張承忠， 葉邦彥， 曹云鳳， 梁立東， 趙學(xué)智

(1.華南師范大學(xué)軟件學(xué)院，佛山 528225；2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640)

小提琴音色優(yōu)美，音域?qū)拸V，既是藝術(shù)界的樂器王后，又屬于科技界的精密聲學(xué)設(shè)備[1-2]. 一直以來，人們通過各種科學(xué)方法和實(shí)驗(yàn)，尋求制作優(yōu)秀提琴的規(guī)律[3]. 作為小提琴的主要部分，共鳴箱承受來自琴弦和琴碼的張力和壓力，并經(jīng)過充分振動(dòng)才能發(fā)出好的聲音，其影響因素較多，機(jī)理復(fù)雜. 德國科學(xué)家Cremer的專著介紹了小提琴的物理原理以及研究的各種實(shí)驗(yàn)方法[4]. 文獻(xiàn)[5]、[6]研究小提琴面板、背板在不同尺寸及形狀下的振動(dòng)情形，以及小提琴共鳴箱內(nèi)部空氣的振動(dòng)現(xiàn)象. Gough[7]用有限元方法分析小提琴的結(jié)構(gòu)模式及小提琴共鳴箱體的幾個(gè)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)箱體振動(dòng)的影響. 美國科學(xué)家Hutchins和哈佛大學(xué)的物理學(xué)家Frederick合作研究了小提琴琴板的聲學(xué)特性[8]. 國內(nèi)學(xué)者研究了提琴自由琴板振型以及音柱對(duì)振型影響[9].

本文針對(duì)以往小提琴共鳴箱有限元仿真存在的問題，著重提高模型的真實(shí)性和精確度，將琴碼和共鳴箱作為一個(gè)整體進(jìn)行研究. 提琴共鳴箱幾何形狀復(fù)雜，有限元法是對(duì)這種復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析的首選[10-11]. 本研究首先根據(jù)小提琴共鳴箱實(shí)體創(chuàng)建CAD模型，包括面板、背板、側(cè)板、腔內(nèi)結(jié)構(gòu)和輔助組件，然后對(duì)小提琴琴板和琴體進(jìn)行有限元仿真，研究其模態(tài)及頻響，為了驗(yàn)證有限元分析的結(jié)果，采用振動(dòng)傳感器測(cè)量拉弦和撥弦時(shí)面板、背板的振動(dòng)情況，驗(yàn)證共鳴箱的頻率響應(yīng)特性. 以進(jìn)一步弄清小提琴共鳴箱耦合共振的關(guān)鍵問題.

1 建模方法

1.1 提琴共鳴箱的有限元模型

小提琴共鳴箱的面板和背板為三維曲面，形狀復(fù)雜，面板上還有F孔和低音梁. 制琴師制作時(shí)不僅要做出它們的輪廓，還要求面板和背板的諧振特性適當(dāng)配合才能得到好的聲音效果. 為了能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行有限元模擬，首先采用“切割法” 由三維建模軟件Solidworks創(chuàng)建共鳴箱的有限元模型. 小提琴面板和背板的等高線和厚度分布如圖1所示. 根據(jù)圖中尺寸、厚度分布和等高線進(jìn)行多截面放樣，得到面板、背板和側(cè)板等部件的三維模型.

提琴的低音梁和音柱對(duì)提琴發(fā)音影響很大，而且結(jié)構(gòu)比較特殊(圖2A).采用板-梁復(fù)合結(jié)構(gòu)建立模型. 網(wǎng)格劃分采用自由網(wǎng)格，并滿足聲學(xué)計(jì)算中最高分析頻率(4 000 Hz)對(duì)應(yīng)波長至少包括6個(gè)結(jié)構(gòu)單元的要求. 圖2B顯示了包括小提琴琴碼的共鳴箱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和網(wǎng)格.

