徐梅鵬, 侯 磊, 2， 李洪亮， 陳予恕

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 能源科學(xué)與工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

現(xiàn)代航空發(fā)動機(jī)多為雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，即由內(nèi)外轉(zhuǎn)子套裝，通過中介軸承聯(lián)接成為一個并聯(lián)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。由于在裝配中或機(jī)器長期運轉(zhuǎn)中的熱、疲勞等問題往往難以保證內(nèi)外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)軸中心線完全重合，使得系統(tǒng)振動變得復(fù)雜，危害航空發(fā)動機(jī)的安全穩(wěn)定運行[1]，其中主要原因之一是外轉(zhuǎn)子支承部位發(fā)生偏移，造成外轉(zhuǎn)子支點不同心問題[2]。

雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)建模常見方法有模態(tài)綜合法[3],有限單元法[4-5]，傳遞矩陣法[6]等。孫傳宗等[7-9]對復(fù)雜結(jié)構(gòu)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的建模和模型簡化方法進(jìn)行了較為細(xì)致的研究，通過對比臨界轉(zhuǎn)速和振型驗證了簡化方法的有效性。隨著計算機(jī)計算速度的發(fā)展，有限元軟件仿真方法[10]和數(shù)值積分方法[11-12]成為多自由度大模型分析方法的代表。Ferraris等[13]通過有限單元法和實驗雙重手段得到帶機(jī)匣的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速。Glasgow[14]利用模態(tài)綜合法進(jìn)而計算了雙轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和振型。此外，Hou等[15-16]基于改進(jìn)的諧波平衡法對含強(qiáng)非線性雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的近似解析求解方法開展了研究，為雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的理論分析提供新的思路。

航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)易產(chǎn)生多種不對中及不同心形式，并引起學(xué)者們關(guān)注。Al-Hussain等[17]建立兩跨對稱Jeffcott柔性轉(zhuǎn)子剛性聯(lián)軸器混合不對中模型，分析得到不對中改變了系統(tǒng)的剛度矩陣。Xu等[18-19]根據(jù)Hooke鉸的力矩分解，分析得到系統(tǒng)各部分的固有頻率及聯(lián)軸器不對中系統(tǒng)的多階偶次倍頻特征，并從實驗上驗證該方法的可行性。李明等[20]建立了具有平行不對中故障的非對稱柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，并探討其非線性動力學(xué)行為。張振波等[21]建立多支點柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，在不同連接結(jié)構(gòu)下分析得到：支承不同心使得結(jié)構(gòu)剛度呈現(xiàn)非線性且會激起2倍頻分量。Li等[22]通過改進(jìn)諧波平衡法不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)特征。陳果等[23]建立了轉(zhuǎn)子-滾動軸承-機(jī)匣耦合動力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)不對中和碰摩故障使得高次諧波尤其是偶次諧波成分將顯著增高。對于雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，李全坤等[24]建立了雙轉(zhuǎn)子聯(lián)軸器不對中故障模型，研究發(fā)現(xiàn)高低壓轉(zhuǎn)子振動相互耦合，使得2倍頻共振在高低壓轉(zhuǎn)子上均有體現(xiàn)。馮國全等[25]給出了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支撐軸承不對中的建模分析方法，分析了系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和響應(yīng)特征。

本文針對內(nèi)外軸不重合的故障，建立外轉(zhuǎn)子支點不同心雙轉(zhuǎn)子模型，并將不同心影響轉(zhuǎn)化為支承上附加的等效不同心彎矩，采用二維諧波平衡法求解得到幅頻響應(yīng)曲線，獲得了由不同心引起的故障共振區(qū)，通過分析頻譜和軸心軌跡幾何形狀揭示了不同心故障特征，可為不同心故障診斷提供依據(jù)。

