王國(guó)弢 胡克旭 雷 敏

(同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海 200092)

1 引 言

在結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)中需要不同阻尼比下的彈性反應(yīng)譜。正如Stafford等[1]所指出，可采用兩種方法來獲得不同阻尼比下的彈性反應(yīng)譜：第一種方法是直接形成不同阻尼比下的反應(yīng)譜預(yù)測(cè)方程；第二種方法是采用阻尼調(diào)整系數(shù)(DSF)將5%阻尼比的彈性反應(yīng)譜調(diào)整到不同于5%阻尼比的彈性反應(yīng)譜?，F(xiàn)行歐美建筑規(guī)范[2-6]中采用的是第二種方法。到目前為止，已有許多學(xué)者對(duì)DSF進(jìn)行了研究。 Ashour[7]、Priestley[8]及Tolis和Faccioli[9]提出了僅考慮阻尼比(ξ)影響的DSF回歸模型，Newmark和Hall[10]、Wu和Hanson[11]、Idriss[12]及Lin和Chang[13]提出了考慮阻尼比(ξ)和周期(T)影響的DSF回歸模型。近年來，考慮地震動(dòng)持時(shí)、震級(jí)、距離、場(chǎng)地條件和地質(zhì)構(gòu)造環(huán)境的影響，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)阻尼調(diào)整系數(shù)進(jìn)行了更為深入的研究。Bommer和Mendis[14]認(rèn)識(shí)到了持時(shí)對(duì)DSF的影響，對(duì)ξ>5%的情況，提出了DSF隨Mw和Rrup的增大而減小的結(jié)論。Cameron和Green[15]認(rèn)為DSF與地震動(dòng)的頻譜特性和持時(shí)有關(guān)，并且他們將地面運(yùn)動(dòng)記錄分別按地質(zhì)構(gòu)造環(huán)境、場(chǎng)地條件和震級(jí)進(jìn)行分組，以表格的形式列出了在指定ξ和T處的DSF的中值和標(biāo)準(zhǔn)差，但他們并沒有提出一個(gè)簡(jiǎn)單統(tǒng)一的回歸模型。Stafford等[1]在DSF的回歸模型中直接考慮了持時(shí)這個(gè)變量，但這個(gè)回歸模型是與周期無關(guān)的。本文的研究目的是提出一個(gè)簡(jiǎn)單統(tǒng)一的DSF回歸模型并在模型中包含持時(shí)這個(gè)變量，使該模型能體現(xiàn)持時(shí)對(duì)各周期范圍內(nèi)的DSF的影響。地震動(dòng)持時(shí)有不同的定義，本文所采用的持時(shí)為相對(duì)能量持時(shí)D5-95[16]。定義D5-95為從地震動(dòng)能量達(dá)到總能量的5%開始至達(dá)到總能量的95%為止所經(jīng)歷的時(shí)間?？偰芰慷x為地面加速度平方的積分，即Arias強(qiáng)度[17]。

2 地面運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)程記錄

在本文的研究中使用了408條地震地面運(yùn)動(dòng)記錄，這些地面運(yùn)動(dòng)記錄下載于太平洋地震工程研究中心的強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)(http://peer.berkeley.edu/peer ground motion database)。地面運(yùn)動(dòng)記錄的相對(duì)能量持時(shí)(D5-95)分布在1.4～80.3 s之間，矩震級(jí)(Mw)分布在5～7.62之間，觀測(cè)點(diǎn)到斷層破裂面的最短距離(Rrup)分布在0.1～100 km之間，地表厚度30 m 內(nèi)平均剪切波速(Vs,30)分布在116.3～2 016.1 m/s之間，峰值地面加速度(PGA)分布在0.004 7～1.434 5 g之間。圖1表明了本文所用記錄的Mw和Rrup的分布。

3 統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果

位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)被定義為

(1)

式中，DSF代表位移譜阻尼調(diào)整系數(shù)；ξ為阻尼比；T代表單自由度體系的自振周期；SD(ξ,T)是ξ≠5%，周期為T時(shí)彈性單自由度體系的位移譜值；SD(5%,T)是ξ=5%，周期為T時(shí)彈性單自由度體系的位移譜值。

