姜萬錄，鄭 直，朱 勇，劉思遠(yuǎn)

(1. 燕山大學(xué) 河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；2. 燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004)

對(duì)液壓泵進(jìn)行故障診斷時(shí)，通常對(duì)泵殼的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析。但現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的振動(dòng)信號(hào)會(huì)被采集設(shè)備等引入的噪聲所干擾，導(dǎo)致信號(hào)失真。有效地從這些噪聲干擾中提取液壓泵的故障信息，可以為液壓泵故障診斷提供良好的故障源信號(hào)[1-2]。

形態(tài)學(xué)濾波是在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種重要的非線性濾波工具[3]。對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波時(shí)，利用起到濾波窗作用的結(jié)構(gòu)元素作為“探針”，當(dāng)信號(hào)局部特征和結(jié)構(gòu)元素相匹配的時(shí)候，信息才會(huì)被保留下來，從而實(shí)現(xiàn)濾波[4]。結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度過大，計(jì)算量就會(huì)增加，且導(dǎo)致過度濾波使信號(hào)細(xì)節(jié)信息被忽略；結(jié)構(gòu)元素選擇過小，噪聲就不會(huì)被充分地抑制，有用的故障特征信息得不到充分的提取。所以，對(duì)起到濾波窗口作用的結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度的選取對(duì)信號(hào)的濾波效果有著非常大的影響[5]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)這一問題進(jìn)行了深入的研究。Dong[4]根據(jù)不同長(zhǎng)度扁平結(jié)構(gòu)元素處理過的信號(hào)的信噪比作為優(yōu)化條件，選取了最優(yōu)結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度。Zhang[6]根據(jù)“局部峰值”方法來優(yōu)化三角形結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度和高度參數(shù)[6]。上述方法已成功地應(yīng)用到了軸承故障的特征提取中。Zhang[7]利用遺傳優(yōu)化算法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來優(yōu)化結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度。

Shannon[8]根據(jù)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，第一次將“信息熵”的概念引入到信息論中，它是用來定量地描述信息的不確定性和復(fù)雜性。Yildiz等[9]利用腦電(EEG)信號(hào)提取小波系數(shù)能量熵作為自適應(yīng)模糊推理系統(tǒng)模型的輸入來評(píng)估大腦所處的狀態(tài)。Sami[10]提取利用電流和電壓信號(hào)的小波包能量熵作為ANN模型的輸入來對(duì)故障進(jìn)行定位。Yang[11]提取了滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)能量熵，并利用ANN模型對(duì)其做了故障診斷分析。

本文將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和信息熵理論相融合，充分利用二者的優(yōu)勢(shì)，提出了一種基于形態(tài)學(xué)差值算子和功率譜熵理論相結(jié)合，并與特征能量比相配合的方法來確定最優(yōu)扁平型結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。通過計(jì)算經(jīng)過不同長(zhǎng)度的濾波器濾波后的信號(hào)的功率譜熵值和特征能量比值，并根據(jù)功率譜熵的基本性質(zhì)可得出最小功率譜熵值所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度即為最優(yōu)長(zhǎng)度。通過仿真信號(hào)和實(shí)測(cè)液壓泵故障信號(hào)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法確定的最優(yōu)扁平型結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度的形態(tài)差值濾波器能夠達(dá)到最優(yōu)濾波效果。

1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、功率譜熵和特征能量比

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本變換

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是上世紀(jì)60年代由法國(guó)Matheron和Serra提出用來處理圖像的理論，之后Maragos和Shafer將其擴(kuò)展到對(duì)一維信號(hào)的濾波處理中[12-13]。

四種基本的形態(tài)學(xué)算子分別為：腐蝕、膨脹、開和閉。

若f(n)為一維原始離散信號(hào)，其定義域?yàn)镕={0,1,2,…,N-1}；g(m)為一維離散信號(hào)，稱其為結(jié)構(gòu)元素，其定義域?yàn)镚={0,1,2,…,M-1}，且M?N。則f(n)關(guān)于g(m)的腐蝕和膨脹運(yùn)算分別定義如下：

(fΘg)(n)=min{f(n+m)-g(m)}

m∈{0,1,2,…,M-1}

(1)

