田紅亮， 劉芙蓉， 趙春華， 方子帆， 朱大林， 陳保家， 秦紅玲， 張發(fā)軍

(1. 三峽大學(xué) 機(jī)械與材料學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2. 三峽大學(xué) 水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 宜昌 443002)

一個(gè)零件各處的截面特性(包括截面形狀、大小及材質(zhì))可以是相同的，如等截面軸；各部分截面的特性也可能不同，如臺(tái)階軸。等截面軸的零件由一個(gè)元件組成。臺(tái)階軸零件由多個(gè)元件組成，各個(gè)元件的連接部位稱為剛性結(jié)合面，兩相鄰元件在剛性結(jié)合面無相對(duì)位移。一臺(tái)機(jī)器由眾多零件組成，零件與零件之間的連接部位稱為柔性結(jié)合面。

摩擦學(xué)的研究對(duì)于國民經(jīng)濟(jì)具有重要意義，摩擦導(dǎo)致的磨損是機(jī)械設(shè)備失效的主要原因，大約有80%的損壞零件是由于各種形式的磨損引起的。所以在機(jī)械結(jié)構(gòu)中，研究和預(yù)測柔性結(jié)合面靜摩擦學(xué)特性是非常重要的。傳統(tǒng)的Coulomb摩擦第一定律[1-3]認(rèn)為，摩擦力和法向載荷成正比，靜摩擦系數(shù)和所施加的法向載荷無關(guān)，亦不依賴于切向載荷，只隨接觸材料的不同而變化。但是隨著現(xiàn)代摩擦學(xué)的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)Coulomb摩擦第一定律中摩擦力和法向載荷不成正比；靜摩擦系數(shù)對(duì)于同種材料不變的結(jié)論不適合實(shí)際工程；靜摩擦系數(shù)隨著接觸正壓力的增大而增大等。

文獻(xiàn)[1]改進(jìn)分形幾何理論，探究金屬材料表面最大靜摩擦力的來源機(jī)理，建立法向總載荷、最大靜摩擦力、靜摩擦系數(shù)的改進(jìn)分形模型，經(jīng)過數(shù)值模擬，預(yù)測靜摩擦學(xué)特性，其結(jié)論和一些傳統(tǒng)摩擦學(xué)觀點(diǎn)迥然不同，分析產(chǎn)生不同的原因。但文獻(xiàn)[1]給出的接觸面積分別與分形維數(shù)及載荷的關(guān)系等，都還缺少足夠的實(shí)驗(yàn)佐證。本文根據(jù)整個(gè)柔性結(jié)合面的結(jié)構(gòu)函數(shù)，給出識(shí)別柔性結(jié)合面分形維數(shù)、分形粗糙度的理論及實(shí)驗(yàn)方法，對(duì)文獻(xiàn)[1]靜摩擦系數(shù)的理論解進(jìn)行定量實(shí)驗(yàn)佐證。

1 采用修正分形理論的金屬表面靜摩擦模型

1.1 分形幾何理論的修正

處處連續(xù)、統(tǒng)計(jì)學(xué)自仿射特性、點(diǎn)點(diǎn)不可微的Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)為：

(1)

式中：G為分形粗糙度；D為分形維數(shù)；n1為最低頻率的初始項(xiàng)，且γn1=1/L不同于文獻(xiàn)[15]的γn1=11L(L為取樣長度)；γ為譜密度的尺度參數(shù)；x為表面的取樣長度坐標(biāo)。

應(yīng)當(dāng)指出式(1)截然不同于文獻(xiàn)[15]的式(5)。

自然海岸線的特點(diǎn)是將小尺度下的粗糙度在所有方向上放大相同倍數(shù)后，其概率分布與大尺度下的一致，這種曲線具有統(tǒng)計(jì)自相似特性。但是，絕大多數(shù)實(shí)際曲線并不具有統(tǒng)計(jì)自相似特性，而是具有統(tǒng)計(jì)自仿射特性，即要使較小尺度下的概率分布與較大尺度下的一致，就必須在不同方向上放大不同的倍數(shù)，典型的例子是分子的布朗運(yùn)動(dòng)曲線。因此，要方便地計(jì)算統(tǒng)計(jì)自仿射曲線的分形維數(shù)D、分形粗糙度G，就必須采用特殊方法。

