吳 旭， 周美容， 陳 曦， 張雪梅

(1. 南通理工學(xué)院 建筑工程學(xué)院，江蘇 南通 226000； 2. 上海優(yōu)耐建筑工程咨詢有限公司，上海 201908)

在消能減震結(jié)構(gòu)中，阻尼器提供給結(jié)構(gòu)的附加阻尼對結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)有顯著影響，因此，需要準(zhǔn)確評估阻尼器的附加有效阻尼比。目前，諸多文獻(xiàn)[1-6]提出了黏滯阻尼器在振型分解反應(yīng)譜分析或時(shí)程分析下的附加有效阻尼比的計(jì)算方法，但都是建立在一系列假設(shè)上，具有局限性，無法準(zhǔn)確計(jì)算黏滯阻尼器的附加有效阻尼比。本文從阻尼力做功(阻尼能)的角度出發(fā)，建立在時(shí)程分析下阻尼能與阻尼比的關(guān)系，提出黏滯阻尼器附加有效阻尼比的理論計(jì)算公式，并建立有限元分析模型來驗(yàn)證公式的正確性。

1 現(xiàn)有附加有效阻尼比計(jì)算公式

目前，根據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010)[7]與《建筑減震消能技術(shù)規(guī)程》(JGJ 297—2013)[8]，阻尼器的附加有效阻尼比ξa可采用下式計(jì)算

(1)

式中：Wcj為阻尼器在結(jié)構(gòu)預(yù)期層間位移下往復(fù)循環(huán)一周所消耗的能量;Ws為設(shè)置消能部件的結(jié)構(gòu)在預(yù)期位移下的總應(yīng)變能。

本質(zhì)上，式(1)是由單自由度質(zhì)點(diǎn)固有阻尼比的原始定義ξ=c/(2mωn)推導(dǎo)出的[9]，但在推導(dǎo)過程中假設(shè)質(zhì)點(diǎn)按自振周期做簡諧運(yùn)動(dòng)，以阻尼力做功Wc與總應(yīng)變能Ws代替阻尼系數(shù)c、質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m以及圓頻率ωn來表達(dá)阻尼比ξ。因此，這種代替是建立在以下幾個(gè)前提：①結(jié)構(gòu)為單自由度；②阻尼力與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度成線性關(guān)系；③質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模式為簡諧運(yùn)動(dòng)；④質(zhì)點(diǎn)簡諧運(yùn)動(dòng)周期與自振周期相同(共振)；⑤Wcj,Ws分別為質(zhì)點(diǎn)在簡諧運(yùn)動(dòng)往復(fù)循環(huán)一周中的阻尼器所消耗的能量與結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能。

在實(shí)際工程中，通常采用式(1)估算振型分解反應(yīng)譜分析下速度相關(guān)型阻尼器的附加有效阻尼比。由于振型分解反應(yīng)譜分析屬于靜力分析，分析結(jié)果雖包含結(jié)構(gòu)的預(yù)期位移，但并不體現(xiàn)結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)模式，從而以上幾個(gè)前提并不完全成立。消能減震結(jié)構(gòu)在進(jìn)行振型分解反應(yīng)譜法分析時(shí)，若套用式(1)來計(jì)算黏滯阻尼器的附加有效阻尼比，則自然隱含了一個(gè)假定：黏滯阻尼器是在振型分解反應(yīng)譜分析得到的預(yù)期變形下按第一周期進(jìn)行簡諧運(yùn)動(dòng)。因此，嚴(yán)格來說，采用式(1)得到結(jié)構(gòu)的附加有效阻尼比為黏滯阻尼器在該運(yùn)動(dòng)模式下所提供的阻尼比。然而黏滯阻尼器在實(shí)際地震作用下并非按照該模式運(yùn)動(dòng)，此方法雖然被普遍采用，但具有局限性，并不具備明確的物理意義。