(f⊕g)(n)=max{f(n-m)+g(m)}

m∈{0,1,2,…,M-1}

(2)

f(n)關(guān)于g(n)的開和閉運(yùn)算分別定義如下：

(f°g)(n)=(fΘg⊕g)(n)

(3)

(f·g)(n)=(f⊕gΘg)(n)

(5)

1.2 差值濾波器

一維信號(hào)f(n)分別經(jīng)過結(jié)構(gòu)元素g(m)閉運(yùn)算和開運(yùn)算后的差值，稱為差值濾波器，其表達(dá)式為：

DIF(f)=f·g(n)-f°g(n)

(5)

上式可以分解為：

f·g-f°g=(f·g-f)+(f-f°g)

(6)

開運(yùn)算和閉運(yùn)算能根據(jù)實(shí)際信號(hào)中的波形輪廓形狀的先驗(yàn)知識(shí)分別提取一維信號(hào)中的負(fù)、正脈沖。而差值算子則不需要先驗(yàn)知識(shí)而能同時(shí)提取正、負(fù)脈沖。因?yàn)閒·g-f和f-f°g正是形態(tài)學(xué)Top-Hat變換中的黑、白帽變換，而這兩種變換就是用于提取信號(hào)中的負(fù)、正脈沖[6]。在本文中，利用該濾波器對(duì)液壓泵故障信號(hào)進(jìn)行濾波。

1.3 結(jié)構(gòu)元素

形態(tài)學(xué)濾波的實(shí)質(zhì)就是通過結(jié)構(gòu)元素和待分析信號(hào)進(jìn)行迭代形態(tài)學(xué)運(yùn)算，從而達(dá)到濾波目的。所以結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度對(duì)于形態(tài)學(xué)濾波效果起到重要的作用。

常用到的結(jié)構(gòu)元素有扁平型、三角型和半圓型等。三角型和半圓型結(jié)構(gòu)元素具有長(zhǎng)度和高度兩個(gè)參數(shù)，分別適用于對(duì)脈沖噪聲和隨機(jī)噪聲的濾除。而只有長(zhǎng)度參數(shù)的扁平型結(jié)構(gòu)元素具有計(jì)算簡(jiǎn)單、需要優(yōu)化的參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)由于其高度為零，可避免對(duì)信號(hào)幅值的改變而獲得了廣泛的應(yīng)用[14]，所以本文采用扁平型結(jié)構(gòu)元素。

1.4 功率譜熵

功率譜熵(PSE，Power Spectral Entropy)是在頻域中對(duì)信號(hào)的一種不確定性和復(fù)雜性的描述，定義如下：

(7)

因此，把S視為整個(gè)頻段的能量，那么s1，s2，…，sN是對(duì)信號(hào)總能量的N個(gè)分割，即信號(hào)的能量為S=s1+s2+…+sN。則定義頻域中信號(hào)的功率譜熵為：

(8)

功率譜熵反映了信號(hào)在頻域上的分布情況。從子帶功率分布的角度定量地刻畫了信號(hào)的不確定性和復(fù)雜性：子帶能量分布越均勻，則信號(hào)不確定性和復(fù)雜性越高；反之則越低。

1.5 特征能量比

文獻(xiàn)[15]定義了特征能量比為：

R=(E1+E2+…+En)/E

(9)

式中，E1、E2…En分別是信號(hào)經(jīng)過消噪等處理后的1、2及n倍特征頻率處的能量，E為取定頻率段內(nèi)的總能量。R越大，則在特征頻率處的能量相對(duì)于取定頻率段內(nèi)總能量的比值越大，說明濾波效果越好[15]。

1.6 HF和R相結(jié)合確定結(jié)構(gòu)元素最優(yōu)長(zhǎng)度

利用不同長(zhǎng)度的扁平型結(jié)構(gòu)元素對(duì)待分析信號(hào)進(jìn)行濾波處理，對(duì)濾波后的信號(hào)進(jìn)行HF的求取，結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度的不同對(duì)應(yīng)的HF值也是不同的。當(dāng)HF值為最小時(shí)，根據(jù)定義可知：信號(hào)的子帶譜線幅值在一定頻率段內(nèi)的分布最不均勻，不確定性和復(fù)雜程度最低。R的最大值說明：在特征頻率處的譜線幅值相對(duì)于其它頻率處的譜線幅值對(duì)這種不均勻分布的貢獻(xiàn)最大，同時(shí)根據(jù)文獻(xiàn)[15]也說明在最大R值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度可以得到最優(yōu)的濾波效果。所以，可以得出最小HF值點(diǎn)和最大R值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度為最優(yōu)濾波長(zhǎng)度。