Mandelbrot發(fā)現(xiàn)海洋面島嶼的面積分布有冪函數(shù)規(guī)律：

(2)

式中：Nr為面積A大于面積a的島嶼之總數(shù)；F′為待定未知數(shù)；a為一個(gè)島嶼的面積。

應(yīng)當(dāng)指出式(2)不同于文獻(xiàn)[15]的式(19)。

許多工程表面形貌的輪廓線都具有統(tǒng)計(jì)自仿射分形特性。若將粗糙表面(如金屬加工表面)放大到適當(dāng)尺寸，就會(huì)發(fā)現(xiàn)類似于地球表面的高山峽谷，用一理想平面水平切取該表面形成的接觸點(diǎn)，也類似于海岸面的島嶼。因此，假設(shè)平面與粗糙表面接觸時(shí)接觸點(diǎn)面積的分布規(guī)律與海洋面島嶼面積的分布規(guī)律相同，即接觸點(diǎn)的數(shù)目見式(2)。但工程表面形貌的輪廓線與島嶼的海洋線不同的是，前者接觸點(diǎn)的輪廓曲線不是統(tǒng)計(jì)自相似曲線，而是統(tǒng)計(jì)自仿射曲線。

假設(shè)最大的微凸體接觸點(diǎn)面積為aL，數(shù)量為1個(gè)，將此假設(shè)條件代入式(2)得：

(3)

(4)

將式(4)代入式(2)可得連續(xù)隨機(jī)變量a的概率分布函數(shù)為：

(5)

連續(xù)隨機(jī)變量a的概率分布密度為：

(6)

按照核心關(guān)系式(6)可得柔性結(jié)合面無量綱法向總載荷[1]為：

1.2 金屬表面的靜摩擦系數(shù)

在兩接觸體中存在組合法向和切向力，無文獻(xiàn)記載應(yīng)力場與實(shí)際接觸面積的完全解。1983年Hamilton設(shè)想：兩接觸體承擔(dān)法向彈性載荷Pe，由赫茲解得到的接觸區(qū)域形狀不受追加實(shí)用切向力Q的影響；假如比值Q/Pe<0.3，于是失效將首先發(fā)生在表面下，稍許遠(yuǎn)離當(dāng)Q=0時(shí)赫茲解對(duì)應(yīng)的失效點(diǎn)；一經(jīng)當(dāng)比值Q/Pe>0.3以后，失效點(diǎn)躍遷到表面，失效發(fā)生在接觸邊界的邊遠(yuǎn)邊緣上[4]。

現(xiàn)假如Q/Pe>0.3，接觸邊界邊遠(yuǎn)邊緣的表面應(yīng)力場分別為：

(8)

σ2=0

(9)

(10)

式中：ν為較軟材料的泊松比。

需要一提的是式(8)不同于文獻(xiàn)[7]的式(2)，式(10)不同于文獻(xiàn)[11]的式(1)。

按照式(8)、(10)可得柔性結(jié)合面無量綱最大靜摩擦力[1]為：

(11)

需要一提的是式(11)不同于文獻(xiàn)[11]的式(22)、(23)。

根據(jù)式(7)暨式(11)可得柔性結(jié)合面的靜摩擦系數(shù)為：

(12)

2 辨識(shí)兩個(gè)分形參數(shù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)方法

功率信號(hào)式(1)的自相關(guān)函數(shù)[20]為：

(13)

將式(1)代入式(13)得：

(14)

需要指出的是，從式(14)的倒數(shù)第二式可知：若m≠n時(shí)，各項(xiàng)都是零，則只剩下m=n時(shí)的一項(xiàng)。

象函數(shù)2πδ(ω-ω0)的傅里葉逆變換[20]為：

(15)