1 航空發(fā)動機(jī)雙轉(zhuǎn)子簡化模型

為使雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡化模型盡可能反映結(jié)構(gòu)特點，做出以下模型假設(shè)：①轉(zhuǎn)軸簡化為不考慮轉(zhuǎn)軸的扭轉(zhuǎn)力及軸向力的影響，僅考慮轉(zhuǎn)子的橫向彎曲振動的剛性軸； ②考慮具有回轉(zhuǎn)效應(yīng)的剛體轉(zhuǎn)盤，其質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量聚集在質(zhì)心位置，圓盤的不平衡量始終位于回轉(zhuǎn)平面；③支承處包含中介軸承均簡化為各向同性線彈性支承。

根據(jù)假設(shè)建立如圖1所示的簡化模型，轉(zhuǎn)盤的幾何中心分別為O1和O2；m1,m2,e1,e2,Jp1,Jp2,Jd1,Jd2分別為低、高壓軸上的圓盤質(zhì)量、偏心距、直徑轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量。k1,k2,k3,c1,c2,c3,kb分別為3個支座的剛度和阻尼系數(shù)及中介彈簧剛度。ω1和ω2分別為內(nèi)、外轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速。

圖1 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡化模型示意圖Fig.1 Diagram of simplified model for dual rotor system

取內(nèi)外轉(zhuǎn)盤質(zhì)心橫向位移和偏轉(zhuǎn)角共8個為自由度組，各能量式為

(1)

(2)

(3)

并利用Lagrange方程式(4)來推導(dǎo)振動方程

(4)

式中：L=T-U為拉格朗日函數(shù)；ψ為瑞利耗散函數(shù)；F(t)為不平衡力。

2 外轉(zhuǎn)子支點不同心模型

本文研究的模型如圖2所示，由于外轉(zhuǎn)子在與基礎(chǔ)連接地方發(fā)生偏差，大小為Δ，主要造成外轉(zhuǎn)子軸線發(fā)生傾斜，與內(nèi)轉(zhuǎn)子軸心線產(chǎn)生角度為α的偏角。外轉(zhuǎn)子支點不同心的影響可以等效為外轉(zhuǎn)子支點處的附加不對中彎矩Fm，從而得到外轉(zhuǎn)子支點不同心雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動方程

(5)

式中：X={x1,y1,θx,θy,x2,y2,φx,φy}；M,D,K分別為質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣；G為反對稱陣。

圖2 外轉(zhuǎn)子支點偏移示意圖Fig.2 Fulcrum-offset schematic diagram

2.1 力矩分解

如圖3所示，假設(shè)外轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩Td水平向左，坐標(biāo)系o-xyz為固連在外轉(zhuǎn)子上的坐標(biāo)系，外轉(zhuǎn)子的軸心線與z軸重合。將力矩沿z軸分解，有

(6)

根據(jù)繞定點轉(zhuǎn)動的歐拉方程，有

(7)

式中：Iz為外轉(zhuǎn)子對z軸的主慣量矩。

圖3 力矩分解圖Fig.3 Moment decomposition diagram

2.2 帶偏角的角速度傳遞

兩相交轉(zhuǎn)動軸的角速度比的關(guān)系為

(8)

式中：ωd,ωp分別為主從動軸角速度;θd為主動軸轉(zhuǎn)動角度。

(9)

式中：Δx2, Δy2為外轉(zhuǎn)子支點橫縱向偏移量。

2.3 諧波分解

(10)

P,Q分別為

(11)

對式(10)左邊項進(jìn)行諧波分解，得到

(12)

(13)

由θd=ωdt，ωp=ωz, 并將式(12)兩端對時間t微分得到

(14)

式中：B2n=2nA2n,(n=1,2,3,L) 。

在同心的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，外轉(zhuǎn)子與驅(qū)動軸有著共同的轉(zhuǎn)動角速度，假設(shè)當(dāng)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)小角度不同心時，驅(qū)動軸的轉(zhuǎn)動角速度與外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度保持近似相等ωd≈ω2，進(jìn)而有