2 數(shù)值仿真算例

2.1 仿真信號(hào)

設(shè)計(jì)了如下的仿真信號(hào)進(jìn)行分析：

x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

(10)

式中，x1(t)是頻率為16 Hz的周期性指數(shù)衰減沖擊信號(hào)，每周期內(nèi)沖擊函數(shù)為8e-100tsin(512πt)；x2(t)是周期為20 Hz和40 Hz的疊加低頻諧波干擾信號(hào)，x2(t)=cos(40πt)+cos(80πt)；x3(t)是標(biāo)準(zhǔn)差為1的高斯白噪聲，用于模擬強(qiáng)背景噪聲。采樣頻率為2 048 Hz，采樣時(shí)間為1 s。

仿真的目的是為了更好地抑制20 Hz和40 Hz處的疊加低頻諧波和高斯白噪聲的干擾，以提取沖擊信號(hào)，并考察通過該方法確定的最優(yōu)扁平型結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度的濾波效果。

圖1為混合信號(hào)的時(shí)域波形圖和0-100 Hz低頻段功率譜圖。從圖1(b)中可以看出沖擊特征頻率16 Hz及其倍頻處的信號(hào)幅值幾乎被噪聲淹沒，而在20 Hz和40 Hz處的低頻諧波干擾信號(hào)的幅值很大。

圖1 混合信號(hào)

2.2 仿真結(jié)果分析

對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行形態(tài)學(xué)差值運(yùn)算，扁平型結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度L的變化取為2到100。在求特征能量比R時(shí)，取沖擊特征頻率16 Hz的1-6倍頻處的特征能量和0-1 024 Hz頻率段的總能量進(jìn)行運(yùn)算。

圖2為不同結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度分別與功率譜熵值和特征能量比值的關(guān)系，橫坐標(biāo)為扁平結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度。

圖2 PSE和R與結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度的關(guān)系

如圖所示，當(dāng)2≤L≤7時(shí)，功率譜熵值隨著L增加而快速遞減。隨著L的增加，在7≤L≤55區(qū)間的熵值變化比較平緩，其中在L=24時(shí)，熵值達(dá)到最小值0.985 8，兩端點(diǎn)處的熵值分別為1.197和1.206，在L≥55區(qū)間的熵值隨著L長(zhǎng)度的增加而呈現(xiàn)相對(duì)快速的遞增現(xiàn)象。對(duì)于特征能量比曲線，當(dāng)2≤L≤7時(shí)，特征能量比值隨著L增加而快速增加，在7≤L≤55區(qū)間的特征能量比值變化比較平緩，其中在L=24時(shí)，特征能量比R達(dá)到最大值0.822 8，兩端點(diǎn)處的特征能量比R分別為0.777 6和0.622 7，在L≥55區(qū)間的熵值隨著L長(zhǎng)度的增加而呈現(xiàn)相對(duì)較快的遞減現(xiàn)象。這說明最小功率譜熵值點(diǎn)與最大特征能量比值點(diǎn)是一致的。

綜上所述，可得出：在功率譜熵值比較小且變化緩慢的區(qū)域7≤L≤55，即L=(0.055-0.430)T(T為周期沖擊長(zhǎng)度：2 048 Hz/16 Hz=128個(gè)采樣點(diǎn))時(shí)能更好地濾除噪聲，得到清晰故障特征信息，在功率譜熵值最小點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的L=24則是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度。

圖3 形態(tài)差值濾波器濾波后的信號(hào)功率譜圖

圖3分別是經(jīng)過扁平型結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度為7、24和55的形態(tài)差值濾波器濾波后的信號(hào)功率譜圖。由圖可知，在L=24時(shí)的濾波效果為最優(yōu)，沖擊特征頻率16 Hz及其倍頻處的幅值最大，低頻諧波干擾信號(hào)20 Hz和40 Hz及噪聲得到了有效的抑制。

3 液壓泵故障信號(hào)分析

為了驗(yàn)證該方法的有效性，對(duì)某液壓伺服故障模擬實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中的斜盤式軸向柱塞泵的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行采集并深入分析。

