周鐵明， 陳恩偉， 陸益民， 劉正士, 陳無畏

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009)

磁流變阻尼器(Magnetorheological Damper, MRD)以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，阻尼力連續(xù)可調(diào)，響應(yīng)快，出力大，可靠性高且能耗低等優(yōu)良性能，成為新一代高效的半主動(dòng)控制的實(shí)現(xiàn)載體，廣泛應(yīng)用車輛(含汽車、高速列車)、衛(wèi)星隔振平臺(tái)、大型斜拉橋等的半主動(dòng)振動(dòng)控制[1-4]。為了設(shè)計(jì)控制策略和評(píng)價(jià)MRD在振動(dòng)控制中應(yīng)用的可行性，需要建立MRD的力學(xué)模型。由于MRD存在著一種特殊的力學(xué)性能-滯回特性，使其力學(xué)模型十分復(fù)雜，給建立精確的阻尼力模型和參數(shù)識(shí)別帶來困難。

應(yīng)用流變學(xué)理論分析流變后的MRD的力學(xué)特性非常復(fù)雜和困難，因此，通常采用MRD力學(xué)性能試驗(yàn)的結(jié)果來建立其數(shù)學(xué)模型?；诖帕髯円呵昂颓蠖际撬苄郧仪暗淖枘徇h(yuǎn)大于屈服后的阻尼的假設(shè)，Stanway[5]提出了非線性雙粘性模型。該模型可較好地?cái)M合阻尼力-位移滯回特性和阻尼器在每個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的能量耗散情況，但不能精確地?cái)M合屈服前的阻尼力-速度滯回特性。Li等[6]對(duì)非線性雙粘性模型進(jìn)行拓展，提出了非線性滯回雙粘性模型。該模型可以更好地模擬屈服前的阻尼器滯回特性，但不能擬合試驗(yàn)中MRD在低速時(shí)的回復(fù)力衰減現(xiàn)象。Spencer等[7-8]提出了Bouc-Wen模型，該模型數(shù)字上易于處理，能較好地反映阻尼器在低速時(shí)的滯回情況，但模型復(fù)雜，參數(shù)較多，不易辨識(shí)。Choi等[9]用多項(xiàng)式擬合阻尼力-速度曲線，令阻尼力為以活塞速度為自變量的一元高次多項(xiàng)式，強(qiáng)行使多項(xiàng)式系數(shù)與激勵(lì)電流為線性關(guān)系。

本文在MRD力學(xué)性能試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出改進(jìn)的多項(xiàng)式模型-分段3次多項(xiàng)式模型。該模型將阻尼力-速度曲線分為正加速度曲線(右支)和負(fù)加速度曲線(左支)，采用文獻(xiàn)[6]的分段方法將每支曲線分成3段，每段曲線用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，且每個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)與激勵(lì)電流不再為線性關(guān)系。

1 磁流變阻尼器的力學(xué)性能試驗(yàn)

圖1 磁流變阻尼器力學(xué)性能試驗(yàn)曲線

2 磁流變阻尼器建模

選擇激勵(lì)幅值為15 mm，頻率為1 Hz，控制電流強(qiáng)度為0 A、0.5 A、1 A、1.5 A、2 A、2.5 A和3 A工況下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用基函數(shù)為多項(xiàng)式的最小二乘法進(jìn)行MRD的動(dòng)力學(xué)模型建立及參數(shù)識(shí)別研究。

2.1 多項(xiàng)式模型

文獻(xiàn)[9]認(rèn)為6次或更高次多項(xiàng)式就可以完全反映阻尼力-速度曲線的滯回特性，但彼此區(qū)別不大。在實(shí)際應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，6次多項(xiàng)式和9次多項(xiàng)式的擬合精度差別較大，9次多項(xiàng)式的擬合精度比6次高；但9仍沒達(dá)到精度要求。雖然多項(xiàng)式的階數(shù)越高，擬合效果越好，但這也將使得需要辨識(shí)的參數(shù)變得更多。經(jīng)過測(cè)試，12次的擬合效果很好，已經(jīng)滿足精度要求。12次多項(xiàng)式模型的計(jì)算公式為：

(1)

ai=bi+ciIi=0,1,…,12

(2)

激勵(lì)幅值15 mm、激勵(lì)頻率1 Hz、控制電流1 A工況下9次，12次多項(xiàng)式擬合效果如圖2所示。

圖2 各階多項(xiàng)式擬合效果對(duì)比圖

雖然12次多項(xiàng)式在高速區(qū)的擬合效果與實(shí)測(cè)結(jié)果有些偏差，但誤差仍在可接受范圍之內(nèi)，因此采用12次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。用最小二乘法[11]可以很容易地辨識(shí)出各電流情況下的ai，如式(3)所示。

(3)

式中，ai為待辨識(shí)多項(xiàng)式系數(shù)；m為參與辨識(shí)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，m=12；vj為參與辨識(shí)的MRD活塞速度值；Fdj(vj)為參與辨識(shí)的實(shí)測(cè)阻尼力值，與vj一一對(duì)應(yīng)；Fd(vj)為vj對(duì)應(yīng)的12次多項(xiàng)式模型計(jì)算阻尼力值。

