田家磊，趙東明，張中凱，范昊鵬

(1.信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州 450052；2.信息工程大學 導航與空天目標工程學院，河南 鄭州 450001)

非球形引力位中J3項對軌道的影響及應用

田家磊1，趙東明1，張中凱2，范昊鵬1

(1.信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州 450052；2.信息工程大學 導航與空天目標工程學院，河南 鄭州 450001)

地球的非球形引力攝動是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球飛行過程中所受到的攝動中較重要的一項。在人造衛(wèi)星的精密定軌和衛(wèi)星位置的預報中，人們往往對J2項比較重視，但是對于J3項的研究比較少。為了解J3項的性質(zhì)，文中分析了非球形引力位中J3項對于衛(wèi)星軌道的影響，通過嚴格的公式推導，得到J3項對軌道偏心率以及軌道傾角的影響，詳細地介紹利用它形成凍結(jié)軌道的基本原理。通過數(shù)值實驗對得到的基本理論以及應用進行驗證。結(jié)果表明J3項是凍結(jié)軌道形成的重要因素。

J3項；凍結(jié)軌道；非球形引力攝動；軌道力學

在地球上空運行的人造地球衛(wèi)星、航天飛機、飛機、熱氣球等各種飛行器，仍然會受到地球重力場的作用[1]。如果它們只是受到地球質(zhì)心的吸引力，那么它們的飛行軌道將是以地球質(zhì)心為其中一個焦點的橢圓。但是由于地球形狀的不規(guī)則和內(nèi)部質(zhì)量分布的不均勻，引力的方向和大小發(fā)生改變，會造成飛行器的軌道偏離橢圓軌道。這種差別被稱為地球的非球形引力攝動。

對于人造衛(wèi)星來說，地球的非球形引力攝動是衛(wèi)星在運動過程中所受攝動中比較重要的一項。在低軌衛(wèi)星所受力中對軌道影響量級最大的是地球引力和地球的非球形引力[2]。地球的非球形引力攝動分為二項，一項是與經(jīng)度無關(guān)的帶諧項，一項是與經(jīng)度有關(guān)的田諧項。在人造衛(wèi)星的精密定軌(特別是在精度要求不太高的情況的下，如低軌衛(wèi)星百米量級的定位要求)和衛(wèi)星位置的預報中，人們往往會對帶諧項比較重視[3]，特別是主要帶諧項—J2項，但是對于J3項的研究比較少。為了解J3項的性質(zhì)，本文對非球形引力位中J3項對于衛(wèi)星軌道的影響進行分析。

1 J3項影響分析

對于質(zhì)心引力場，空間任何一點的引力位表述為

(1)

式中：G為引力常數(shù)，M為質(zhì)點質(zhì)量，r為空間測量點到該質(zhì)點的距。相應的引力加速速度為[4]

(2)

由于地球自轉(zhuǎn)，又非旋轉(zhuǎn)對稱體，故空間任一固定點的引力位都要隨時間變化，則相對于衛(wèi)星運動的攝動函數(shù)的一般表達式為

F=V-V0=

Slmsinmλ].

(3)

這是星固坐標系中的形式，Me是地球質(zhì)量，(r，λ，ψ)是衛(wèi)星在該坐標系中的坐標分量(星心距、經(jīng)度和緯度)，R是參考橢球的赤道半徑，Plm(sinψ)是締合勒讓德函數(shù)，Clm和Slm是非歸一化的引力位展開式的諧系數(shù)。

如果僅考慮地球引力場帶諧調(diào)和項的影響，既假定位函數(shù)是旋轉(zhuǎn)對稱的，則攝動函數(shù)可以表述為[5]

).

(4)

式中：Jl=-Cl0,μ=GMe,Pl(sinψ)是勒讓德多項式。

對于地球來說，J2=O(10-3)，J3、J4的量級要更小，由于J4以及之后的項不會引起與J2、J3影響不同的變化，而且量級很小，所以分析只考慮J2、J3項。那么攝動函數(shù)可展開整理為[6]

(5)

根據(jù)長期項、長周期項、短周期項分為F1、F2、F3：

(6)

從式(6)中F2可以看出，J3項引起長周期變化。對于地球來說，J3=J2(10-3)量級比較小，所引起短周期攝動的振幅很小。另一方面，長周期攝動的振幅是依賴于ω的長期變化，這有可能會導致振幅相對比較大。