3.1 實(shí)驗(yàn)方法

液壓泵的型號(hào)為MCY14-1B斜盤式軸向柱塞泵，柱塞數(shù)為7，額定轉(zhuǎn)速為1 470 r/min，轉(zhuǎn)軸頻率為24.5 Hz。

在泵出口壓力調(diào)定為15 MPa下，用50 kHz的采樣頻率分別采集滑靴磨損、中心彈簧磨損和松靴故障下的三組泵殼振動(dòng)加速度信號(hào)，采集時(shí)間均為0.8 s。它們的故障沖擊特征頻率分別為171.5 Hz、24.5 Hz和171.5 Hz[16-17]。

3.2 滑靴磨損故障分析

滑靴-斜盤滑動(dòng)摩擦副是軸向柱塞泵的三大摩擦副中最為復(fù)雜的一對(duì)[18]。當(dāng)滑靴出現(xiàn)磨損故障時(shí)，故障滑靴對(duì)斜盤的沖擊會(huì)增大。

圖4 滑靴磨損故障信號(hào)

圖5 PSE和R與結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度的關(guān)系

圖4(b)展示出了在故障沖擊特征頻率171.5 Hz及其倍頻處的幅值特征。由于噪聲的污染，在其它頻率處的幅值也較高。

對(duì)滑靴磨損故障信號(hào)進(jìn)行形態(tài)學(xué)差值運(yùn)算，扁平型結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度L的變化取為2到100。在求特征能量比R時(shí)，取故障沖擊特征頻率171.5 Hz的1～4倍頻處的能量和0-25 kHz頻率段的總能量進(jìn)行運(yùn)算。

分析過程如同2.2節(jié)，圖5為不同結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度與功率譜熵值和特征能量比值的關(guān)系。圖中功率譜熵達(dá)到最小值1.986且特征能量比達(dá)到最大值0.499時(shí)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度為L(zhǎng)=29。

在熵值比較小且變化緩慢的區(qū)域15≤L≤50(兩端點(diǎn)處的熵值分別為2.082和2.062)，即L=(0.051-0.171)T(T為滑靴故障周期沖擊長(zhǎng)度：50 000 Hz/171.5 Hz≈292個(gè)采樣點(diǎn))時(shí)能夠更好地濾掉噪聲，得到相對(duì)清晰的故障沖擊特征信息，L=29則是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度。

圖6為L(zhǎng)=29的形態(tài)差值濾波器對(duì)滑靴磨損故障信號(hào)進(jìn)行濾波后的功率譜圖。與圖4(b)相比，故障沖擊特征頻率處的峰值得到了很好的凸現(xiàn)，噪聲得到了很好的抑制。

圖6 濾波后的滑靴磨損故障信號(hào)功率譜圖(L為29)

3.3 中心彈簧磨損故障分析

中心彈簧太短會(huì)導(dǎo)致柱塞回程不夠、缸體-配流盤摩擦副的密封性能降低和內(nèi)部油液的泄漏[18]。當(dāng)中心彈簧出現(xiàn)磨損故障時(shí)，滑靴會(huì)加大對(duì)斜盤的沖擊。

圖7 中心彈簧磨損故障信號(hào)

圖7(b)中展示出了在故障沖擊特征頻率24.5 Hz的某些倍頻處的幅值特征，由于噪聲的污染，在其它頻率處也存在峰值。

對(duì)中心彈簧磨損故障信號(hào)進(jìn)行形態(tài)學(xué)差值運(yùn)算，扁平型結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度L的變化取為2到180。在求特征能量比R時(shí)，取故障沖擊特征頻率24.5 Hz的1-25倍頻處的能量和0-25 kHz頻率段的總能量進(jìn)行運(yùn)算。

圖8 PSE和R與結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度的關(guān)系

分析過程如同2.2節(jié)，圖8為不同結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度與功率譜熵值和特征能量比值的關(guān)系。圖中功率譜熵達(dá)到最小值2.157且特征能量比達(dá)到最大值0.525 3時(shí)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度為L(zhǎng)=91。