圖1 Mw—Rrup分布Fig.1 Distribution between Mw and Rrup

本文采用軟件SeismoSignal對(duì)每條輸入地震波分別計(jì)算了20個(gè)周期點(diǎn)和11個(gè)阻尼比處的譜位移，再根據(jù)式(1)可求得每條地震波在不同阻尼比和不同周期處的DSF。20個(gè)周期分別為0.02 s、0.04 s、0.06 s、0.08 s、0.1 s、0.14 s、0.2 s、0.24 s、0.3 s、0.4 s、0.5 s、0.6 s、0.8 s、1 s、2 s、3 s、4 s、5 s、7.5 s和10 s；11個(gè)阻尼比分別為0.5%、1%、2%、3%、5%、7%、10%、15%、20%、25%和30%。計(jì)算方法采用Newmark逐步積分法，β=0.25，γ=0.5。通過對(duì)上述計(jì)算得到的DSF數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，研究了D5-95對(duì)DSF的影響。

圖2給出了T=0.2 s、1 s和3 s時(shí)，分別在ξ=2%、3%、10%和20%處，DSF與D5-95之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，圖中直線為DSF和D5-95的線性擬合線(限于篇幅，本文只給出了T=0.2 s、1 s和3 s時(shí)，分別在ξ=2%、3%、10%和20%處的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，以下類同，不再贅述)。如圖2所示，D5-95對(duì)DSF的影響與周期(T)和阻尼比(ξ)有關(guān)。在短周期處(如T=0.2 s)，D5-95對(duì)DSF無顯著影響；在長(zhǎng)周期處(如T=1 s)，當(dāng)ξ<5%時(shí)，DSF隨D5-95的增加而增加且ξ越小這種趨勢(shì)越明顯；當(dāng)ξ>5%時(shí)，DSF隨D5-95的增加而減小，且ξ越大這種趨勢(shì)越明顯。在更長(zhǎng)的周期(如T=3 s)，上述DSF隨D5-95變化的趨勢(shì)更顯著。圖2還表明了DSF相對(duì)于ξ和D5-95的異方差性。隨著ξ越遠(yuǎn)離5%，DSF的離散程度越大。DSF相對(duì)于D5-95的異方差性可能是由于在某些持時(shí)處數(shù)據(jù)點(diǎn)較少的緣故，本文不予考慮。DSF相對(duì)于ξ的異方差性將在后面的方差模型中考慮。

圖2 D5-95對(duì)DSF的影響Fig.2 Influence of D5-95 on DSF

4 DSF的概率分布

通?？梢哉J(rèn)為PSA服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，對(duì)式(1)兩邊取自然對(duì)數(shù)有：

ln(DSF)=ln(PSAξ)-ln(PSAξ=5%)

(2)

由式(2)可知，如果PSAξ與PSAξ=5%不相關(guān)，則ln(DSF)服從正態(tài)分布，DSF服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。但是，PSAξ與PSAξ=5%是相關(guān)的，所以在理論上DSF并不嚴(yán)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對(duì)本文數(shù)據(jù)的分析，在T∈[0.1,7.5]的范圍內(nèi)，ln(DSF)與正態(tài)分布曲線擬合得較好；圖 3給出了ξ=2%時(shí)，在T=0.2和1 s處，ln(DSF)數(shù)據(jù)點(diǎn)的直方圖、累積分布函數(shù)圖及相應(yīng)的正態(tài)分布函數(shù)的擬合結(jié)果。在此周期范圍外，擬合結(jié)果并不理想。(圖中CDF： cumulative distribution function，累積分布函數(shù)，PDF：probability density function，概率密度函數(shù))。

綜上，本文假設(shè)在指定的周期T和阻尼比ξ處，DSF近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，并取回歸模型為

ln(DSF)=μ(ξ,T,D5-95)+

(3)