式中：ω為無阻尼自然角頻率。

則象原函數(shù)eiω0t的傅里葉變換為：

(16)

式中：δ(ω)為Dirac delta脈沖偶函數(shù)，單位是ω的倒數(shù)，且：

(17)

式中：c為非零實(shí)常數(shù)；y=|c|x為積分新變量。

因而有：

(18)

利用Euler公式，式(14)中通項(xiàng)象原函數(shù)cos2πγnτ的傅里葉變換[20]為：

(19)

式中：f為無阻尼自然頻率，不同于無阻尼自然角頻率ω，ω=2πf。

將式(16)代入式(19)得：

(20)

將式(18)代入式(20)得：

(21)

振幅頻譜式(21)的圖形見圖1?？紤]粗糙表面微觀幾何形貌的隨機(jī)分布特點(diǎn)，如僅計(jì)及無阻尼自然頻率f>0單邊振幅頻譜，將-γn相應(yīng)的振幅0.5疊加在γn相應(yīng)的振幅0.5上，合成可得總振幅為1。故可將式(21)近似改寫成實(shí)際粗糙表面形貌的振幅頻譜：

(22)

圖1 式(14)中通項(xiàng)的振幅頻譜

根據(jù)維納-辛欽關(guān)系式[20]可得離散自相關(guān)函數(shù)式(14)的離散功率譜密度函數(shù)為：

(23)

將式(22)代入式(23)得：

(24)

將離散功率譜密度函數(shù)式(24)轉(zhuǎn)化為連續(xù)功率譜密度函數(shù)[21]：

(25)

式中：Δf為無阻尼自然頻率的增量；Δn為無阻尼自然頻率指數(shù)的增量；n(f)為無阻尼自然頻率零點(diǎn)指數(shù)，且：

n(f)=logγf

(26)

將式(26)代入式(25)得：

(27)

需要注意，式(27)和文獻(xiàn)[15]的式(6)、文獻(xiàn)[22]的式(2)、文獻(xiàn)[23]的式(2a)、文獻(xiàn)[24]的式(10)均相異。

按照定積分的換元法得：

(28)

式中：x>0；β>0；z=xt為定積分新變量；Γ(β)為gamma函數(shù)。

由式(28)得：

(29)

隨便查高等數(shù)學(xué)不定積分表得：

(30)

利用變量代換，下述定積分為：

(31)

令d=e=i=1，h=2，由式(31)得：

(32)

用β-2代換式(32)中的g且使用余元公式得：

(33)

使用式(29)可將下列單重定積分化為二重定積分：

(34)

式中：β=5-2D∈(1,3)。

由式(28)可得t>0，將式(30)代入式(34)得：

(35)

將式(33)代入式(35)得：

(36)

將式(34)中的注釋?duì)?5-2D代入式(36)得：

(37)

重點(diǎn)說明，式(37)亦皆相異于文獻(xiàn)[23]的式(14)、文獻(xiàn)[26]第215頁的式(2)。

由Γ函數(shù)的遞推公式及余元公式，式(37)可變形為：

(38)

式(1)派生出函數(shù)z(x1)及z(x2)之間的結(jié)構(gòu)函數(shù)為：

(39)

式中：〈 〉為無阻尼自然頻率平均符號(hào)。

特別強(qiáng)調(diào)的是，式(39)亦全不同于文獻(xiàn)[15]的式(8)、文獻(xiàn)[27]的式(11)、文獻(xiàn)[28]的式(2.3)。

根據(jù)式(27)可得雙邊連續(xù)功率譜密度函數(shù)為：

(40)

奇函數(shù)sin(x1-x2)f在對(duì)稱區(qū)間(-∞,+∞)上對(duì)f的定積分是零，根據(jù)Euler公式，將式(40)代入式(39)得：

(41)

式中：x=|x1-x2|f為定積分新變量。

將式(38)代入式(41)得：

〈[z(x1)-z(x2)]2〉=

(42)