采用式(1)估算阻尼器的附加有效阻尼比時(shí)，對于位移相關(guān)型阻尼器，阻尼力僅與變形有關(guān)，可通過與結(jié)構(gòu)預(yù)期位移對應(yīng)的阻尼器變形來確定其所消耗的能量，并通過迭代來確定附加有效阻尼比[10-12]，因此可采用振型分解反應(yīng)譜法分析。但對于速度相關(guān)型阻尼器，阻尼力與變形速度有關(guān)，無法僅由與結(jié)構(gòu)預(yù)期位移對應(yīng)的阻尼器變形來確定其所消耗的能量，還必須假定結(jié)構(gòu)按第一周期進(jìn)行簡諧運(yùn)動(dòng)，才能確定阻尼器所消耗的能量。所以，對于非線性速度相關(guān)型阻尼器，在進(jìn)行迭代時(shí)，常無法收斂，難以獲得其附加有效阻尼比。

由于無法由振型分解反應(yīng)譜分析來計(jì)算黏滯阻尼器在結(jié)構(gòu)中的附加有效阻尼比，實(shí)際工程通常采用由時(shí)程分析得到的黏滯阻尼器所做的功與結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能來計(jì)算黏滯阻尼器的附加有效阻尼比[13]，并將該阻尼比返回振型分解反應(yīng)譜分析來進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。常用的時(shí)程分析下黏滯阻尼器附加有效阻尼比計(jì)算公式如式(2)或式(3)

(2)

(3)

式中：Ek,max與Ep,max分別為結(jié)構(gòu)在時(shí)程過程中的最大動(dòng)能與最大勢能；WA與WM分別為阻尼器與振型阻尼在時(shí)程過程中累計(jì)消耗的能量；Ei為時(shí)程過程中累計(jì)輸入的總能量。

②教師地位的轉(zhuǎn)變?！盎ヂ?lián)網(wǎng)+”時(shí)代的來臨，學(xué)生的獲取方式與傳播方式都發(fā)生了革命性的轉(zhuǎn)變，“不懂問百度”以成為學(xué)生的口頭禪，學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)可輕松獲得答案，教師的地位也逐漸由權(quán)威轉(zhuǎn)變?yōu)閰⒖?。網(wǎng)絡(luò)公開課目前呈現(xiàn)爆炸式發(fā)展趨勢，學(xué)生在網(wǎng)上就能與名師名校的距離拉近，在知識的獲取中，語文老師的權(quán)威地位受到挑戰(zhàn)而變得日益下降，“傳統(tǒng)課堂-滿堂灌”的傳播方式已經(jīng)不能滿足知識日益增長的獲取方式。

然而，采用式(2)或式(3)的出發(fā)點(diǎn)其實(shí)是為了套用式(1)，但并不具備物理意義，原因在于：WA,WM,Ei均為整個(gè)時(shí)程過程的能量累積，Ek,max與Ep,max均為整個(gè)時(shí)程過程的最大值，并非發(fā)生在同一時(shí)刻。因此，采用此二式計(jì)算時(shí)程分析中阻尼器的附加有效阻尼比是不合理且不可靠的，若將該附加有效阻尼比返回振型分解反應(yīng)譜分析來進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是不安全的。為了有效計(jì)算黏滯阻尼器在結(jié)構(gòu)中提供的附加阻尼比，本文從能量角度出發(fā)，由結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程重新推導(dǎo)附加有效阻尼比的理論解。

2 附加有效阻尼比的理論解

對于不含阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

(5)

式中：cd為黏滯阻尼器的阻尼系數(shù);α為阻尼指數(shù)。當(dāng)α=1時(shí)，阻尼器為線性黏滯阻尼器，其附加有效阻尼比可套用固有阻尼比的計(jì)算公式來獲得，即：ξa=cd/(2mωn)；當(dāng)α≠1時(shí)，阻尼器為非線性黏滯阻尼器，其附加有效阻尼比則無法套用固有阻尼比的計(jì)算公式來獲得。

為此，可將非線性黏滯阻尼器等效為線性黏滯阻尼器，若是基于阻尼力的等效，即：兩者在時(shí)程過程中任一時(shí)刻t的阻尼力Fd相等，則有

(6)

若是基于能量的等效，即：兩者在同一時(shí)程過程(0,t)中所消耗的能量WA相等，則有

(7)