圖1 面板和背板的等高線和厚度分布

Figure 1 Contour and thickness distribution of front plate and back plate of violin

圖2 小提琴共鳴箱模型的結(jié)構(gòu)與網(wǎng)格劃分

1.2 共鳴箱材料特性

提琴的面板、低音梁和音柱用云杉制作；背板、側(cè)板、琴頭等用楓木制成. 在有限元分析中，材料屬性是否正確對(duì)仿真結(jié)果有直接影響. 本研究與常規(guī)機(jī)械構(gòu)件的有限元模擬不同，考慮木材的各向異性. 木材的力學(xué)性能，包括密度和彈性模量等都必須符合提琴的實(shí)際材料特性[12]，如表1所示. 并將其彈性模量、剪切模量和泊松系數(shù)分解為沿縱、橫和垂直3個(gè)方向的分量.

表1應(yīng)用于仿真中的小提琴共鳴箱的材料屬性

Table 1 Material properties of violin components using in finite element method

材料參數(shù)楓木云杉密度/(kg·m-3)540410楊氏模量Ex/MPa12 4307 590楊氏模量Ey/MPa833592楊氏模量Ez/MPa1 740326.4切變模量Gxy/MPa920463切變模量Gyz/MPa311486切變模量Gxz/MPa1 10622.8泊松比μxy 0.509 0.245泊松比μyz0.3540.372泊松比μxz0.4340.467

2 小提琴共鳴箱的有限元仿真

2.1 共鳴箱的振動(dòng)載荷與模態(tài)分析

小提琴共鳴箱的有限元分析除考慮外力的作用外，還須考慮共鳴箱面板的預(yù)應(yīng)力狀態(tài). 仿真時(shí)，首先是分析其靜態(tài)結(jié)構(gòu)，其載荷矩陣為：

[K]{x}={F}.

(1)

考慮面板預(yù)應(yīng)力狀態(tài)的模態(tài)方程為：

式中[K]為剛度矩陣，[M]為質(zhì)量矩陣，[S]為應(yīng)力剛度矩陣，ωi為振動(dòng)頻率，φi為模態(tài).

通過受力分析確定邊界條件(圖3). 其中A、B點(diǎn)分別為弦枕和尾枕端點(diǎn)，C點(diǎn)為琴碼頂端. 琴弦的張力F分別作用在A、B處，在C點(diǎn)處存在對(duì)琴碼的豎直向下的壓力T.

圖3 小提琴受力分析

小提琴上弦后，F(xiàn)2為面板上端的縱向壓力，F(xiàn)3為背板端部的縱向壓力. 假設(shè)Mo(F)為弦枕所受力對(duì)點(diǎn)o力矩的矢量和，由靜態(tài)力矩平衡方程則可求出F2和F3.

小提琴的低音梁和音柱對(duì)提琴發(fā)音影響很大，由于音柱的作用，共鳴箱的發(fā)音與音箱不同，面板的振動(dòng)主要由音柱傳遞，因此可以忽略空氣的作用，但要考慮F孔的結(jié)構(gòu)，它主要通過影響面板的形狀和強(qiáng)度起作用. 仿真時(shí)選取標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)的面、背板組成共鳴箱(取表3的6號(hào)面板)進(jìn)行材料參數(shù)設(shè)置、網(wǎng)格劃分，根據(jù)圖3的受力分析，添加靜載荷及約束， 包括琴碼腳與面板的接觸剛度等，再運(yùn)用靜態(tài)結(jié)構(gòu)求解模塊來定義分析類型、分析選項(xiàng)、確定載荷數(shù)據(jù)和載荷步驟選項(xiàng)，然后運(yùn)用求解器進(jìn)行求解，得到小提琴共鳴箱靜態(tài)力作用下的變形情況. 在靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上，對(duì)小提琴共鳴箱進(jìn)行模態(tài)分析，求解出小提琴腔體的振動(dòng)模態(tài)和固有頻率(圖4).

圖4 小提琴共鳴箱的振動(dòng)模態(tài)和固有頻率

從圖4中的振動(dòng)模態(tài)可分辨面板和背板的振動(dòng)情況. 兩板顏色相同表明振動(dòng)具有相同的位移方向；出現(xiàn)藍(lán)色和紅色意味著相位不同. 當(dāng)小提琴一對(duì)琴板由側(cè)板組成共鳴箱時(shí)，由此產(chǎn)生的邊緣約束會(huì)改變板的振動(dòng)模態(tài). 此外，兩琴板之間通過音柱和側(cè)板的相互作用也會(huì)產(chǎn)生新的耦合共振.

