周建新, 汪金漢,陳敬華
(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖北 黃石 435002)
Hilbert空間上兩個冪等算子組合的Drazin逆
周建新, 汪金漢,陳敬華
(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖北 黃石 435002)
討論了Hilbert空間上的兩個不同的冪等算子P、Q的組合aP+bQ-cPQ的Drazin可逆性問題,利用冪等算子的性質(zhì)和空間分解的技巧證明了aP+bQ-cPQ的Drazin逆在條件PQP=0 下是存在的,并且給出了其逆的計算公式,其中a,b,c∈,ab≠0 .
冪等算子;Drazin逆;冪等算子的組合
設(shè)H是一個復(fù)數(shù)域上的Hilbert空間,Γ(H)表示H上的所有有界線性算子構(gòu)成的集合. 若P∈Γ(H)且滿足P2=P,則稱P是一個冪等算子. 若P∈Γ(H) 且滿足P2=P=P*,則稱P是一個正交冪等算子,其中P*是P的共軛元. 用P(H)表示Γ(H)中所有冪等算子構(gòu)成的集合,則P(H)在相似變換下保持不變,即若P∈P(H),則對任意的可逆算子S∈Γ(H),都有S-1PS∈P(H) .
若對于A∈Γ(H) ,存在B∈Γ(H) 使得
BAB=B,AB=BA,Ak+1B=Ak
(1)
都成立,其中k是非負(fù)整數(shù),則稱B是A的一個Drazin逆. 若A∈Γ(H) 存在Drazin逆,則其Drazin逆一定是唯一的,記為AD,并且稱使得(1)成立的最小的非負(fù)整數(shù)k為A的指數(shù),記為 ind(A). 容易證明:當(dāng) ind(A)=0時,A為通常的可逆算子,此時AD=A-1;當(dāng) ind(A)≤1,A是群逆存在的[1]. 關(guān)于算子廣義逆的基礎(chǔ)知識可參考文獻(xiàn)[1~2]. 文獻(xiàn)[2]證明了A的Drazin逆存在的充要條件是ind(A)<∞,此時0是預(yù)解算子Rλ=(λI-I)-1的有限階極點. 另外,Γ(H)中算子的Drazin逆也具有相似不變性,即如果A是Drazin可逆,S∈Γ(H) 是任意的可逆算子,則S-1AS仍Drazin可逆,并且(S-1AS)D=S-1ADS.
Drazin逆的概念最早由Drazin于1958年在他的一篇論文中提出[3],隨后發(fā)現(xiàn)在許多其它的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支中有重要的應(yīng)用,可見文獻(xiàn)[1,2,4~8] 在文獻(xiàn)[3]中,Drazin首先考慮了當(dāng)P和Q是兩個冪等算子時,(P+Q)D的存在性問題,他證明了:若PQ=QP=0,則(P+Q)D存在,且(P+Q)D=PD+QD. 在不添加其它的條件下探討(P+Q)D的存在性并且將其表示成P,Q,PD,QD的函數(shù)是一個非常困難的問題,而且至今仍是一個公開問題[9].
文獻(xiàn)[4]分別在三個條件:(i)PQP=0;(ii)PQP=P;(iii)PQP=PQ下探討了P+Q的Drazin逆的存在性及其計算公式.
文獻(xiàn)[10]考慮了復(fù)數(shù)域上一個特殊的組合aP+bQ-cPQ,其中P,Q是復(fù)數(shù)域上的非零冪等矩陣,a,b,c是復(fù)數(shù)且a,b≠0,則
其中r(A) 表示矩陣A的秩.隨后,文獻(xiàn)[11]發(fā)現(xiàn):只要ab≠0 且a+b+c≠0,aP+bQ+cPQ的Fredholm性、零度、指數(shù)與系數(shù)a,b,c的選取無關(guān).
文獻(xiàn)[13]在上述的三個條件下討論了Banach空間上兩個冪等元的線性組合的Drazin逆的存在性、Drazin逆的表達(dá)式及指數(shù).
設(shè)P,Q是Hilbert空間上兩個不同的冪等算子,受到上述工作的啟發(fā),我們利用冪等算子的性質(zhì)和空間分解的技巧證明了aP+bQ-cPQ的Drazin逆在條件PQP=0 下是存在的,并且給出了其逆的計算公式,其中a,b,c∈,ab≠0 .