(15)

由外轉(zhuǎn)子支點不同心轉(zhuǎn)化的等效不同心彎矩可寫為

Fm=[0, 0, 0, 0, 0, 0,My,Mx]T

(16)

3 二維諧波平衡法

鑒于雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受不成比例的ω1和ω2雙頻激勵，需構(gòu)建二維諧波平衡法。式(5)可以通過以下設(shè)解方式來求解。通過引入

τk=ωkt(k=1, 2)

(17)

式中：0≤τk≤2π(k=1, 2)來作為求解的時間尺度則

(18)

(19)

對設(shè)解進(jìn)行諧波分解，有

(20)

式中：aij和bij為諧波項系數(shù)，代入動力學(xué)方程式(5)有

(21)

(22)

其中各分塊矩陣為

(22)

(24)

4 研究結(jié)果與分析

參數(shù)設(shè)置：

m1=20 kg,m2=13 kg,Jp1=0.18 kg·m2,Jp2=0.18 kg·m2,Jd1=Jp1/2,Jd2=Jp2/2,e1=1.5×10-6m,e2=1.0×106m,L1=0.275 m,L2=0.36 m,L3=0.165 m,L4=0.105 m,L5=0.05 m,c1=16 N·s/m,c2=16 N·s/m,c3=16 N·s/m,k1=7.5×106N/m,k2=7.5×106N/m,k3=5.0×106N/m,kb=7.5×

106N/m。

4.1 關(guān)于諧波平衡法算法可靠性的檢驗

Runge-Kutta法是求解含初值條件微分方程組的強(qiáng)有力工具，具有收斂性好，精確度高等優(yōu)點，但是求解時間歷程受初值影響大。如圖 4 所示，在不同的不同心角度下，系統(tǒng)的振動響應(yīng)分別通過HB法和Runge-Kutta法求得，對比發(fā)現(xiàn)：當(dāng)諧波項中m≥6時，兩者的穩(wěn)態(tài)解吻合的較好，但是前者無需多次積分去逼近穩(wěn)態(tài)解，其求解速度更快(兩者求解時間相差兩百多倍)，故可取HB法來進(jìn)行后續(xù)求解與分析。

圖4 不同偏角下二維諧波平衡法和Runge-Kutta法的求解對比(-為RK; ·為HB)Fig.4 Comparison between HB and Runge-Kutta under angular variation

4.2 計算結(jié)果及分析

雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅頻曲線出現(xiàn)4個主共振區(qū)，同向轉(zhuǎn)動時，如圖5所示：6 016 r/min，7 162 r/min，10 790 r/min和13 080 r/min(反向轉(zhuǎn)動時，如圖6所示：6 016 r/min，7 066 r/min，10 310 r/min和11 360 r/min)分屬于外、內(nèi)轉(zhuǎn)子自身不平衡力激起的第一、第二階臨界轉(zhuǎn)速；當(dāng)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的外轉(zhuǎn)子支承發(fā)生偏移出現(xiàn)支點不同心問題時，幅頻曲線出現(xiàn)新的共振區(qū)；由于研究對象是剛性軸，所以研究轉(zhuǎn)速范圍應(yīng)低于一階臨界轉(zhuǎn)速，取低于6 016 r/min的轉(zhuǎn)速，在偏移角度為0～1.59°時，得到這些共振區(qū)的軸心軌跡圖和頻譜圖；當(dāng)不同心偏角較小時，軸心軌跡在同向轉(zhuǎn)動時為多橢圓內(nèi)切圓形(反向轉(zhuǎn)動時為多橢圓包絡(luò)圓形)；隨著角度的增大，出現(xiàn)2倍頻率成分并逐漸增大，軸心軌跡形狀出現(xiàn)不同的變化：軌跡移動范圍也變大。當(dāng)轉(zhuǎn)速為2 880 r/min時，同向轉(zhuǎn)動時軸心軌跡出現(xiàn)多橢圓內(nèi)切圓形→月牙形→剪刀形變化，如圖 7所示(反向轉(zhuǎn)動時軸心軌跡出現(xiàn)多橢圓包絡(luò)圓形→月牙形→剪刀形變化，如圖 8所示)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為5 100 r/min時，同向轉(zhuǎn)動時軸心軌跡出現(xiàn)多橢圓內(nèi)切圓形→桃形→“8”字形變化如圖9所示(反向轉(zhuǎn)動時軸心軌跡出現(xiàn)多橢圓包絡(luò)圓形→桃形→內(nèi)“8”字形變化，如圖10所示)。