令x1=x，x2=x-τ(τ為尺度滯后)，可得整體柔性結(jié)合面的結(jié)構(gòu)函數(shù)為：

(43)

當(dāng)量表面高度式(1)和兩個(gè)粗糙表面1、2高度之間的關(guān)系為：

z(x)=z1(x)-z2(x)

(44)

式中：zj(x)為粗糙表面j的高度，j=1,2。

參考式(39)中“〈 〉”符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則，將式(44)代入式(43)得：

S(τ)=〈[z1(x)-z2(x)-z1(x-τ)+z2(x-τ)]2〉=〈[z1(x)-z1(x-τ)]2〉-2〈[z1(x)-z1(x-τ)][z2(x)-z2(x-τ)]〉+〈[z2(x)-z2(x-τ)]2〉

(45)

由于兩粗糙表面在傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)上互不相關(guān)，則下列交叉乘積項(xiàng)為零：

〈[z1(x)-z1(x-τ)]×[z2(x)-z2(x-τ)]〉=0

(46)

仿照式(43)，因此式(45)可變形為：

S(τ)=S1(τ)+S2(τ)

(47)

式中：Sj(τ)為粗糙表面j的結(jié)構(gòu)函數(shù)，j=1,2。

令γ=γ1=γ2，不失去普遍性，將式(47)展開得：

(48)

式中：γ為整體柔性結(jié)合面非整數(shù)相位隨機(jī)參數(shù)；γj為表面j的相位隨機(jī)參數(shù)，j=1,2；D為整體柔性結(jié)合面的分形維數(shù)；Dj為表面j的分形維數(shù)，j=1,2；G為整體柔性結(jié)合面的分形粗糙度；Gj為表面j的分形粗糙度，j=1,2。

文中大量涉及gamma函數(shù)，文獻(xiàn)[29]僅提供gamma函數(shù)在閉區(qū)間1≤x≤2的以下近似解：

Γ(x)≈1-0.574 864 6(x-1)+0.951 236 3(x-1)2-0.699 858 8(x-1)3+0.424 554 9(x-1)4-0.101 067 8(x-1)5,1≤x≤2

(49)

但式(49)不能解決02更廣大開區(qū)間對(duì)應(yīng)的gamma函數(shù)Γ(x)具體值。為徹底得到gamma函數(shù)在0

x=0.01：0.1：2 004；% 2 004可取適當(dāng)較大值

plot(x，gamma(x))

文獻(xiàn)[29]近似解與文中解的比較見圖2，可見采用文中解可獲取gamma函數(shù)。

圖2 文獻(xiàn)[29]解和文中解的比較

若G1=3.6×10-10m、G2=2.4×10-10m、γ=γ1=γ2=1.5時(shí)，粗糙表面1、2與整體柔性結(jié)合面的結(jié)構(gòu)函數(shù)見圖3。

圖3 三種結(jié)構(gòu)函數(shù)

2.1 兩粗糙表面分形維數(shù)相等

此刻式(48)可簡化為：

(50)

為使關(guān)于自變量尺度滯后τ的恒等式(50)成立，可得要辨識(shí)整體柔性結(jié)合面的分形維數(shù)、分形粗糙度為：

D=D1=D2

(51)

(52)

圖3(a)結(jié)果說明，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，整體柔性結(jié)合面的結(jié)構(gòu)函數(shù)S(τ)和τ是線性關(guān)系，且和S1(τ)、S2(τ)均平行，整體柔性結(jié)合面在S(τ)軸上的縱截距都分別大于粗糙表面1在S1(τ)軸上的縱截距、粗糙表面2在S2(τ)軸上的縱截距，整體柔性結(jié)合面具有單重分形特性，整體柔性結(jié)合面的分形維數(shù)D和兩粗糙表面的分形維數(shù)D1、D2相等(式(51))，整體柔性結(jié)合面的分形粗糙度G更大，即整體柔性結(jié)合面比互相接觸兩個(gè)粗糙表面更粗糙(式(52))。