12次多項(xiàng)式強(qiáng)行使ai與電流I為線性關(guān)系，所以能夠用直線擬合法辨識(shí)出截距bi和斜率ci值。當(dāng)速度的絕對(duì)值較大時(shí)，多項(xiàng)式曲線的兩端出現(xiàn)了劇烈的振蕩，這就是龍格現(xiàn)象(Runge’s Phenomenon)，如圖3所示。造成這種現(xiàn)象的原因有:

(1) 速度絕對(duì)值較大處，采樣點(diǎn)較多，相鄰兩個(gè)采樣點(diǎn)之間，該多項(xiàng)式不一定能很好地逼近理想函數(shù)，產(chǎn)生很大的誤差。

(2) 高次多項(xiàng)式由于計(jì)算量大，舍入誤差的不斷積累，使得多項(xiàng)式兩端發(fā)散，造成擬合結(jié)果不合理。

(a) 15mm、1Hz、0A時(shí) (b) 15mm、1Hz、1A時(shí) (c) 15mm、1Hz、3A時(shí)

2.2 分段3次多項(xiàng)式模型

Runge現(xiàn)象的出現(xiàn)，證明了高次多項(xiàng)式擬合具有較大的風(fēng)險(xiǎn)，因此在使用多項(xiàng)式模型時(shí)應(yīng)盡量降低多項(xiàng)式的次數(shù)。為了解決Runge現(xiàn)象，可采用分段低次多項(xiàng)式對(duì)曲線進(jìn)行擬合。借鑒文獻(xiàn)[6]提出的非線性滯回雙粘性模型的分段思想，預(yù)先確定的4個(gè)屈服速度，將正、負(fù)加速度曲線各分成3段，以屈服前后的速度點(diǎn)作為分段點(diǎn)，對(duì)每段曲線用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，如式(4)所示。研究發(fā)現(xiàn)，雖然需要預(yù)先確定4個(gè)屈服速度，增加難度，但是計(jì)算所需多項(xiàng)式次數(shù)大大降低，能較好地克服了Runge現(xiàn)象：原來一整支曲線需用12次多項(xiàng)式擬合才能獲得不錯(cuò)的效果，現(xiàn)在每段曲線只需用3次多項(xiàng)式擬合即可，而且擬合精度也得到提高。擬合結(jié)果如圖4所示。

(4)

式中，ad1、ad2、ad3、au1、au2、au3為各分段多項(xiàng)式系數(shù)；

v1、v3為實(shí)際阻尼力-速度曲線減速時(shí)的屈服速度，為該分支曲線兩個(gè)轉(zhuǎn)折處的速度值；v2、v4為正加速時(shí)的屈服速度，也是該分支曲線兩個(gè)轉(zhuǎn)折處的速度值。v1、v2、v3、v4均是電流I的函數(shù)；

圖4 分段3次多項(xiàng)式模型擬合效果

對(duì)比圖2和圖4，分段3次多項(xiàng)式的擬合精度比12次多項(xiàng)式的擬合精度高。為防止分段3次多項(xiàng)式模型的進(jìn)一步復(fù)雜化，各分段多項(xiàng)式系數(shù)與電流之間用線性關(guān)系擬合，即a=b+cI。

分段多項(xiàng)式模型雖然提高了擬合精度并且能夠防止Runge現(xiàn)象出現(xiàn)，但也存在一個(gè)明顯的問題，即分段模型不是光滑連續(xù)，在每?jī)啥吻€的連接處可能出現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象。為了使連接處盡量光滑過渡，在對(duì)每個(gè)分段計(jì)算時(shí)，分別向前和向后多取0.1N(N為該段點(diǎn)數(shù))個(gè)采樣點(diǎn)，最后該段共有1.2N個(gè)采樣點(diǎn)參加計(jì)算。這樣可以避免各分段的連接處出現(xiàn)不連續(xù)[11]。

采用最小二乘法對(duì)分段3次多項(xiàng)式模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，結(jié)果如表1所示。

表中參數(shù)依據(jù)規(guī)則“下標(biāo)d表示右支曲線，u表示左支曲線；下標(biāo)中第1個(gè)數(shù)值1、2、3分別表示第1、2、3段曲線；下標(biāo)中第2個(gè)數(shù)值0、1、2、3分別表示多項(xiàng)式的

常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)、三次項(xiàng)系數(shù)的擬合值”類推。如“，bd10、cd10表示右支曲線第一段多項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)ad10的擬合參數(shù)值，即ad10=bd10+cd10I”。