圖5 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)同向轉(zhuǎn)動幅頻響應(yīng)曲線(α=0, α=1.5°)Fig.5 Frequency-response curves of co-rotational dual-rotor system

圖6 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)反向轉(zhuǎn)動幅頻響應(yīng)曲線(α=0, 1.5°)Fig.6 Frequency-response curves of counter-rotational dual-rotor system

圖7 同向轉(zhuǎn)動下，轉(zhuǎn)速ω1=2 880 r/min時外轉(zhuǎn)子軸心軌跡和x2頻譜隨偏角的變化Fig.7 Outer-rotor orbits and x2 spectrum changing with angle for co-rotation when ω1=2 880 r/min

圖8 反向轉(zhuǎn)動下，轉(zhuǎn)速ω1=2 880 r/min時外轉(zhuǎn)子軸心軌跡和x2頻譜隨偏角的變化Fig.8 Outer-rotor orbits and x2 spectrum changing with angle for counter-rotation when ω1=2 880 r/min

圖9 同向轉(zhuǎn)動下，轉(zhuǎn)速ω1=5 100 r/min時外轉(zhuǎn)子軸心軌跡和x2頻譜隨偏角的變化Fig.9 Outer-rotor orbits and x2 spectrum changing with angle for co-rotation when ω1=5 100 r/min

圖10 反向轉(zhuǎn)動下，轉(zhuǎn)速ω1=5 100 r/min時外轉(zhuǎn)子軸心軌跡和x2頻譜隨偏角的變化Fig.10 Outer-rotor orbits and x2 spectrum changing with angle for counter-rotation when ω1=5 100 r/min

5 結(jié) 論

基于質(zhì)心集中質(zhì)量法和Lagrange方程建立了外轉(zhuǎn)子支點不同心的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡化模型，并通過求解效率高的諧波平衡法求解了系統(tǒng)的振動響應(yīng)，參數(shù)分析可以得出以下結(jié)論：

(1) 航空發(fā)動機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受雙頻不平衡力激勵，其幅頻響應(yīng)曲線上出現(xiàn)4個共振區(qū)，分別對應(yīng)由高、低壓轉(zhuǎn)子自身不平衡力激起的前二階臨界轉(zhuǎn)速。

(2) 受外轉(zhuǎn)子支點不同心影響，其幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)新的共振區(qū)；當(dāng)不同心偏角較小時，軸心軌跡為多橢圓內(nèi)切圓形(同向轉(zhuǎn)動)或多橢圓包絡(luò)圓形(反向轉(zhuǎn)動)；其主導(dǎo)頻率成分2倍隨不同心偏角增大，使得軸心軌跡移動并增大而且在不同轉(zhuǎn)速下，軸心軌跡形狀出現(xiàn)不同的變化形式：在低轉(zhuǎn)速共振響應(yīng)區(qū)域(小于一階主臨界轉(zhuǎn)速)，軸心軌跡受不同心角度影響，成月牙形，剪刀形或(內(nèi))“8”字形，與典型的不對中軸心軌跡特征相似。

本文的研究成果有助于理解不同心雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)特征，從而為不同心故障診斷提供依據(jù)。后續(xù)將進(jìn)一步研究考慮支承非線性的不同心雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性。