2.2 兩粗糙表面分形維數(shù)不相等

圖3(b)顯示，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，整體柔性結(jié)合面的結(jié)構(gòu)函數(shù)S(τ)和τ不再為線性關(guān)系，而表現(xiàn)為1條向上凹的曲線弧，且兩粗糙表面的分形維數(shù)D1與D2偏離越懸殊，此曲線弧的彎曲程度越明顯，曲線弧的第一段主要表示粗糙表面2的S2(τ)的分形性質(zhì)，第二段主要表示粗糙表面1的S1(τ)的分形性質(zhì)，說明整體柔性結(jié)合面具有雙重分形性質(zhì)，繼而增加了求解非線性方程式(48)的難度。

嚴(yán)格站在高等數(shù)學(xué)的立場上，無條件能使關(guān)于自變量τ的方程式(48)恒成立。為求解此方程，首先按照兩粗糙表面1、2的結(jié)構(gòu)函數(shù)與式(47)，得到整體柔性結(jié)合面的結(jié)構(gòu)函數(shù)，該結(jié)構(gòu)函數(shù)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下雖不是1條直線，但利用最小二乘法可近似回歸其為1條直線，然后可辯識(shí)整體柔性結(jié)合面的分形維數(shù)D、分形粗糙度G。

不失去普適性，根據(jù)式(43)可得一條直線方程：

(53)

假定：

k=2(2-D)

(54)

g=-lgG

(55)

將式(54)、(55)代入式(53)得：

(56)

再假定：

(57)

將式(57)代入式(56)得：

lgS(τ)=klgτ+b

(58)

直線方程式(58)見圖4。

圖4 整體柔性結(jié)合面的常用對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)函數(shù)

由式(54)，D=2-0.5k依賴k。由式(57)，g依賴b、D，因D依賴k，故g依賴b、k。由式(55)，G=10-g依賴g，故G依賴b、k。

3 靜摩擦系數(shù)理論解的實(shí)驗(yàn)佐證

3.1 實(shí)驗(yàn)方案

電動(dòng)機(jī)在時(shí)間t秒鐘內(nèi)提供的額定功為：

(59)

式中：TN為電動(dòng)機(jī)額定轉(zhuǎn)矩，N·m；n1為電動(dòng)機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速，r/min。

電動(dòng)機(jī)在時(shí)間t秒鐘內(nèi)提供的平均額定功率為：

(60)

執(zhí)行裝置旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)消耗的功率為：

(61)

式中：T2為旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)轉(zhuǎn)矩，N·m；n2為旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)轉(zhuǎn)速，r/min；F為兩靜壓導(dǎo)軌表面間最大靜摩擦力[1]，N；r為最大靜摩擦力作用的當(dāng)量半徑，mm；f為兩靜壓導(dǎo)軌表面間的靜摩擦系數(shù)；P為加載重物的重量，即法向總載荷[1]，N。

電動(dòng)機(jī)的額定功率是相應(yīng)于額定環(huán)境溫度40 ℃時(shí)的允許輸出功率，故當(dāng)環(huán)境溫度高于或低于40 ℃時(shí)，電動(dòng)機(jī)允許輸出的功率可適當(dāng)減小或增加。根據(jù)式(60)，增減后的允許輸出功率為：

(62)

式中：α為滿載時(shí)的不變損耗(包括鐵損耗、機(jī)械損耗與附加損耗)和可變損耗(銅損耗)的比值；θ為實(shí)際環(huán)境溫度；θN為額定溫升；ξ為電動(dòng)機(jī)負(fù)載率。

在電動(dòng)機(jī)低轉(zhuǎn)速情況下，使旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)剛剛開始運(yùn)動(dòng)，得到靜摩擦系數(shù)。工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)消耗的功率等于驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出功率，根據(jù)傳遞過程中的機(jī)械損失，可以得到功率平衡關(guān)系：

P2=ηP1

(63)

將式(61)、(62)代入式(63)得：

(64)

式中：η為普通圓柱蝸桿傳動(dòng)的總效率，且：

η=η1η2η3

(65)

