陳亞蘭

（興義市第五中學 貴州 興義 562400）

眾所周知，在《全日制普通高中物理新課程標準》中，三維目標的過程與方法提到［1］：通過物理概念和規(guī)律的學習過程，了解物理學的研究方法，認識物理實驗、物理模型和數(shù)學工具在物理學發(fā)展過程中的作用.可見，對用數(shù)學方法處理物理問題提出了較高的要求.高中學生已經(jīng)具備了微積分的初步知識，用微積分求解有關(guān)高中物理習題成為可能［2］.曾經(jīng)有的教師在課堂上應(yīng)用微積分進行題解，出現(xiàn)了學生反而聽得更加精神的狀況［1］.課后了解不少學生也反映.用微積分解題感覺很新鮮，感嘆說“爽”.在平時作業(yè)中，個別聰明的學生也會用微積分進行題解.

本文利用微積分導出變力作用下的動能定理，從而拓展動能定理的推導新條件和教學新環(huán)境.主要圍繞兩個方面進行論述，一是物體運動軌跡為直線時，變力作用下動能定理的理解；二是物體運動軌跡為曲線時，變力作用下動能定理的分析.

1 直線運動的動能定理

高中物理課本中的動能定理，是根據(jù)牛頓第二定律和勻變速運動的規(guī)律推導而得的［3］.外力對物體做功是一個過程量，直接度量為狀態(tài)量的動能改變量，即W＝ΔEk.只要考慮這一點，就很容易把問題解決.

一質(zhì)量為m的金屬球從離地面高h處自由落下，陷入沙坑中L深處，如圖1所示.在陷入沙子的過程中，用動能的狀態(tài)量值可以求出平均阻力為f（變力）.綜合知識得

根據(jù)動能定理，可以得

圖1

2 曲線運動的動能定理

能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)［4］，力對物體所做的功是空間積累效應(yīng)的過程量.如果物體的運動軌跡為曲線，則空間積累量的功不考慮其復雜的運動過程，只考慮狀態(tài)動能的改變量即可確定其值.在此，復雜的曲線運動過程，為使問題一目了然，得引入元功，利用積分導出變力作用下的動能定理.

當物體在變力F作用下，從a點沿曲線運動到b點，我們用va和vb分別表示起始速度，如圖2所示.物體在F的作用下發(fā)生一無限小的位移（其大小為dr），則元功為dA＝Fcosθdr.物體從a點沿曲線運動到b點的過程中，變力F做的功通過積分可以得

圖2

根據(jù)牛頓第二定律，進行微分處理，其中

經(jīng)過整理得變力作用下，物體沿曲線軌跡運動的動能定理，即

3 總結(jié)

在直線和曲線運動中，變力作用下，都可以利用動能定理進行處理問題.這是一個可用狀態(tài)量求解過程量的物理問題，使問題處理簡單化，具體復雜的過程不要考慮.當A＞0時，作用于物體上的合外力做正功，結(jié)果是使物體增加了動能；當A＜0時，作用于物體上的合外力作負功，結(jié)果是使物體減少了動能.

以上分析表明，動能定理適用于物體的任何運動過程，物體在外力的持續(xù)作用下，經(jīng)歷某一段路程，不管外力是不是變力，也不管物體運動狀態(tài)如何復雜，合外力對物體作的功總是取決于物體始末動能之差的負值.功可以被看作是物體在相互作用過程中交換的能量，能量也可被看作是物體在某一狀態(tài)下儲存起來的、潛在的功.

1 張振.在高中物理中應(yīng)用微積分的研究.物理教師，2010，31（9）：6～7

2 蔣軍，袁海泉.用微積分解答高中物理問題的價值.物理通報，2010（10）：30～32

3 普通高中課程標準實驗教科書.物理·必修2.濟南：山東科學技術(shù)出版社，2010.25～26

4 程守洙，江之永.普通物理學（上冊）.北京：高等教育出版社，2009.69～71