安徽省渦陽縣第四中學 (郵編：233600)

安徽省渦陽縣大理中學 侯立田 (郵編：233600)

每年的高考結束后，我們都會從全國各省市的數(shù)學試卷中發(fā)現(xiàn)不少優(yōu)秀的試題，這些試題凝聚著命題者的智慧，同時也給我們以教學的啟迪.筆者近來研究今年的試題時，發(fā)現(xiàn)高考數(shù)學安徽卷理科第19題是一道挺不錯的題目，既符合教學的實際，又符合高考命題的理念，值得細細品味.

題目已知兩條拋物線E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0)，過原點 O 的兩條直線l1和l2，l1與E1、E2分別交于A1、A2兩點，l2與E1、E2分別交于B1、B2兩點.

(Ⅰ)證明：A1B1∥A2B2；

圖1

1 析解法

(Ⅰ)法1設直線l1的方程為y=k1x，與拋物線E1的方程聯(lián)立，得

法2同法1，知A1、B1、A2、B2的坐標.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知A1B1∥A2B2，C1B1∥C2B2，可得△A1B1C1與△A2B2C2相似,

法1|A1B1|

|A2B2|

法2由(Ⅰ)的法2知，

2 賞亮點

2.1 回歸基礎

本題從題目的文字和符號較多來看，好似一道難題，其實從解法來看，可以說還是注重基礎知識的考查.兩小問的法1涉及到直線與圓錐曲線的交點、兩直線的位置關系和兩點間的距離等都是平面解析幾何的基礎知識，也不用什么高技巧.

2.2 解法靈活

本題入口寬，解法較為靈活.第(Ⅰ)問既可以用斜率解，也可以用向量解；第(Ⅱ)問的三種解法分別運用了兩點間的距離、向量知識和比例轉換去解，可謂是仁者見仁，智者見智，各顯神通.

2.3 貼近教學

本題的設計關注了高中教學的實際和初、高中教材的銜接，由于韋達定理在初中教材中作為選學內容，不作中考考試要求，致使各地在實際教學的要求不同，因而不能作為高考的統(tǒng)一要求，本題很好地回避了解析幾何中對韋達定理的運用.

2.4 少算多思

“少一些計算，多一些思考”一直是高考的命題理念之一，從本題的解答來看，步驟較為簡潔，沒有了繁冗的計算，第(Ⅱ)問法1由于運用了兩點間的距離公式，看似繁瑣，實則簡單，因為不需太多的化簡，可以說本題重在考查學生的思維品質和數(shù)學修養(yǎng)，是道好題！

2.5 圖形美觀

本題不但閃爍著理性的光輝，而且具有“形”之美觀.我們先看兩條共頂點的拋物線，好似開放的花朵，給人以美的享受；再者，如果我們把△A1B1C1與△A2B2C2作出，我們還可以欣賞到兩條拋物線與△A1B1C1和△A2B2C2構成得整個圖形的和諧之美、奇妙之美！

3 促反思

“一滴水可以折射陽光的七彩”，一道考題可以反映我們的教學.從2014年安徽卷的這道題目的學生做題情況來看，并不樂觀，有的學生空白沒做，有的學生寫了寥寥幾筆，只有少數(shù)學生能進行到底.為什么這樣一道計算并不繁瑣的題目卻出現(xiàn)如此情況呢？值得反思一下我們的教學.筆者認為，就本題而言，我們教學中有以下幾個方面的缺失.