式中：η1為嚙合摩擦損耗效率；η2為軸承摩擦損耗效率；η3為濺油損耗效率，且：

(66)

式中：γ為普通圓柱蝸桿分度圓柱上的導(dǎo)程角；φv為當(dāng)量摩擦角。

按照式(64)，如果獲得電動(dòng)機(jī)在線運(yùn)行時(shí)的n1、ξ，則能得到不同法向總載荷P時(shí)的靜摩擦系數(shù)。結(jié)合面接觸模型是描述兩粗糙表面相接觸表面微凸體的接觸特性，本文的理論部分[1]并沒有分析液體與粗糙表面接觸的接觸特性。實(shí)驗(yàn)是液體靜壓導(dǎo)軌接觸表面，兩靜壓導(dǎo)軌通過油膜(通常油膜厚度為5、7、9、14 μm等)而相互分開，靜壓導(dǎo)軌的兩金屬表面在微觀狀態(tài)下是不直接接觸的，是液體與金屬粗糙表面接觸(否則就不是靜壓導(dǎo)軌)，若考慮液體、油膜等非直接接觸特性而求解的摩擦系數(shù)是微觀摩擦系數(shù)。為使實(shí)驗(yàn)與兩金屬粗糙表面相接觸的理論較好地吻合，獲得能應(yīng)用于實(shí)際工程的整個(gè)結(jié)合面的宏觀摩擦系數(shù)，一方面，在實(shí)驗(yàn)前，先將兩個(gè)靜壓導(dǎo)軌1、靜壓導(dǎo)軌2從機(jī)床部件中相互分離，然后將兩個(gè)靜壓導(dǎo)軌1、靜壓導(dǎo)軌2的結(jié)合表面在丙酮中通過超聲波清洗50 min，最后在去離子水中沖洗后，用流動(dòng)的氮?dú)獯蹈?，即讓兩個(gè)靜壓導(dǎo)軌成為兩干接觸表面，也即兩個(gè)靜壓導(dǎo)軌在短時(shí)間內(nèi)處于非正常工作狀態(tài)，使用環(huán)境愈加惡劣；另一方面，在實(shí)驗(yàn)的過程中在滿足工況的前提條件下，裝配兩個(gè)靜壓導(dǎo)軌1、靜壓導(dǎo)軌2時(shí)，盡可能使油膜厚度小，如取1 m，使靜壓導(dǎo)軌的兩金屬表面逼近接觸。如上所述，實(shí)驗(yàn)方案見圖5，h為公稱油膜厚度。

圖5 實(shí)驗(yàn)方案

3.2 實(shí)驗(yàn)過程

在武漢重型機(jī)床集團(tuán)有限公司YK31320型普通滾齒機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，見圖6。實(shí)驗(yàn)時(shí)的面板數(shù)據(jù)見圖7。

圖6 YK31320型普通滾齒機(jī)

3.3 分形參數(shù)實(shí)驗(yàn)辨識(shí)與靜摩擦系數(shù)的求解

研磨方式加工兩液體靜壓導(dǎo)軌接觸表面。采用英國Micro Materials Ltd制造的NanoTest?600型納米壓痕儀測定粗糙表面薄膜的硬度H，為了減少基體對(duì)薄膜硬度測量的影響，選擇壓入深度為100nm，每個(gè)樣品取5個(gè)點(diǎn)進(jìn)行測量，取平均值。液體靜壓導(dǎo)軌的參數(shù)見表1。

表1 兩液體靜壓導(dǎo)軌表面的參數(shù)

使用英國公司Charlotte Research Institute的Taylor-Hobson Form TalySurf 5-120型表面輪廓儀，放大倍率為×1 000，采樣長度為15 mm，采樣間距為1 m，采樣段數(shù)為5，最小二乘濾波，離散化采樣點(diǎn)數(shù)為15 000。測試環(huán)境溫度為23.5 ℃，空氣相對(duì)濕度為58%。

