葉晶晶 李克平 金新民

1)(北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,北京 100044)

2)(北京交通大學(xué)軌道交通控制與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100044)

3)(北京交通大學(xué)城市軌道交通北京實(shí)驗(yàn)室,北京 100044)

1 引 言

城市軌道交通以運(yùn)量大,速度快,安全,準(zhǔn)點(diǎn)以及污染小等特點(diǎn),使其成為城市公共交通系統(tǒng)的重要組成部分,受到世界各國的高度重視和廣泛關(guān)注.發(fā)展軌道交通成為解決城市交通擁堵的主要途徑之一.列車的運(yùn)行在整個城市軌道交通系統(tǒng)控制中占據(jù)重要地位,優(yōu)化列車運(yùn)行不僅可以減少能耗,還能增加乘客的舒適性和確保列車運(yùn)行的準(zhǔn)時性等等.在過去的幾十年中,為完成這些優(yōu)化目標(biāo),大量的理論方法和技術(shù)策略被提出,例如,利用再生制動能量[1],使用直流電機(jī)[2]和使用優(yōu)化控制策略[3]等等.然而,隨著城市軌道交通的快速發(fā)展,列車運(yùn)行速度持續(xù)的提高,列車運(yùn)行控制系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜.這些因素的存在,給優(yōu)化列車運(yùn)行的控制帶來了很大的困難,這些問題一直沒有得到很好的解決.

實(shí)踐中,優(yōu)化列車運(yùn)行可以通過控制列車運(yùn)行的速度曲線來實(shí)現(xiàn),這是一種基本的方法.其中關(guān)鍵是如何優(yōu)化列車運(yùn)行速度,并且確保列車能按時刻表運(yùn)行.理論上,有兩種方法對這類型問題進(jìn)行求解:一種是數(shù)學(xué)建模方法;二是模擬仿真方法[4?10].由于列車運(yùn)行環(huán)境的復(fù)雜性,實(shí)踐中,更傾向于模擬仿真的分析方法.模擬仿真雖然不能求出精確的數(shù)值解,但它不存在計(jì)算問題.在計(jì)算機(jī)的幫助下,模擬仿真能夠解決許多實(shí)際問題,進(jìn)而受到越來越多的重視.

跟馳模型是一種重要的交通模擬模型,其特點(diǎn)是能夠考慮現(xiàn)實(shí)中司機(jī)的駕駛行為和車輛運(yùn)行的詳細(xì)特征.不論是早期的跟馳模型[11?13]還是后來改進(jìn)的跟馳模型[14?17],對于不同的復(fù)雜環(huán)境,跟馳模型能夠描述出車輛運(yùn)行的一些主要特征.在交通流理論中,跟馳模型受到越來越多的關(guān)注,被廣泛用來研究和討論在不同情況下交通流的演化[18,19].

至今為止,大多數(shù)跟馳模型的研究都集中在分析和討論道路交通問題上,很少用來研究軌道交通,實(shí)證研究更是少見.事實(shí)上,跟馳模型更適合于模擬軌道交通.因?yàn)?在城市軌道交通中,車輛間的作用是單向的,每個駕駛員僅對來自前方車輛的激勵作用做出反應(yīng),這些都符合跟馳模型的假設(shè)條件.因此,本文中,我們應(yīng)用跟馳模型研究列車運(yùn)行的優(yōu)化控制,并以此開展實(shí)證研究,其中如何優(yōu)化列車運(yùn)行速度是關(guān)鍵.

2 跟馳模型的基本原理

經(jīng)典的跟馳模型中,第n輛車的速度受到它前面的第n+1輛車的影響.當(dāng)前車速度發(fā)生改變,后車速度也將隨之改變,最終使得前后車的速度保持一致.相應(yīng)車輛的運(yùn)行動態(tài)方程可寫為

其中,vn(t)是第n輛車在t時刻的速度,而τ是描述司機(jī)的敏感系數(shù).

眾所周知,對于連續(xù)的兩輛車,后車的加減速是由它與前車之間的距離決定的,而為了避免碰撞,必須保持前后兩車之間的距離不小于一定的值.從方程(1)出發(fā),Pipes推導(dǎo)出一種新的方程[11]

其中,?xsafe是安全距離.根據(jù)方程(2),前車與后車之間的距離越大,后車的速度也越大.

考慮到更多的實(shí)際原因,Newell提出了一種改進(jìn)的優(yōu)化速度跟馳模型[13]

其中,Vopt是優(yōu)化速度函數(shù),Vopt=(?xn(t))=v0{1?exp[?(?xn??xsafe)/(v0TS)]},v0是期望的速度,TS是安全時間間隔的特征參數(shù),T是仿真時間步長.