表2顯示了該標(biāo)準(zhǔn)共鳴箱的5個(gè)仿真計(jì)算固有頻率與文獻(xiàn)[13]-[15]中仿真值及實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的比較，結(jié)果基本一致. 差異來自測(cè)量誤差和提琴建模形狀、材料力學(xué)性能等的不同. 說明木材結(jié)構(gòu)與特性決定的固有模態(tài)對(duì)小提琴音質(zhì)的影響很重要. 但文獻(xiàn)[13]對(duì)共鳴箱進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)只考慮面板、背板和側(cè)板組成的腔體，忽略了琴碼等接觸位置的作用力對(duì)共鳴箱模態(tài)的影響. 本文在提琴受力分析基礎(chǔ)上精確設(shè)置約束條件，得到的結(jié)果更符合提琴的真實(shí)情況.

表2琴體共鳴箱固有頻率數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的比較

Table 2 Natural frequencies comparison of calculated values and experimental measurements of violin box

模態(tài)仿真計(jì)算頻率/Hz測(cè)量頻率/Hz仿真值文獻(xiàn)值[13]文獻(xiàn)值[14]文獻(xiàn)值[15]#1427.20410.5432.56410.5#2476.38470.8464.66466.1#3582.46570.2559.59574.1#4706.04730.6……#5761.14767.9…656.1

2.2 共鳴箱結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響

當(dāng)小提琴面板和背板的固有頻率滿足某些特征關(guān)系才能制作好的樂器[8]. 但當(dāng)一對(duì)琴板組裝成小提琴共鳴箱時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)變得極為復(fù)雜. 為了進(jìn)一步研究影響共鳴箱振動(dòng)的因素，本文采用不同的面板結(jié)構(gòu)參數(shù)(表3)組成共鳴箱，對(duì)其振動(dòng)特性進(jìn)行研究.

表3 小提琴面板的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 3 Structure parameter of violin front plate

首先，研究音柱對(duì)提琴共鳴箱振動(dòng)模態(tài)的影響. 文獻(xiàn)[8]、[13]僅考慮音柱的位置和音柱粗細(xì)對(duì)固有頻率的影響，除此之外，本文還考慮無音柱的狀態(tài)和音柱的不同接觸剛度對(duì)共鳴箱固有頻率的影響. 仿真時(shí)選取標(biāo)準(zhǔn)厚度2號(hào)面板構(gòu)成的共鳴箱，比較無音柱和不同接觸剛度有音柱條件下共鳴箱的振動(dòng)情況(表4). 仿真結(jié)果表明，音柱的不同接觸剛度對(duì)共鳴箱的模態(tài)形狀的影響顯著，無音柱時(shí)對(duì)低音影響很大，高音變化相對(duì)較小. 音柱與面板的接觸剛度(即音柱的松緊)對(duì)低頻影響較小，當(dāng)音柱接觸剛度增大到一定值時(shí)，共鳴箱的高階共振頻率趨向穩(wěn)定值. 這一結(jié)論為提琴音柱狀態(tài)調(diào)整提供了參考.

表4音柱不同接觸剛度時(shí)共鳴箱共振頻率

Table 4 Natural frequencies of violin box with various contact stiffness of sound-post

音柱接觸剛度/(N·mm-3)共振頻率/Hz#1#2#3#4…#8#9無音柱65191329580…7731 1640.01430497579683…8611 2800.1472583667806…9671 3671.0482585667806…9681 419104825936 687808…9701 419

其次，研究低音梁對(duì)共鳴箱的影響. 低音梁的作用除加強(qiáng)面板剛度外，還使面板具有一定的預(yù)應(yīng)力，并將琴碼的振動(dòng)傳到整個(gè)面板. 選取2號(hào)面板構(gòu)成的共鳴箱. 取標(biāo)準(zhǔn)低音梁高為14 mm，面板預(yù)應(yīng)力是由面板中部向上的加載力使面板產(chǎn)生3 mm撓度變形時(shí)形成的. 模擬結(jié)果如表5所示.低音梁高度較大和面板有預(yù)應(yīng)力時(shí)，共鳴箱的固有頻率較高. 因此可通過調(diào)整低音梁的尺寸和面板預(yù)應(yīng)力來調(diào)整共鳴箱的固有頻率.