設(shè)采樣長度T=15 mm；無阻尼自然頻率間隔為Δf=1/T；采樣表面輪廓高度的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為l，取l=15 000；采樣間隔為Δx，取Δx=1 μm；空間采樣點(diǎn)數(shù)為Ns=T/Δx=15 000，將數(shù)據(jù)補(bǔ)齊為大于l且為2的整數(shù)冪次方的數(shù)，選擇Ns=214>l；采樣頻率為fs=1/Δx；最高頻率為fmax，取fmax=0.5fs；設(shè)定無阻尼自然頻率變化范圍為f=fmax(0∶0.5Ns-1)/Ns；對(duì)表面輪廓信號(hào)表達(dá)式(1)的z(x)進(jìn)行補(bǔ)零的Fourier變換，把z(x)的尾部補(bǔ)零使z(x)的長度達(dá)到Ns，可得補(bǔ)零的Fourier變換Y=fft(z,Ns)；按照Y獲得功率譜密度函數(shù)P(f)=|Y|2/Ns，根據(jù)式(39)得到柔性結(jié)合面的結(jié)構(gòu)函數(shù)S(τ)，然后使用最小二乘法的一次多項(xiàng)式擬合實(shí)測數(shù)據(jù)(lgτ,lgS(τ))，可獲取常用對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)函數(shù)(圖4)。

表2 整體柔性結(jié)合面研磨時(shí)的編程情況

圖7 實(shí)驗(yàn)面板數(shù)據(jù)

整體柔性結(jié)合面研磨時(shí)的情形見表2，不均勻刻度結(jié)構(gòu)函數(shù)方法應(yīng)用的是國際單位，使用的符號(hào)是斜率k1、縱截距b1、分形粗糙度的指數(shù)g1、分形維數(shù)D1、分形粗糙度G1，國外研究人員習(xí)慣使用；均勻刻度結(jié)構(gòu)函數(shù)方法以長度單位微米為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用的符號(hào)是斜率k2、縱截距b2、分形粗糙度的指數(shù)g2、分形維數(shù)D2、分形粗糙度G2，中國研究人員習(xí)慣使用。這二種方法辨識(shí)的五個(gè)參數(shù)分別為k1=0.993 4，b1=-8.165 2，D1=1.503 3，g1=8.697 5，G1=2.006 6×10-9m；k2=0.993 4，b2=-2.125 8，D2=1.503 3，g2=2.697 5，G2=2.006 6×10-9m。則整體柔性結(jié)合面的兩個(gè)重要表征參數(shù)為D=1.503 3，G=2.006 6×10-9m。

將辨識(shí)的整體柔性結(jié)合面參數(shù)D、G代入式(1)，可得二維表面輪廓高度的仿真線，二維表面輪廓高度的實(shí)測線、仿真線見圖8(a)。二維表面輪廓高度的模擬函數(shù)式(1)可由下面三維表面輪廓高度的Ausloos-Berman函數(shù)簡化而得：

(67)

式中：x,y為粗糙表面輪廓的位移坐標(biāo)；L為取樣長度；M為曲面褶皺的重疊數(shù)；γ為大于1的常數(shù)，通常取γ=1.5；n為無阻尼自然頻率序數(shù)；nmax為最高頻率序數(shù)，nmax=int[ln(L/Ls)/lnγ]，Ls為截止長度，通常近似為材料的原子間距離；φm,n為隨機(jī)相位，取值范圍為[0,2π]。

將辨識(shí)的整體柔性結(jié)合面參數(shù)D、G代入式(67)，可得三維表面輪廓高度的仿真線，三維表面輪廓高度的實(shí)測線見圖8(b)、仿真線見圖8(c)、兩者之間的相對(duì)誤差見圖8(d)。根據(jù)圖8(d)，仿真線和實(shí)測線之間的相對(duì)誤差較小，說明辨識(shí)的整體柔性結(jié)合面參數(shù)實(shí)用有效。