(8)

從而可得黏滯阻尼器的附加有效阻尼比ξa為

(9)

(10)

特別地，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)按自振周期做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，可假設(shè)質(zhì)點(diǎn)位移u(t)為

u(t)=u0sin(ωnt)

(11)

(12)

(13)

將式(13)代入式(9)，可得附加有效阻尼比ξa

(14)

此時(shí)，式(9)則退化為式(1)。對比式(1)與式(9)可見，雖然附加有效阻尼比ξa與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能Ek(t)在時(shí)間上的積分有關(guān)，但當(dāng)質(zhì)點(diǎn)按自振周期做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能在時(shí)間上的積分可用結(jié)構(gòu)應(yīng)變能來表示，因此，式(1)僅適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)按自振周期做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的附加有效阻尼比，式(9)則適用于計(jì)算任意動(dòng)力荷載下的附加有效阻尼比，具有更強(qiáng)的適用性和合理性。

(15)

同理，振型阻尼比ξm可表示為

(16)

當(dāng)時(shí)間間隔Δt越小，上式計(jì)算的阻尼比越接近真實(shí)解。

3 有限元分析驗(yàn)證

現(xiàn)采用ETABS軟件并以一單自由度體系為例，分別驗(yàn)證振型阻尼比ξm與附加有效阻尼比ξa的計(jì)算公式。該單自由度體系采用單層單跨混凝土框架結(jié)構(gòu)，如圖1所示。結(jié)構(gòu)跨度為6 m，高度為3 m，混凝土材料為C30，框架柱截面尺寸為400 mm×400 mm，框架梁截面尺寸為200 mm×400 mm，樓板厚度為100 mm。樓面永久荷載(含樓板自重)為4 kN/m2，樓面活荷載為2 kN/m2。在該結(jié)構(gòu)中布置黏滯阻尼器，如圖2所示，阻尼器阻尼系數(shù)cd=200 N/(m/s)α，α分別取值0.1，0.2，0.3，結(jié)構(gòu)振型阻尼比ξm采用0.05。地震波分別采用正弦波(周期1 s，持續(xù)時(shí)間30 s)、三角波(周期1 s，持續(xù)時(shí)間30 s)、El-Centro波(持續(xù)時(shí)間53.76 s)，ChiChi波(持續(xù)時(shí)間40 s)，進(jìn)行時(shí)程分析時(shí)將結(jié)構(gòu)的活動(dòng)自由度限制在X-Z平面內(nèi)，并將樓板設(shè)置為剛性樓板，以確保結(jié)構(gòu)為單自由度。

圖2 單層單跨混凝土框架結(jié)構(gòu)(設(shè)置阻尼器)Fig.2 1-floor 1-bay concrete frame structure-with damper

先將時(shí)程分析結(jié)果采用式(16)計(jì)算所得的振型阻尼比ξm如表1所示。由表1可知，采用式(16)計(jì)算所得振型阻尼比ξm與已知的輸入值5.00%完全一致，證明了該計(jì)算方法的正確性，并適用于任意形式的地震波。

表1 振型阻尼比計(jì)算值Tab.1 Calculated values of modal damping ratio

再將α=0.2(α=0.1，α=0.3的情況不再列舉)對應(yīng)的時(shí)程分析結(jié)果分別采用式(2)與式(3)計(jì)算所得的振型阻尼比ξm如表2所示。由表2可知，采用式(2)與式(3)計(jì)算所得振型阻尼比ξm均與已知的輸入值5.00%差別較大，由此可認(rèn)為采用式(2)或式(3)計(jì)算黏滯阻尼器的附加有效阻尼比ξa是不合適的。

表2 振型阻尼比計(jì)算值——采用式(2)與式(3)計(jì)算Tab.2 Calculated values of modal damping ratio——using equations (2) and (3)

然后，將時(shí)程分析結(jié)果采用式(15)計(jì)算所得的附加有效阻尼比ξa分別如表3所示。由表3可知，與振型阻尼比ξm的不同在于，非線性黏滯阻尼器的附加有效阻尼比ξa在不同的時(shí)程過程是不同的。