表5不同低音梁和預(yù)應(yīng)力狀態(tài)的共鳴箱共振頻率

Table 5 Natural frequencies of violin box with various bass bar size and front plate pre-stress state of violin

低音梁狀態(tài)共振頻率/Hz#1#2#3#4…#8#9無低音梁375582653745…885944低音梁(7 mm)378583659777…916953標(biāo)準(zhǔn)低音梁388585667781…933968低音梁有應(yīng)力431633730840…9691 024

然后，選取表3中面板號(hào)1、2、6、7四種不同拱高面板分別與相同的側(cè)板和背板組成共鳴箱，得到的固有頻率如表6所示.面板的拱高對(duì)共鳴箱的振動(dòng)影響大，1號(hào)平板面板構(gòu)成的共鳴箱其共振頻率較低，與6號(hào)面板相比，拱高較低的2號(hào)面板低頻的共振頻率較低，但高頻共振頻率稍高. 6號(hào)面板與7號(hào)高拱面板比較，低頻的共振頻率較接近，但高頻相差比較大. 這結(jié)論與實(shí)際效果相符：當(dāng)面板的拱高適中時(shí)，G弦不會(huì)太沉悶，傳遠(yuǎn)性較好，而高頻又不太尖噪.

表6不同拱高面板的共鳴箱共振頻率

Table 6 Natural frequencies of violin box with various arch rise of front plate

面板號(hào)共振頻率/Hz#1#2#3#4#5#8#9#1010.0011.1347292…1462162492388585667781806…8569339686427582647706761…7858729147397624681821883…9099831 027

表7為不同厚度面板的共鳴箱的共振頻率，是選取2、3、4三種面板組成共鳴箱的結(jié)果. 面板厚度適中其共振頻率范圍較寬；面板太厚時(shí)共振頻率偏高，這與實(shí)際情況相符.

表7不同厚度面板的共鳴箱共振頻率

Table 7 Natural frequencies of violin box with various front plate thickness

面板號(hào)共振頻率/Hz#1#2#3#4#5#8#9#104391486535597651…7578789032388482585667781…8569339683487622757826914…1 0361 1101 141

由表3中2和5兩種相同拱高但弧度形狀不同的面板得到不同拱弧度形狀面板共鳴箱的共振頻率(表8).面板拱的形狀不同時(shí)，共鳴箱的共振頻率差別不大，但是中間平兩邊弧度陡的面板構(gòu)成的共鳴箱其共振頻率略高.

表8不同拱弧度形狀面板的共鳴箱共振頻率

Table 8 Natural frequencies of violin box with different arch shape of front plate

面板號(hào)共振頻率/Hz#1#2#3#4#5#8#9#102388482585667781…8569339685398513618698788…8961 0071 060

2.3 共鳴箱的頻率響應(yīng)分析

通過workebench的諧響應(yīng)模塊對(duì)小提琴共鳴箱的頻率響應(yīng)特性進(jìn)行研究. 為了與振動(dòng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的頻率響應(yīng)相比較，取頻率響應(yīng)的范圍為0～2 500 Hz，模擬時(shí)必須根據(jù)提琴的受力情況設(shè)置合適約束(圖5). 其中音柱兩端的彈性接觸剛度取EFS1=1 N/mm3，驅(qū)動(dòng)力為1.732 N正弦力作用在琴碼G弦處，頻率在分析范圍內(nèi)變化.

圖5 共鳴箱頻率響應(yīng)分析的彈性支承和驅(qū)動(dòng)力配置

Figure 5 The elastic supports and driving force used for analysis of violin box vibration frequency responses

共鳴箱面板和背板的頻率響應(yīng)仿真如圖6所示. 面板的共振峰在響應(yīng)范圍的分布比較均勻，背板共振峰則較多分布在高頻段. 其頻率響應(yīng)與后面共鳴箱測(cè)振實(shí)驗(yàn)時(shí)相應(yīng)位置的頻率響應(yīng)結(jié)果很接近. 小提琴面板和背板頻率響應(yīng)的不同是因?yàn)槊姘?、背板的材料和形狀結(jié)構(gòu)不同，同時(shí)音柱的作用使面、背板的振動(dòng)機(jī)理不同產(chǎn)生的，較小程度上受粘在面板上的低音梁的影響.