1995年,Bando等提出了著名的優(yōu)化速度跟馳模型[14]

其中,Vopt是一個以距離?xn為自變量的函數(shù).通常情況下,當(dāng)?xn→ 0,Vopt(?xn(t))→ 0,而?xn→ ∞,Vopt(?xn(t))=vmax,vmax是列車運(yùn)行中的最大限制速度.方程(4)以第n輛車的位置作為輸入量,建立一個二階微分方程.根據(jù)方程(4)中的駕駛規(guī)則,第n輛車通過車間距的大小維持安全速度.

3 所提出的模型

城市軌道交通系統(tǒng)中,列車運(yùn)行通常分為三個階段:啟動,運(yùn)行和減速制動.列車運(yùn)行的優(yōu)化控制主要是通過控制列車運(yùn)行的速度曲線,在確保列車準(zhǔn)時到站的前提下,或是減少列車運(yùn)行時能量的消耗,或是提高列車運(yùn)行的穩(wěn)定性,或是兩者兼而有之,本文的研究以節(jié)約列車運(yùn)行的能量消耗為目標(biāo).

在不考慮坡道和彎道的情況下,列車運(yùn)行最理想的節(jié)能運(yùn)行方式是以合理的速度勻速運(yùn)行.這是因?yàn)楫?dāng)列車勻速運(yùn)行時需要克服的基本阻力最小.為了使勻速運(yùn)行的區(qū)間最長,列車在加速時使用最大加速度,縮短加速需要的距離,而在制動過程中,使用最大的減速度,縮短制動距離.圖1顯示了列車運(yùn)行優(yōu)化速度曲線的基本原理,也是本文研究的理論基礎(chǔ).

圖1 列車運(yùn)行的速度曲線

在經(jīng)典跟馳模型的基礎(chǔ)上,我們改進(jìn)了優(yōu)化速度的期望函數(shù),也就是方程(4)中Vopt的表達(dá)式.為了實(shí)現(xiàn)列車運(yùn)行節(jié)能的要求,根據(jù)圖1的基本原理,Vopt的表達(dá)式需要滿足兩個條件:1)在列車的加速和減速期間,以最大的加減速率完成加速和減速;2)當(dāng)列車加速達(dá)最大限制速度后以及在進(jìn)站開始減速前的區(qū)間列車均以勻速行駛.根據(jù)這兩個條件和速度限制,我們提出了一種新的優(yōu)化速度函數(shù)Vopt為

式中,xobj為第n輛列車前方的目標(biāo)位置,它可能是前方第n+1輛車的位置,也可能是本次列車前方的站點(diǎn)位置,或是前方限速區(qū)段分界點(diǎn)的位置.為此,需要對不同的運(yùn)行條件進(jìn)行分別處理:1)當(dāng)目標(biāo)位置為前車位置時,列車的優(yōu)化速度由(5)式給出.2)如果目標(biāo)位置是前方的站點(diǎn)時,優(yōu)化速度的公式則變形為下面的公式:

其中,abr是列車最大減速率.3)當(dāng)列車在兩個站點(diǎn)間運(yùn)行時,要受到區(qū)間最大速度的限制.列車所受到速度限制可能不止一個,在此情況下,列車運(yùn)行的速度限制是分區(qū)間設(shè)置的.假設(shè)兩個站點(diǎn)間有三個分區(qū)限速:1)在啟動區(qū)間,存在v1max的限制;2)在勻速運(yùn)行期間,存在v2max的限制;3)在制動區(qū)間,存在v3max的限制.其中v1max＜v2max,v3max＜v2max.當(dāng)列車作減速運(yùn)行時,從第i個限速區(qū)間到第j個限速區(qū)間(vjmax＜vimax),優(yōu)化速度函數(shù)則變?yōu)?/p>

本文中的模型是在開放邊界條件下建立的.對于長度為L的仿真系統(tǒng),邊界條件如下:假設(shè)列車的發(fā)車時間間隔為Tg,當(dāng)上一輛車離開起點(diǎn)站的時間間隔為Tg時,將有一輛車立刻從起點(diǎn)站出發(fā),新發(fā)車的列車立刻按照所提出的模型運(yùn)行.當(dāng)列車到達(dá)位置L時,列車僅僅只是簡單的駛出仿真系統(tǒng).為了比較仿真結(jié)果和實(shí)測結(jié)果,我們設(shè)置仿真的步長為1 m,跟馳模型迭代大約對應(yīng)1 s,這就是說,實(shí)際中的速度v=36 km/h對應(yīng)于仿真系統(tǒng)中v=10.