表3 附加有效阻尼比計(jì)算值Tab.3 Calculated values of additional effective damping ratio

此外，將表3中的α=0.2(α=0.1,α=0.3的情況不再列舉)對應(yīng)的附加有效阻尼比ξa疊加到不設(shè)置阻尼器結(jié)構(gòu)(圖1)的振型阻尼比ξm后，進(jìn)行時(shí)程分析，所得的不設(shè)置阻尼器模型阻尼能WM與帶阻尼器模型阻尼能WM+WA如表4所示。由表4可知，在同一時(shí)程過程中，設(shè)置阻尼器結(jié)構(gòu)的振型阻尼與阻尼器所做的功之和WM+WA，與振型阻尼在振型阻尼比為ξm+ξa的不設(shè)置阻尼器結(jié)構(gòu)中所做的功WM是相等的(誤差來自有限元程序的計(jì)算精度)。因此，式(15)計(jì)算的阻尼比可視為該時(shí)程過程的附加有效阻尼比，這種等效是基于阻尼能的等效。

表4 阻尼能對比Tab.4 Comparison of damping energies

最后，對比式(9)與式(10)可得，當(dāng)振型阻尼比ξm為已知時(shí)，可直接通過黏滯阻尼器與振型阻尼所做的功的關(guān)系來確定附加有效阻尼比ξa，即

(17)

雖然式(17)是建立在單自由度結(jié)構(gòu)的前提下推導(dǎo)出的，但也同樣適用于多自由度結(jié)構(gòu)。將時(shí)程分析結(jié)果采用上式計(jì)算所得的附加有效阻尼比ξa如表5所示，可以看出，采用上式計(jì)算所得的附加有效阻尼比與采用式(16)計(jì)算結(jié)果完全一致，因此，當(dāng)結(jié)構(gòu)振型阻尼比ξm已知時(shí)，采用式(17)確定附加有效阻尼比更加便利。

表5 附加有效阻尼比計(jì)算值Tab.5 Calculated values of additional effective damping ratio

4 結(jié) 論

(1)現(xiàn)有的消能減震結(jié)構(gòu)附加有效阻尼比計(jì)算公式(1)是由單自由度質(zhì)點(diǎn)固有阻尼比的原始定義推導(dǎo)出的，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)按自振周期做簡諧運(yùn)動(dòng)，并以能量的形式來表達(dá)的。因此，該公式具有局限性，不適合用于計(jì)算消能減震結(jié)構(gòu)在時(shí)程分析中黏滯阻尼器的附加有效阻尼比。

(2)實(shí)際工程中常用的消能減震結(jié)構(gòu)在時(shí)程分析中黏滯阻尼器的附加有效阻尼比的計(jì)算式(2)與式(3)不具備物理意義，所計(jì)算的附加有效阻尼比是不合理且不可靠的。

(3)本文基于能量的等效，將非線性黏滯阻尼器等效為線性黏滯阻尼器，提出黏滯阻尼器的附加有效阻尼比計(jì)算公式，該公式經(jīng)由已知的結(jié)構(gòu)振型阻尼比驗(yàn)證了其正確性，適用于計(jì)算任意動(dòng)力荷載下的附加有效阻尼比，具有更強(qiáng)的適用性和合理性。

(4)本文提出的計(jì)算公式所計(jì)算的非線性黏滯阻尼器的附加有效阻尼比在不同的時(shí)程過程是不同的。

(5)將本文提出的計(jì)算公式所計(jì)算的附加有效阻尼比疊加到不設(shè)置阻尼器結(jié)構(gòu)的振型阻尼比后，其振型阻尼做所的功，與消能減震結(jié)構(gòu)在同一時(shí)程過程下的振型阻尼與阻尼器所做的功之和相等，因此，本文提出的計(jì)算公式所計(jì)算的附加有效阻尼是基于阻尼能的等效。

(6)當(dāng)振型阻尼比為已知時(shí)，可直接通過黏滯阻尼器與振型阻尼所做的功的比值關(guān)系來更加便利地確定附加有效阻尼比。