式中，μ(ξ,T,D5-95)為ln(DSF)的期望；代表隨機(jī)誤差且～N(0,σ2(ξ,T))；σ2(ξ,T)為在ξ和T處的方差。

圖3 ln(DSF)的分布Fig.3 Distribution of ln (DSF)

5 建立回歸模型

5.1 回歸方程μ(ξ,T,D5-95)

首先設(shè)回歸方程僅是ξ和T的函數(shù)，取回歸模型為

ln(DSF)=μ(ξ,T)+

(4)

在指定周期Ti和阻尼比ξj處，μ(ξj,Ti)的估計(jì)值為

(5)

式中，ln[DSF(ξj,Ti)k]為在Ti和ξj處ln(DSF)的第k個(gè)數(shù)據(jù)值，n=408為數(shù)據(jù)總數(shù)；在Ti和ξj處，第k個(gè)數(shù)據(jù)與回歸方程的殘差為

(6)

按式(6)可求出在Ti和ξj處每個(gè)數(shù)據(jù)與回歸方程的殘差，然后可作出殘差相對(duì)于D5-95的分布。圖 4給出了在T=0.1 s和3 s處，ξ=2%和20%時(shí)，殘差相對(duì)于D5-95的分布。分別將計(jì)算出的殘差按ln(D5-95)分為9組(ln(D5-95)<1.7、1.7～2、2～2.3、2.3～2.6、2.6～2.9、2.9～3.2、3.2～3.5、3.5～3.8、>3.8)，圖中黑色方框代表每組殘差的均值，黑線為均值的連線，表明了殘差隨D5-95的分布。根據(jù)殘差分析可知，在短周期處(如T=0.1 s)，各阻尼比的殘差基本隨機(jī)對(duì)稱的分布于零水平線的兩側(cè)(圖4)，這表明了在短周期處D5-95對(duì)DSF沒有顯著的影響；在長(zhǎng)周期處(如T=3 s)，各阻尼比的殘差相對(duì)于D5-95顯曲線分布(圖4)，這表明了在長(zhǎng)周期處D5-95對(duì)DSF有顯著的影響。以上現(xiàn)象與前文統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果是相一致的。

圖4 殘差相對(duì)于D5-95的分布Fig.4 Residuals versus D5-95

為了改善長(zhǎng)周期處的殘差相對(duì)于D5-95的分布，在指定周期點(diǎn)Ti處，本文將回歸方程取為如下形式：

μ(ξ,Ti,D5-95)=c0(ξ,Ti)+c1(ξ,Ti)ln(D5-95)

+c2(ξ,Ti)[ln(D5-95)]2

(7)

令x1=ln(D5-95)，x2=[ln(D5-95)]2，可得：

μ(ξ,Ti,D5-95)=c0(ξ,Ti)+c1(ξ,Ti)x1

+c2(ξ,Ti)x2

(8)

第二步：在Ti處，采用y=a+blnξ+c(lnξ)2的函數(shù)形式來擬合各主系數(shù)的估計(jì)值與ξ之間的關(guān)系。設(shè):

(9)

(10)

(11)

(12)

圖和擬合曲線 and the fitted curve

表1給出了20個(gè)周期點(diǎn)處回歸系數(shù)的估計(jì)值。其余周期點(diǎn)處回歸系數(shù)的估計(jì)值可由線性插值確定。在Ti和ξj處，第k個(gè)數(shù)據(jù)與回歸方程的殘差為

表1模型回歸系數(shù)(×10-2)

Table1Regressioncoefficientsforthemodel(×10-2)