4 數(shù)值計(jì)算

以北京地鐵亦莊線為例,應(yīng)用本文提出的模型進(jìn)行模擬研究[20].模型中的一些參數(shù)設(shè)置如下:列車最大加速度abr=1.5 m/s2,最大減速度abr=1.0 m/s2,模擬時間總長為T=3600.發(fā)車時間間隔Tg=180.在所模擬的仿真系統(tǒng)中,采用移動閉塞信號控制系統(tǒng),后車與前車之間僅需要保持一定的安全距離.距離的保持通過控制后車的運(yùn)行速度來實(shí)現(xiàn).圖2顯示北京地鐵亦莊線的站點(diǎn)分布情況.

北京地鐵亦莊線全程總長為22772 m.宋家莊是起點(diǎn)站,列車停留30 s等待乘客上車,亦莊站為終點(diǎn)站,列車停留30 s等待全部乘客下車,而在其他站列車停留等待乘客上下車,停留時間分別顯示在表1中.列車在運(yùn)行過程中,各區(qū)段的速度限制如表2所示.

圖3顯示列車運(yùn)行過程中時空圖的變化(τ=10).圖中橫坐標(biāo)表示軌道的位置,縱坐標(biāo)則表示時間,黑點(diǎn)表示在不同時間各輛列車所處的位置.從圖中可以很清楚地看到列車運(yùn)行過程安全有序,列車間不僅能夠始終保持一定的安全距離,而且車流演化很好地保持一致.所有的列車從起點(diǎn)出發(fā),到達(dá)前方站點(diǎn)后,按規(guī)定的時間停留,直到離開所模擬的系統(tǒng).從圖3中可以看出,在整個運(yùn)行區(qū)間,車流隨時間演化較為平穩(wěn),列車運(yùn)行軌跡沒有顯著的振蕩.換句話說,列車的運(yùn)行過程不但能夠節(jié)能而且還增加了乘客的舒適性.由此說明所提出模型能夠合理地描述城市軌道交通系統(tǒng)中列車運(yùn)行的一些基本特征.

圖2 北京地鐵亦莊線站點(diǎn)分布

表1 亦莊線站點(diǎn)停留時間

表2 亦莊線區(qū)間最大限制速度

圖3 列車運(yùn)行時空圖

列車間保持精確的安全距離是列車運(yùn)行安全的一個最重要的特征,也是城市軌道交通安全運(yùn)行的根本保證.圖4顯示了t=400時最新從起點(diǎn)站出發(fā)的列車在整個運(yùn)行過程中與前車的距離變化(τ=8).圖中實(shí)線表示的是模擬中計(jì)算出的車間距,而虛線則表示列車在速度為20時需要維持的最小安全距離ssafe,ssafe=v2/2abr+sm,其中v=20,sm=10.從圖中可以看到,模擬的車間距遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于最小安全距離,證明所提出的模型是安全的,非常可靠.并在高峰期可以進(jìn)一步縮短發(fā)車時間間隔,以緩解交通壓力.

根據(jù)圖1中描述的列車節(jié)能運(yùn)行的基本原理,我們進(jìn)一步追蹤單個列車在運(yùn)行過程中位置和速度的變化.圖5中黑點(diǎn)表示測量得到的結(jié)果,其中水平的實(shí)線表示各區(qū)間的限速.圖中追蹤列車t=400最新從起點(diǎn)出發(fā)的列車.從圖5中可以清楚的看到,在每個區(qū)間,列車的運(yùn)行都經(jīng)過下列過程:出站加速,然后以最大速度勻速運(yùn)行,再減速,最后剎車直至進(jìn)站.由此說明,列車在運(yùn)行過程中,能夠很好地按照優(yōu)化的速度曲線運(yùn)行,出站以最大加速度加速,減速也是按最大減速度減速,使得列車在站點(diǎn)間以勻速方式運(yùn)行的距離最長,從而最大化地實(shí)現(xiàn)列車運(yùn)行過程中的能量節(jié)約.另一方面,列車在各區(qū)間能夠始終保持限速運(yùn)行,同時也證明了所提出模型的有效性和可靠性.