為了證明本文的主要結(jié)果,我們需要以下引理:
引理1[8]設(shè)A,B,C∈Γ(H),若A,B是Drazin可逆的, 則
也是Drazin可逆的并且
當(dāng)引理1中的A是可逆的且B是冪零的,則M的Drazin逆有如下結(jié)論:
引理2[8]設(shè)A,B,C∈Γ(H),若A,B是Drazin可逆的, 若A是可逆的且存在正整數(shù)k使得Bk=0,則
是Drazin可逆的并且
對于算子A∈Γ(H) ,用R(A) 表示A的值域,N(A) 表示A的核空間,則Γ(H) 上的任意兩個算子值域的包含關(guān)系與它們的運算之間有如下結(jié)果:
引理 3[11]設(shè)A,B∈Γ(H),則以下兩條等價
(i)R(B)?R(A);
(ii)存在D∈Γ(H),使得B=AD.
設(shè)P,Q是Hilbert空間上兩個不同的冪等算子,本節(jié)將利用冪等算子的性質(zhì)和空間分解的技巧證明aP+bQ-cPQ的Drazin逆在條件PQP=0 下是存在的,并且給出了其逆的計算公式,其中a,b,c∈,ab≠0.
定理1 設(shè)P,Q∈P(H),a,b,c∈且ab≠0. 若PQP=0,則aP+bQ-cPQ的Drazin逆是存在的,且
證 設(shè)P,Q∈P(H),則組合aP+bQ-cPQ是Drazin可逆的當(dāng)且僅當(dāng)
aS-1PS+bS-1QS-c(S-1PS)(S-1QS)
是Drazin可逆的,其中S∈Γ(H) 是任意的可逆算子. 因此不失一般性,可以設(shè)P是正交冪等算子.
由引理 3 及條件PQP=0 可知R(QP)?N(P) 和R(QP)?R(Q) 成立. 注意到
則有如下的空間分解
另外,因為Q是冪等算子,所以由Q2=Q可得
則,H可進(jìn)一步分解為
在上述空間分解下,算子P,Q的矩陣形式進(jìn)一步可以表成
由Q2=Q可知
對于a,b,c∈,且ab≠0,算子P,Q的組合aP+bQ+cPQ有如下的矩陣形式
注意到ab≠0 意味著上述矩陣的子矩陣
另外,
由引理2中令B=0,則
這樣就證明了aP+bQ+cPQ在條件PQP=0下的Drazin逆是存在的. 下面將其表成P,Q,PQ,QP,QPQ的組合(由于PQP=0,aP+bQ+cPQ只能由這些算子線性表出).
經(jīng)過計算可得
從而通過求解方程組,可求出表出系數(shù),得到aP+bQ+cPQ的Drazin逆為
由定理1, 令a=1,b=1,c=0 與a=1,b=-1,c=0 則可以得到兩個冪等算子P,Q和與差的Drazin逆在條件PQP=0下是存在的,且其表達(dá)式也可以給出.
推論1[13]設(shè)P,Q∈P(H),則以下兩條成立:
1)(P+Q)D=P+Q-2(PQ+QP)+3QPQ.
2)(P-Q)D=P-Q-QPQ.
由于條件PQ=0 或者QP=0 能夠推出PQP=0,于是可得如下結(jié)論:
推論2 設(shè)P,Q∈P(H) ,則以下兩條成立:
1)若QP=0,則對于任意的a,b∈,a,b≠0有 (aP+bQ)D=P+Q-(+)PQ.
2)若PQ=0,則對于任意的a,b∈,a,b≠0有 (aP+bQ)D=P+Q-(+)QP.
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TheDrazininvertibilityofcombinationsoftwoidempotentoperatorsoveraHilbertspace
ZHOU Jian-xin, WANG Jin-han, CHEN Jing-hua
(College of Mathematical and Stastical, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)
Discussed the problem of Drazin invertibility of combinations of two idempotent operatorsP、Qon a Hilbert space. By using the properties of idempotent operators and the techniques of space decomposition, prove the existance of Drazin invertibility of the combinationsaP+bQ-cPQand its expression is also obtained, wherea,b,c∈,ab≠0.
Idempotent operator; Drazin invertibility; combinations of idempotent operators
2014-02-22;
湖北省教育廳重點項目(D20122202),湖北省教育廳青年項目(B20122203)
周建新(1955— ),男,湖北黃石人,研究方向為數(shù)學(xué)教育.
O177.2
A
1009-2714(2014)02- 0023- 05
10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.006