T/sb^0b^1b^2b^3b^4b^5b^6b^7b^8a^0a^1a^2a^30.020.55-0.17-0.080.91-0.720.07-0.260.19-0.01-2.51-0.122.53-0.20.0415.9-10.240.27-0.690.060.23-0.590.42-0.04-8.08-0.187.68-0.830.0612.44-5.64-1.759.91-7.451.18-2.571.66-0.11-13.59-1.413.49-1.880.0823.22-11.3-1.846.62-4.890.43-1.620.780.15-14.79-1.4515.58-1.90.114.9-5.72-2.8413.15-8.050.46-2.140.890.18-15.17-1.6316.32-1.650.1418.22-4.85-4.2213.81-9.350.73-2.010.960.13-15.59-2.2717-1.420.218.41-5.81-3.5213.1-6.27-1.04-1.490.130.46-15.31-2.0417.82-1.570.2414.32-3.61-3.7913.4-5.77-1.15-1.01-0.260.47-14.93-1.9715.27-1.130.310.832.63-6.6617.26-10.570.53-1.780.620.2-14.76-2.0616.59-2.080.47.493.85-5.1718.14-10.91-0.39-1.80.680.3-15.37-2.3116.81-2.070.56.744.62-5.3317.37-10.62-0.38-1.470.620.27-13.5-2.0615.47-1.930.817.07-3.98-4.295.92-2.58-0.720.81-0.790.21-14.76-2.2715.67-2.3219.61-3.14-1.918.12-0.87-2.550.87-1.440.56-14.43-2.0714.85-1.541.5-0.452.81-1.3216.09-7.27-1.99-1.010.30.28-15.17-2.5115.69-1.2825.18-1.55-1.375.08-0.57-1.531.56-1.250.18-13.95-2.1816-1.2337.18-5.371.08-0.013.49-2.582.43-1.780.24-13.57-2.3114.340.2846.08-7.192.14-4.127.3-3.083.49-2.570.28-12.53-2.3115.010.5353.75-3.851.12-2.373.75-1.642.73-1.51-0.07-11.77-2.2613.081.137.52.13-4.972.38-45.37-1.963.04-1.75-0.06-10.71-2.3111.412.03103.7-4.471.57-6.395.27-1.033-1.52-0.17-8.28-1.79.161.79

[Δ(ξi,Ti)]k=ln[DSF(ξj,Ti)k]

(13)

按式(13)求出在Ti和ξj處每個(gè)數(shù)據(jù)與回歸方程的殘差，然后可作出殘差相對(duì)于D5-95的分布。圖6給出了在T=0.1 s和3 s處ξ=2%和20%時(shí)， 殘差相對(duì)于D5-95的分布。根據(jù)殘差分析可知：在短周期處(如T=0.1 s)，采用式(12)的回歸方程對(duì)殘差相對(duì)于D5-95的分布無明顯影響(將圖4和圖6對(duì)比可知)，再次說明在短周期處D5-95對(duì)DSF無顯著影響，各阻尼比的殘差隨機(jī)對(duì)稱的分布于零水平線的兩側(cè)；在長(zhǎng)周期處(如T=3 s)，采用式(12)的回歸方程使得殘差相對(duì)于D5-95不再具有曲線分布，各阻尼比的殘差隨機(jī)對(duì)稱地分布于零水平線的兩側(cè)(圖6)，這說明了本文回歸模型的合理性且能反映出長(zhǎng)周期D5-95對(duì)DSF的影響；圖7給出了在T=0.2 s、1 s和3 s處，按本文模型所計(jì)算的DSF中值與本文DSF數(shù)據(jù)中值的對(duì)比(圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)分別為按各數(shù)據(jù)分組所計(jì)算的DSF中值，各數(shù)據(jù)分組與計(jì)算殘差時(shí)的分組相同)。由圖7可見，本文回歸模型與數(shù)據(jù)吻合得很好。圖7還表明：D5-95對(duì)DSF的影響與T和ξ有關(guān)。隨著T的增長(zhǎng)，D5-95對(duì)DSF的影響越顯著；ξ越遠(yuǎn)離5%，D5-95對(duì)DSF的影響越顯著。這與前文的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果是相一致的。