屈服速度v1、v2、v3、v4與電流的關(guān)系如圖5所示。

圖5 屈服速度與電流I的關(guān)系

表1 分段3次多項(xiàng)式模型參數(shù)表

經(jīng)過多項(xiàng)式擬合，得到各屈服速度與電流的關(guān)系，如式(5)～式(8)所示。不同型號(hào)的磁流變阻尼器的結(jié)構(gòu)、尺寸以及內(nèi)部線圈的扎數(shù)不盡相同，所以4個(gè)屈服速度與電流的關(guān)系是針對(duì)一定型號(hào)磁流變阻尼器而確定的系數(shù)。磁流變阻尼器的型號(hào)改變，系數(shù)也會(huì)隨之改變。

v1=-0.007 248I3+0.141 633I2-0.136 455I+1.059 053

(5)

v2=0.057 119I4-0.410 437I3+1.030 562I2-1.044 846I+0.339 158

(6)

v3=0.043 268I3-0.153 423I2+0.053 011I-0.069 076

(7)

v4=-0.207 829I3+1.417 490I2-3.524 325I-0.888 611

(8)

3 模型驗(yàn)證及誤差分析

3.1 模型驗(yàn)證

利用參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，計(jì)算未參與模型辨識(shí)的3種工況下模型的預(yù)測(cè)阻尼力，并與實(shí)測(cè)阻尼力值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖6所示。

從圖中可看出，分段3次多項(xiàng)式模型的計(jì)算阻尼力和實(shí)測(cè)阻尼力值基本重合，Runge現(xiàn)象消失，說明該模型能夠較好地描述MRD的阻尼力-速度之間的非線性特性和滯回特性。

3.2 誤差分析

由于平均誤差是對(duì)每一段上不同點(diǎn)的平均，并不能反映每一點(diǎn)的情況，按照誤差分析常用的相對(duì)誤差分析方法，本小節(jié)通過分析在幅值為15 mm，頻率為1 Hz激勵(lì)下，各對(duì)應(yīng)速度下模型計(jì)算阻尼力值與實(shí)測(cè)阻尼力之間的相對(duì)誤差，進(jìn)一步評(píng)價(jià)分段3次多項(xiàng)式模型的有效性。

模型的相對(duì)誤差由式(9)表示：

(9)

式中，F(xiàn)d(vj)表示vj速度下分段3次多項(xiàng)式模型的計(jì)算阻尼力值；

Fdj(vj)表示vj速度下實(shí)測(cè)阻尼力值。

選取0.5 A、1.5 A、2.5 A電流下的數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析，分別代表小電流、中電流、大電流三種情況，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

(a) 15mm、1Hz、0.5A時(shí) (b) 15mm、1Hz、1.5A時(shí) (c) 15mm、1Hz、2A時(shí)

(a) 15mm、1Hz、0.5A時(shí) (b) 15mm、1Hz、1.5A時(shí) (c) 15mm、1Hz、2.5A時(shí)

eu1、eu2、eu3分別表示左支曲線第1段、第2段、第3段的模型計(jì)算阻尼力值與實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差。從圖7可看出，3種電流情況下，分段3次多項(xiàng)式模型均是第1段和第3段時(shí)誤差較小，第2段時(shí)誤差最大，也即模型在滯環(huán)速度區(qū)(低速區(qū))的誤差最大；即使同在第2段，左支曲線的誤差比右支曲線的誤差大得多。這是因?yàn)樵诘?段的采樣點(diǎn)數(shù)少于第1段和第3段，造成第2段多項(xiàng)式的擬合誤差大于第1段和第3段，經(jīng)過參數(shù)辨識(shí)，誤差積累放大，再利用模型計(jì)算阻尼力時(shí)，第2段的誤差自然比第1段和第3段大。由于模型計(jì)算出的穿越速度滯后于實(shí)際的穿越速度，導(dǎo)致在計(jì)算穿越速度與實(shí)際穿越速度之間，模型的計(jì)算阻尼力值與實(shí)測(cè)值符號(hào)相反，式(9)中的分子非但沒有減小，反而增大，變得比分母還大，最終的誤差計(jì)算值超過了100%，這就是第2段上支曲線的最大誤差分別為110.6%、369.1%、397.8%的原因。雖然誤差超過了100%，但在穿越速度附近，阻尼力的值比較小，這么大誤差產(chǎn)生的實(shí)際影響并不大。

隨著電流的增大，第1段和第3段及右支曲線第2段的誤差逐漸減小，驗(yàn)證了多項(xiàng)式系數(shù)對(duì)于電流影響的敏感性。從整體來看，分段3次多項(xiàng)式模型具有較高的精度，能夠較準(zhǔn)確地反映MRD的阻尼力-速度關(guān)系。

4 結(jié) 論

(1) 6次多項(xiàng)式或更高次多項(xiàng)式都可以反映阻尼力-速度曲線的滯回特性，但區(qū)別較大。多項(xiàng)式的階數(shù)越高，阻尼力-速度曲線的擬合效果越好，但高次多項(xiàng)式擬合易出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，導(dǎo)致擬合曲線的兩端出現(xiàn)劇烈地振蕩。

(2) 經(jīng)過驗(yàn)證，分段3次多項(xiàng)式模型能夠有效地消除Runge現(xiàn)象，且擬合精度較高。因此，分段3次多項(xiàng)式模型能夠較好地描述MRD阻尼力-速度曲線的非線性特性和滯回特性。

參 考 文 獻(xiàn)

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