2 應 用

凍結(jié)軌道是在1978年Orbit Analysis for SEASAT-A文章中第一次提出的，凍結(jié)軌道的構(gòu)造是通過選擇軌道傾角i、偏心率e和近點經(jīng)度ω，使得e，ω隨著時間變化保持為常數(shù)，因此也被稱為拱線靜止軌道。近年來凍結(jié)軌道被越來越多地應用到對地觀測衛(wèi)星系統(tǒng)中，因為它能使遙感衛(wèi)星(作為一個質(zhì)點)在不同時刻經(jīng)過同一緯度時具有相同的運動特性，這就使得遙感衛(wèi)星在不同時刻經(jīng)過同一地區(qū)所得到的遙感圖像具有相同的幾何特性[5]。楊威廉[7-8]、劉林[9]和陳潔[10-11]對于凍結(jié)軌道的設(shè)計與控制有很多理論和實踐的經(jīng)驗。

根據(jù)拉格朗日運動方程，在J2和J3項作用下的e和ω變化為

(7)

(8)

根據(jù)式(6)、式(7)、式(8)有

(9)

(10)

通過以上兩式相除得

(11)

對式(11)積分，得到由J3項引起的對e的長周期攝動為

ω.

(12)

同樣的方法可得到長周期攝動為

ω.

(13)

通過式(12)、式(13)可以清楚地看出，可以通過對軌道傾角i、偏心率e和近地點幅角ω的初始值進行特定組合的選擇，能夠使得e，ω隨著時間變化保持為常數(shù)，以成為凍結(jié)軌道。

如果一組參數(shù)滿足式(9)、式(10)的右端都為0，那么這一組參數(shù)就滿足了凍結(jié)軌道的條件。根據(jù)程序可以搜尋表1中4組參數(shù)。

表1 4組凍結(jié)軌道參數(shù)

通過程序模擬了第二組條件下，軌道的演變,如圖1～3所示。

圖1 偏心率隨時間的變化趨勢

圖2 近地點幅角隨時間的變化趨勢

起始時間給的軌道參數(shù)為軌道初始值，在攝動力的作用下軌道發(fā)生變化，即反映在參數(shù)的變化，由于考慮的攝動力為保守力，并非耗散力，在穩(wěn)定一段時間之后呈現(xiàn)明顯的周期變化。由上面3個圖可以看出：偏心率和近地點幅角隨時間的變化大致符合正弦曲線；偏心率和近地點幅角的變化都很小(偏心率的變化在5×10-5范圍內(nèi)，近地點幅角的變化在1.5°范圍內(nèi))。可以得出這組參數(shù)滿足軌道凍結(jié)的條件。

3 結(jié)束語

本文分析了非球形引力位中J3項對于衛(wèi)星軌道的影響。對于地球來說，雖然J3=J2(10-3)量級比較小，但是J3項引起的長周期變化是比較顯著的。通過推導，得到了J3項對軌道偏心率以及軌道傾角的影響，介紹了利用它形成凍結(jié)軌道的基本原理，并進行了實驗驗證，實驗效果較好(偏心率和近地點幅角的變化都很小)，結(jié)果表明J3項是凍結(jié)軌道形成的重要因素。

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[責任編輯：張德福]

TheinfluenceandapplicationoftermJ3innon-sphericalgravitationalpotentialtotheobit

TIAN Jia-lei1，ZHAO Dong-ming1，ZHANG Zhong-kai2，F(xiàn)AN Hao-peng1

(1.School of Geospatial Information，Information Engineering University，Zhengzhou 450052，China；2.School of Navigation and Aerospace Engineering，Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China)

The non-spherical gravitational perturbation of the earth plays an important role in the movement of satellites’ circling around the earth.In the research of satellite precision orbit determination and satellite position forecast，J2has been highlighted a lot，yet the termJ3has been neglected.In order to know about the characters ofJ3，its influence on the orbit in non-spherical gravitational potential is analyzed.And the effect on orbital eccentricity and inclination are obtained through rigorous formula derivation.The basic principle of frozen orbit formation is introduced in details as well，as the application verified by numerical experiment.The final results indicate thatJ3is one of the important elements of frozen orbit formation indeed.

termJ3；frozen orbit；non-spherical gravitational perturbation；orbit dynamics

2013-05-31

國家自然科學基金資助項目(41174026；41104047)

田家磊(1988-)，男，碩士研究生.

P228

：A

：1006-7949(2014)01-0050-03