圖4 t=400出發(fā)的列車與前車之間的距離

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出模型的有效性,我們比較了模擬過程中列車各站之間的運(yùn)行時間和實(shí)際列車的運(yùn)行時間,圖6是比較的結(jié)果.在圖6中,實(shí)線表示模擬運(yùn)行時間,而虛線則是實(shí)際運(yùn)行時間.從圖6中可以得到這樣的結(jié)論:兩條曲線在形狀很相似,幅值上仿真數(shù)據(jù)比實(shí)際數(shù)據(jù)小,但相差不大.模擬系統(tǒng)中,列車在亦莊線上運(yùn)行的總的時間為1840 s,而實(shí)際上列車真正的運(yùn)行時間為2005 s.這表示模擬結(jié)果和實(shí)際運(yùn)行時間很接近.而存在的偏差的原因是,在我們的模擬系統(tǒng)中,設(shè)定列車一直在平直軌道上運(yùn)行,沒有考慮坡道和彎道等因素,而實(shí)際軌道線路并非如此,北京地鐵亦莊線許多區(qū)段存在一定彎道和坡道,而坡道和彎道的存在會使列車進(jìn)一步降低它的運(yùn)行速度,導(dǎo)致模擬運(yùn)行時間和實(shí)際運(yùn)行時間不一致.

圖5 列車運(yùn)行速度圖

圖6 模擬運(yùn)行時間與實(shí)際運(yùn)行時間比較

5 結(jié) 論

本文中,根據(jù)城市軌道交通中列車運(yùn)行的一些基本特性,我們提出了一種改進(jìn)的優(yōu)化速度跟馳模型,并且應(yīng)用所提出的模型模擬北京地鐵亦莊線列車運(yùn)行過程.通過數(shù)值模擬,分析和討論了列車運(yùn)行時空圖中列車流演化的特點(diǎn),更進(jìn)一步的分析了列車位置,速度和時間的關(guān)系.模擬結(jié)果說明了我們所提出的模型不僅能很好的描述列車運(yùn)行的主要特征,而且也能實(shí)現(xiàn)列車運(yùn)行的優(yōu)化控制.比較模擬測量得到的結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù),證明所提出模型是有效的,能合理地刻畫城市軌道交通列車運(yùn)行的特征.

我們認(rèn)為所提出的模型為獲得城市軌道交通系統(tǒng)列車運(yùn)行的優(yōu)化速度曲線提供了一個好的方法,也為研究城市軌道交通系統(tǒng)的其他問題給出了一種基本模型,例如,研究地鐵列車運(yùn)行過程中的再生制動.進(jìn)一步研究,可以面向復(fù)雜的交通環(huán)境開展探索,例如,考慮列車運(yùn)行過程中的彎道和坡道等,這也是我們的后續(xù)所要開展的研究工作.

[1]Adinol fiA,Lamedica R,Modesto C 1998 IEEE Transactions on Power Delivery 13 1536

[2]Kokotovic P,Singh G 1972 IEEE Transactions on Automatic Control 17 92

[3]Hwang H S 1998 IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics A:Systems and Humans 28 791

[4]Duarte M A,Sotomayor P X 1999 Optimal Control Applications and Methods 20 283

[5]Howlett P 1996 Automation 3 519

[6]Liu R Golovitcher I M 2003 Transportation Research Part A:Policy and Practice 37 917

[7]Howlett P G 2000 Annals of Operation Research 98 1257

[8]Li K P,Gao Z Y,Mao B H 2007 Chin.Phys.B 16 359

[9]Chang C S,Sim S S 1997 Proceedings-Electric Power Applications 144 65

[10]Cheng J X,Howlett P G 1993 IEEE Transactions Automatic Control 38 1730

[11]Pipes L A 1953 J.Appl.Phys 24 274

[12]Chandler R E,Herman R,Montroll E W 1958 Operational Research 6 165

[13]Newell G F in 1961 Operational Research 9 209

[14]Bando M,Hasebe K,Nakayama A 1995 Phys.Rev.E 51 1035

[15]Helbing D,Tilch B 1998 Phys.Rev.E 58 133

[16]Treiber M,Hennecke A,Helbing D 2000 Phys.Rev.E 62 1805

[17]Tomer E,Safonov L,Havlin S 2000 Phys.Rev.Lett.84 382

[18]Tang T Q,Huang H J,Shang H Y 2010 Acta Phys.Sin.59 6003(in Chinese)[唐鐵橋,黃海軍,尚華艷 2010物理學(xué)報59 6003]

[19]Yuan N,Hua C C 2012 Acta Phys.Sin.61 160509(in Chinese)[袁娜,化存才 2012物理學(xué)報 61 160509]

[20]Su S,Li X,Tang T,Gao Z Y 2013 IEEE transaction on intelligent transportation system 14 883