圖6 小提琴共鳴箱模擬的頻率響應(yīng)

3 共鳴箱振動(dòng)測(cè)試實(shí)驗(yàn)

3.1 共鳴箱振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)設(shè)計(jì)

小提琴共鳴箱振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)由加速度傳感器、電荷放大器和數(shù)據(jù)采集儀及計(jì)算機(jī)組成(圖7)，加速度傳感器檢測(cè)到的小提琴面板和背板的振動(dòng)信號(hào)經(jīng)放大與采樣后通過計(jì)算機(jī)處理和顯示，并可保存為數(shù)據(jù)文件以便后續(xù)使用. 實(shí)驗(yàn)中使用的壓電式加速度傳感器YD-8的特性為：頻響30 000 Hz，質(zhì)量3 g. 由質(zhì)量引起的誤差可通過補(bǔ)償算法排除.

圖7 小提琴共鳴箱振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)

3.2 滑弦頻率響應(yīng)分析

小提琴共鳴箱頻率響應(yīng)測(cè)試的關(guān)鍵是選擇合適的激振方法. 由于提琴的結(jié)構(gòu)和使用特點(diǎn)，通常的錘擊法不適宜. 根據(jù)琴弦亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)可知，弦振動(dòng)波形是不對(duì)稱的鋸齒波[5]，逆程變化很陡，含有豐富的高次諧波，因此本文采用滑弦激振，實(shí)驗(yàn)時(shí)，4根琴弦調(diào)整到標(biāo)準(zhǔn)音高，數(shù)據(jù)采樣頻率為6 000 Hz，加速度傳感器的安裝位置，面板安裝在琴碼之前，距離碼腳邊線4.5 mm處. 背板則安裝在琴馬下的中心位置.

圖8為G弦滑奏時(shí)面板和背板的頻率響應(yīng)，符合前述共鳴箱的頻率響應(yīng)仿真分析結(jié)果. A1腔體模態(tài)頻率在500 Hz附近，它對(duì)小提琴音質(zhì)的影響較大[15]. 有研究表明，優(yōu)質(zhì)小提琴在500～600 Hz之間存在一個(gè)共振峰[16].

圖8 滑奏G弦時(shí)頻率響應(yīng)

4 結(jié)論

本文通過有限元仿真和實(shí)驗(yàn)方法研究了小提琴共鳴箱的振動(dòng)特性，得到如下結(jié)論：

(1)根據(jù)有限元仿真對(duì)象的特點(diǎn)，將提琴琴碼和共鳴箱作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究，考慮了材料的各向異性、面板預(yù)應(yīng)力狀態(tài)、碼腳和音柱與共鳴箱的接觸剛度以及驅(qū)動(dòng)力的形式等，采用板-梁復(fù)合結(jié)構(gòu)，建立提琴精確的有限元仿真模型，為了驗(yàn)證有限元分析的結(jié)果. 創(chuàng)新性采用滑弦拉奏激勵(lì)，振動(dòng)傳感器檢測(cè)的方法，使有限元模擬結(jié)果更符合提琴的真實(shí)情況.

(2)通過有限元仿真和實(shí)驗(yàn)，分析了小提琴面板拱高、拱的形狀、板厚和面板預(yù)應(yīng)力、音梁尺寸和音柱接觸剛度等結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)共鳴箱振動(dòng)狀態(tài)的影響，和小提琴共鳴箱結(jié)構(gòu)參數(shù)與固有頻率和頻響的對(duì)應(yīng)關(guān)系，明確了以往不清楚的背板在提琴振動(dòng)諧響峰所起的作用. 使提琴制作時(shí)能根據(jù)需要，綜合考慮各因數(shù)的影響，避免了重復(fù)實(shí)驗(yàn)和盲目性.

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