)容有刪減，進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帲€有可以改編成跟最近做過(guò)的模擬題相近的題，讓學(xué)生感受高考的母題地位。

6.針對(duì)注意不當(dāng)設(shè)計(jì)強(qiáng)化型題組

在基本不等式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“無(wú)證駕駛”或“無(wú)視取等號(hào)的條件”等錯(cuò)誤，為此設(shè)計(jì)以下強(qiáng)化型題組：

通過(guò)強(qiáng)化型題組的梯度推進(jìn)，讓學(xué)生一步一步提升對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，也提高了學(xué)習(xí)效率。

相比初中來(lái)說(shuō)，高中的節(jié)奏和任務(wù)都有較大的增加，學(xué)生的訓(xùn)練效果嚴(yán)重縮水，筆者通過(guò)編制相關(guān)的矯正與補(bǔ)償性習(xí)題，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，在不增加學(xué)生新的課業(yè)負(fù)擔(dān)的前提下，讓學(xué)生進(jìn)行周期性再現(xiàn)訓(xùn)練，促進(jìn)對(duì)高中數(shù)學(xué)的再理解和提升，效果比較明顯。

四、設(shè)計(jì)針對(duì)性題組的幾點(diǎn)反思

1.設(shè)計(jì)前需收集學(xué)生的錯(cuò)誤資源，做好學(xué)生的學(xué)情分析，通過(guò)學(xué)生反饋的信息進(jìn)行有針對(duì)性的題組設(shè)計(jì)，如，教師批改作業(yè)“反饋”和輔導(dǎo)學(xué)生“反思”的活動(dòng)，通?？紤]：

（1）哪些題錯(cuò)得多？

（2）為什么這些題錯(cuò)得多？

（3）做錯(cuò)學(xué)生主要什么層次？如何補(bǔ)救？

（4）針對(duì)性題組如何設(shè)計(jì)？（哪些知識(shí)點(diǎn)？題型？難度？）

讓針對(duì)性題組起著鏈接數(shù)學(xué)的“學(xué)”和“習(xí)”的橋梁，“學(xué)”中有“習(xí)”，“習(xí)”中有“學(xué)”。

2.在新授課中，應(yīng)當(dāng)多關(guān)注知識(shí)本身的邏輯體系，問(wèn)題的順序應(yīng)當(dāng)考慮知識(shí)本身的發(fā)展進(jìn)程及學(xué)生的思維發(fā)展，在思維的轉(zhuǎn)折處設(shè)計(jì)問(wèn)題，同時(shí)也要把問(wèn)題的突破口暴露出來(lái)，引起學(xué)生關(guān)注，使學(xué)生在每完成一個(gè)問(wèn)題后，在知識(shí)的理解和運(yùn)用上都有一定的收獲。

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（作者單位 浙江省玉環(huán)中學(xué)）

編輯 郭曉云