在熵值比較小且變化緩慢的區(qū)域13≤L≤130(兩端點(diǎn)處的熵值分別為2.383和2.219)，即L=(0.006-0.064)T(T為中心彈簧磨損周期沖擊長(zhǎng)度：50 000 Hz/24.5 Hz≈2 041個(gè)采樣點(diǎn))時(shí)能夠更好地濾掉噪聲，得到相對(duì)清晰的故障沖擊特征信息，L=91則是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度。

圖9為L(zhǎng)=91的形態(tài)差值濾波器對(duì)中心彈簧磨損故障的信號(hào)進(jìn)行濾波后的功率譜圖。與圖7(b)相比，故障沖擊特征頻率處的峰值得到了很好的凸現(xiàn)，噪聲得到了很好的抑制。

圖9 濾波后的中心彈簧磨損故障信號(hào)功率譜圖(L為91)

3.4 松靴故障分析

滑靴松動(dòng)嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致滑靴脫節(jié)或使活塞頸部扭斷[18]。當(dāng)發(fā)生此故障時(shí)，故障滑靴對(duì)斜盤的沖擊增大。

圖10 松靴故障信號(hào)

圖10(b)展示出了在故障沖擊特征頻率171.5 Hz及其倍頻處的幅值特征，由于噪聲的污染，其它頻率處的幅值也很大。

對(duì)松靴故障信號(hào)進(jìn)行形態(tài)學(xué)差值運(yùn)算，扁平型結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度L的變化取為2到100。在求特征能量比R時(shí)，取故障沖擊特征頻率171.5 Hz的1-5倍頻處的能量和0-25 kHz頻率段的總能量進(jìn)行運(yùn)算。

圖11 PSE和R與結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度的關(guān)系

分析過程如同2.2節(jié)，圖11為不同結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度與功率譜熵值和特征能量比值的關(guān)系。圖中功率譜熵達(dá)到最小值2.256且特征能量比達(dá)到最大值0.308時(shí)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度為L(zhǎng)=25。

在熵值比較小且變化緩慢的區(qū)域15≤L≤60(兩端點(diǎn)處的熵值分別為2.333和2.32)，即L=(0.051-0.205)T(T為松靴故障周期沖擊長(zhǎng)度：50 000 Hz/171.5 Hz≈292個(gè)采樣點(diǎn))時(shí)能夠更好地濾掉噪聲，得到相對(duì)清晰的故障沖擊特征信息，L=25則是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度。

圖12為L(zhǎng)=25的形態(tài)差值濾波器對(duì)松靴故障信號(hào)進(jìn)行濾波后的功率譜圖。與圖10(b)相比，故障沖擊特征頻率處的峰值得到了很好的凸現(xiàn)，噪聲得到了很好的抑制。

4 結(jié) 論

針對(duì)實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)易受噪聲污染而淹沒有用信息和克服利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行濾波時(shí)結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度選取的經(jīng)驗(yàn)性和任意性，提出了一種基于形態(tài)學(xué)差值算子和功率譜熵理論相結(jié)合，并與特征能量比相配合的方法來確定最優(yōu)扁平型結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波，并得出以下結(jié)論：

(1) 對(duì)于滑靴磨損故障信號(hào)，結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度為L(zhǎng)=(0.051-0.171)T(T為滑靴磨損故障周期沖擊長(zhǎng)度：50 000 Hz/171.5 Hz≈292個(gè)采樣點(diǎn))時(shí)能提取清晰的故障特征信息，功率譜熵最小值所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度L=29是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度，能達(dá)到最優(yōu)的濾波效果；

(2) 對(duì)于中心彈簧磨損故障信號(hào)，當(dāng)結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度為L(zhǎng)=(0.006-0.064)T(T為中心彈簧故障周期沖擊長(zhǎng)度：50 000 Hz/24.5 Hz≈2 041個(gè)采樣點(diǎn))時(shí)能提取清晰的故障特征信息，功率譜熵最小值所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度L=91是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度，能達(dá)到最優(yōu)的濾波效果；

(3) 對(duì)于松靴故障信號(hào)，當(dāng)結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度為L(zhǎng)=(0.051-0.205)T(T為松靴故障周期沖擊長(zhǎng)度：50 000 Hz/171.5 Hz≈292個(gè)采樣點(diǎn))時(shí)能提取清晰的故障特征信息，功率譜熵最小值所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度L=25是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度，能達(dá)到最優(yōu)的濾波效果。

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