3.1 重視課本不夠

課本是數(shù)學知識的載體，是師生教與學的重要依據(jù)，是許多專家們精心組織編寫的，包括例題習題都是經(jīng)過反復推敲的，凝聚著他們的智慧和心血；課本也是高考命題的重要來源之一，有的考題直接或間接取材于課本，陜西的高考曾考余弦定理的證明，2014年安徽理科就考了貝努利不等式的證明與利用，這些考題都直接取自課本.但是在全國各地的高三復習迎考中，摒棄課本的做法還普遍存在.其實數(shù)學課本能給我們提供許多高三復習教學的素材，如果我們認真去研究課本，對一些問題進行拓展、延伸和重組，就能發(fā)現(xiàn)許多精彩的問題.就本題來說，我們就能在課本中找到該題的影子，在《數(shù)學》(選修2-2)課本第89頁習題A組第3題:求直線3x-2y=0和橢圓4x2+y2=25的交點.課本習題是求過原點的直線與橢圓的交點,而考題是需求過原點的直線與拋物線的交點,可見兩題十分接近.

3.2 思維訓練不足

本題從解法來看,重思維而輕計算,學生解答不好,正反映了我們平時的教學對思維訓練力度不足.我們平時教學可以說有以下幾種常見現(xiàn)象:⑴教師講的時間多而學生思考時間少,學生沒有足夠的時間思考,影響了學生的良好思維品質的形成;⑵題目講題多而拓展延伸少,就題論題,學生思維的廣度、深度和靈敏度得不到很好地訓練;⑶常規(guī)問題講得多而創(chuàng)新問題涉及少,致使學生對常規(guī)問題得心應手,一旦碰到新穎的問題心里慌張,束手無策.就拿本題來說，我們平時在課本和資料上見到的多是直線和單個拋物線(或雙曲線、橢圓)，此題給了兩條拋物線，題目比較新穎，不少同學見了頭腦混亂，找不到解決問題的突破口，反映了同學思維能力的不足.其實我們只需選擇一條直線和其中一條拋物線作為突破口，就可以輕松把問題解決掉.此題告誡我們在平時的教學中要高度重視學生的思維訓練，首先在時間上要給學生思維的空間，在內容上要引導學生向思維的廣度和深度方面發(fā)展，同時關注創(chuàng)新思維的培養(yǎng).

3.3 向量意識不強

向量是高中課程改革的新增內容，由于向量具有“數(shù)”與“形”兩方面的特征，因而有著廣泛的應用，在立體幾何和解析幾何中如直線的平行與垂直、線段的長度、角的大小等問題都可以用向量來解決，充分發(fā)揮向量的工具作用.筆者曾對今年參加高考的考生作了調查，用向量解決的少之又少，說明考生運用向量解題的意識不強.從實際教學來看，我們一線教師注重立體幾何中利用向量的教學較多，而解析幾何中利用向量的教學較少，筆者認為這是在此考題中學生很少有利用向量解題的主要原因.

3.4 平幾知識薄弱

第(Ⅱ)問采用平幾知識進行比例轉換，此法比較簡潔，但多數(shù)考生沒有想到，而這正反映了考生平面幾何知識薄弱.筆者多年教學發(fā)現(xiàn)，在高三模擬和高考卷中只要涉及到與平面幾何知識的結合，學生很容易失分.造成這種情況的原因主要有兩種：其一是平面幾何是初中時期學過的，高一高二用得少，造成遺忘；其二是平時教學中缺乏這方面的專門訓練，以致運用平面幾何知識的意識不強.現(xiàn)在有些省份選學《平面幾何選講》，筆者認為這是不錯的選擇，恰好可以彌補這方面的不足.在實際的教學中，我們應利用幾個課時復習一下平面幾何知識的幾個重點，諸如三角形全等與相似、平行線與比例式、圓中的切線與垂徑定理、圓與圓的關系等，并進行適量的訓練,以此增強平面幾何知識的運用意識.

4 結束語

高考試題是專家們精心命制的，是他們智慧的結晶.如果我們潛心研究高考試題，不僅能欣賞到數(shù)學的理性之光，還能夠發(fā)現(xiàn)我們教學的缺失，益處多多，何樂而不為呢？

1 嚴士健，王尚志. 普通高中課程標準教科書(選修2-2)[M].北京：北京師范大學出版社.2008第3版

2 嚴士健，王尚志. 普通高中課程標準教科書(選修4-5)[M].北京：北京師范大學出版社.2008第3版