圖6 殘差相對(duì)于D5-95的分布Fig.6 Residuals versus D5-95

以下算例進(jìn)一步說明所建議模型的有效性及模型中考慮持時(shí)影響的必要性。在408條地震地面運(yùn)動(dòng)中選用50條記錄，其矩震級(jí)和到斷層面最近距離分別在7～8和50～100 km范圍內(nèi)(Mw=7～8,Rrup=50～100 km)。50條記錄的平均相對(duì)能量持時(shí)為42.904 s。設(shè)有一單自由度體系，自振周期為3 s，阻尼比為30%。將50條記錄作為輸入，通過分析可求得該體系精確的阻尼調(diào)整系數(shù)中值為0.471。對(duì)式(5)取指數(shù)，可求得不考慮持時(shí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)模型的阻尼調(diào)整系數(shù)中值為0.579。由本文所建議的考慮持時(shí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)模型所求得的阻尼調(diào)整系數(shù)中值為0.458。由上述計(jì)算可見，采用不考慮持時(shí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)模型計(jì)算的阻尼調(diào)整系數(shù)中值所產(chǎn)生的誤差為23%；采用本文建議的考慮持時(shí)影響的阻尼調(diào)整系數(shù)模型計(jì)算的阻尼調(diào)整系數(shù)中值所產(chǎn)生的誤差僅為-2.8%,在工程允許的誤差范圍內(nèi)。以上分析說明了本文模型的有效性及模型中考慮持時(shí)影響的必要性。

由于在各國(guó)規(guī)范中均未提供持時(shí)這個(gè)參數(shù)，所以本文的回歸方程是不便于工程運(yùn)用的。為了在實(shí)際工程中考慮持時(shí)對(duì)DSF的影響，可對(duì)工程所在場(chǎng)地執(zhí)行概率地震危險(xiǎn)性分析，然后分解所計(jì)算出的地震危險(xiǎn)性，找出工程所在場(chǎng)地最可能的設(shè)計(jì)地震，將該設(shè)計(jì)地震所對(duì)應(yīng)的震級(jí)、距離等參數(shù)代入D5-95的預(yù)測(cè)方程，求出D5-95，再運(yùn)用本文的回歸方程便可得出考慮了D5-95影響的阻尼調(diào)整系數(shù)。

圖7 本文模型和數(shù)據(jù)的DSF中值對(duì)比Fig.7 Comparison between median DSFs of the model and data

5.2 標(biāo)準(zhǔn)差σln(DSF)

對(duì)于二元線性方程，在Ti和ξj處，σ(ξj,Ti)ln(DSF)的無偏估計(jì)可用下式[18]計(jì)算：

(14)

(15)

圖8給出了在T=0.1 s和3 s處式(15)的擬合結(jié)果。由圖可見，DSF相對(duì)于ξ存在異方差性且隨著ξ越遠(yuǎn)離5%，DSF的離散程度越大。這與前文統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果中所觀察到的現(xiàn)象相一致。各周期點(diǎn)處回歸系數(shù)的估計(jì)值列于表1。

圖和擬合曲線 and the fitted curve

6 結(jié) 論

本文對(duì)408條地震地面運(yùn)動(dòng)記錄的DSF進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，并在此基礎(chǔ)上提出了考慮相對(duì)能量持時(shí)D5-95影響的回歸模型，得出以下結(jié)論：

(1)D5-95對(duì)DSF的影響與T和ξ有關(guān)；在長(zhǎng)周期范圍內(nèi)，當(dāng)ξ<5%時(shí)，DSF隨著D5-95的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)；當(dāng)ξ>5%時(shí)，DSF隨著D5-95的增長(zhǎng)而減小。隨著T的增長(zhǎng)，D5-95對(duì)DSF的影響越顯著；ξ越遠(yuǎn)離5%，D5-95對(duì)DSF的影響越顯著。在短周期范圍內(nèi)，D5-95對(duì)DSF無顯著影響。

(2)DSF相對(duì)于ξ存在異方差性，且隨著ξ越遠(yuǎn)離5%，DSF的離散程度越大。

(3) 本文所提出的回歸方程能體現(xiàn)長(zhǎng)周期范圍內(nèi)D5-95對(duì)DSF的影響。模型的標(biāo)準(zhǔn)差能體現(xiàn)DSF相對(duì)于ξ的異方差性。

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