圖8 表面輪廓高度的實(shí)測線和仿真線的比較

圖9 理論靜摩擦系數(shù)和實(shí)驗(yàn)的比較

例如在加載重物的重量P=100 kN時(shí)，將表1中的數(shù)據(jù)與D=1.503 3，G=2.006 6×10-9m代入式(12)、(64)，分別可得整體柔性結(jié)合面的理論靜摩擦系數(shù)為f=0.480 51，實(shí)驗(yàn)靜摩擦系數(shù)為f=0.466 93。

3.4 理論靜摩擦系數(shù)和實(shí)驗(yàn)的誤差

在加載不同質(zhì)量的重物情況下，理論靜摩擦系數(shù)和實(shí)驗(yàn)的比較見圖9。觀察圖9(a)，在狹窄的小載荷0～1.6 kN范圍內(nèi)，即電動(dòng)機(jī)在低轉(zhuǎn)速工況下，實(shí)驗(yàn)靜摩擦系數(shù)隨法向總載荷的增大而變小(由于使旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)開始旋轉(zhuǎn)，施加在旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)上的切向總載荷愈來愈大)，且實(shí)驗(yàn)靜摩擦系數(shù)會(huì)呈現(xiàn)忽高忽低的突變波動(dòng)情況(由于電動(dòng)機(jī)的低轉(zhuǎn)速迫使機(jī)床靜壓導(dǎo)軌的動(dòng)態(tài)性能處于不穩(wěn)定的爬行，強(qiáng)烈影響靜壓導(dǎo)軌的表面粗糙度，引起摩擦副的劇烈磨損)；在寬廣的中等載荷1.6～100 kN范圍內(nèi)，即電動(dòng)機(jī)在近似穩(wěn)定中等轉(zhuǎn)速工況下，實(shí)驗(yàn)靜摩擦系數(shù)隨法向總載荷的增大而增大，且理論靜摩擦系數(shù)比實(shí)驗(yàn)大(由于實(shí)際兩靜壓導(dǎo)軌表面之間存在最小公稱油膜厚度的流體膜，常使一個(gè)靜壓導(dǎo)軌處于似浮非浮狀態(tài))。根據(jù)圖9(b)，理論靜摩擦系數(shù)和實(shí)驗(yàn)的絕對(duì)誤差在-0.033 02～0.019 26之間。根據(jù)圖9(c)，理論靜摩擦系數(shù)和實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差在-8.323%～5.512%之間。值得提醒：由于實(shí)際靜摩擦系數(shù)的變化范圍狹窄，所以給出絕對(duì)誤差比提供相對(duì)誤差更有說服力。

4 結(jié) 論

(1)給出關(guān)于粗糙表面微凸體接觸點(diǎn)面積a的概率分布密度n(a)的推導(dǎo)過程。該概率分布密度適用于機(jī)械加工粗糙表面，不管磨削、銑削、車削表面都滿足此概率分布密度的關(guān)系式。

(2)給出計(jì)算整體柔性結(jié)合面兩個(gè)分形參數(shù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)方法。該結(jié)構(gòu)函數(shù)方法可以從測量的實(shí)際數(shù)據(jù)入手，能求解特定整體柔性結(jié)合面分形維數(shù)、分形粗糙度的具體數(shù)字。本文嚴(yán)格區(qū)分無阻尼自然頻率f和無阻尼自然角頻率ω，ω=2πf，本文求解的是以f為自變量的功率譜密度函數(shù)和結(jié)構(gòu)函數(shù)。文獻(xiàn)[30]將f和ω都當(dāng)作ω，不合理。對(duì)于以ω為自變量的功率譜密度函數(shù)和結(jié)構(gòu)函數(shù)的修正計(jì)算是后續(xù)重點(diǎn)研究的內(nèi)容。

(3)對(duì)文獻(xiàn)[1]的理論計(jì)算和分析進(jìn)行實(shí)驗(yàn)佐證。在一定加載重物的范圍內(nèi)，理論靜摩擦系數(shù)和實(shí)驗(yàn)的絕對(duì)誤差在-0.033 02～0.019 26之間，理論靜摩擦系數(shù)和實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差在-8.323%～5.512%之間。

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